2020年高中数学必备考试技能之模板18线性回归方程(解析版).

1、高中数学必备考试技能之套用18个解题模板”原创精品【2020版】模板十八：线性回归方程线性回归方程常用来预估某变量的值，因此选择恰当的拟合函数是解题的关键，一般解题要点如下模板构建(1)作图.依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系(2)计算.计算出？?？汇？? !?xiyi的值；计算回D3系数?=1 ' ?=1求方程.写出线性回归直线方程y=?X+?(2020 山东省高三三模)下图是我国 2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.典型例题过二冬母代,曙1 一7分F1计血阜母之？034备更总率算去S3料U(I)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与

2、t的关系，请用相关系数加以说明;(I)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：2?=1?> 9.32, E?=1?= 40.17 ,A_. 7VE ?=*? ?2= 0.55, v7= 2.646.一?参考公式：相关系数?="?)5,?c ?。VE(?W2Xy?<2?=1一?回归方程件睁？?？斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：阵亡?装了, ?=?一?（I）由折线图中数据和附注中参考数据得?= 4,汇?=(?- ?/= 28, VS ；?=(?% 鸳2 = 0.55 ,T u- f)g.-v)=y .T'

3、.-yy v.-4Q_n-4x9.32= z.s9, 11Z"1i"12.890.55x2x2.646二 0 99试题解析因为y与F的相关系数近似为 0.99,说明）与r的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与r的关系.（I）由除岸.I及（I）得?=三q等二 7?=（?）22.89百0.103,28?= ? ?公 1.331 - 0.103 X4 =0.92.所以，丁关于土的回归方程为：y = 092-0.Wf.将2016年对应的=9代入回归方程得：v = 0.92+0.10x9 = 1.82 .所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.题后反思（1

4、）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：关数据代入相关系数？公式求出？然后根据？的大小进行判断.解，并一定要注意计算的准确性.（1）利用散点图直观判断；（2）将相求线性回归方程时要严格按照公式求针对训练*举一反三1. （2020湖北省高三二模）某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中，有雉度系数 和区分度两个指标中，难度系数年级一，区分度实验班的平均分-各通班的平均分 满分满分（1）某次数学考试（满分为150分），随机从实验班和普通班各抽取三人，实验班三人的成绩分别为147,142,137;普通班三人的成绩分别为97, 102, 113.通过样本估计本次考试的区分度（精确0.0

5、1）.（2）如表表格是该校高三年级6次数学考试的统计数据：难度系数x0.640.710.740.760.770.82区分度y0.180.230.240.240.220.15I计算相关系数r, |r|<0.75时，认为相关性弱；|r| > 0.75，认为相关性强.通过计算说明，能否利用线性回 归模型描述y与x的关系（精确到0.01）.Iti=|xi-0.74|（i=1 , 2,，6）,求出y关于t的线性回归方程，并预测 x=0.75时y的值（精确到0.01）.Xi yi0.9309,：yi0.0112,6tiYi i 10.0483,ti120.0073参考公式:相关系数xi1V一

6、r,2y回归直线$bt a的斜率和截距的最小二乘估计$分别为bni1 tiVni1 ti$bty与x的关系；I回归直线方程【答案】（1） 0.25; （2） I理由见解析，不能利用线性回归模型描述?0.86t 0.25,预测值为 0.24【解析】（1）实验班三人成绩的平均值为147 142 137 142,397 102 113普通班三人成绩的平均值为97104,3故估计本次考试的区分度为142 1041500.25,(2) I 由题中的表格可知 X 1 (0.64+0.71+0.74+0.76+0.77+0.82)=0.74,1y (0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15

7、)=0.21, 66i 1x yi 6x y62i 1(xi x)62i(yi y)0.9309 6 0.74 0.210.01120.13.因为|r|<0.75,所以相关性弱，故不能利用线性回归模型描述y与x的关系;t0.100.0300.020.030.08区别度y0.180.230.240.240.220.15ly与t的值如下表6i 1xiyi6x y$ 因为b6 i(tit)20.26 ,0.0483 6 0.2160.00730.86,所以a$bt0.21+0.860.260.25,6所以所求回归直线方程y=- 0.86t+0.25,当 x=0.75 时，此时 t=0.01，贝

8、U y=0.242. （2020湖北省高三三模）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降1.4% ,环比下降0.1%某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时作出相应调整，并结合企业自身的情况作出相应的出厂价格，该企业统计了 2019年110月份产品的生产数量 x （单位：万件）以及销售总额y （单位：十万元）之间的关系如下表:x2.082.122.192.282.362.482.592.682.802.87y4.254.374.404.554.644.754.925.035.145.26（1）计算x, y的值;（2）计算相关系数r ,并通过r的大小说明y与x之间的相关程度;（3

9、）求y与x的线性回归方程§bx鸟，并推测当产量为3.2万件时销售额为多少.（该问中运算结果保留两位小数）附：回归直线方程y bx a中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$nxixyiyi 1a y bx ；相关系数r9一 2 n 2xyiyi 1【答案】（1）【解析】（1）（2）依题意,10 2 一 2xi10x0.85,i 1x 2.445, y 4.731.10(2)10x依题意，-i1 i,x i 1 一 2.445102 一 2yi10y1.04, b 1.22.0.997；具有很强的相关性10 yi 1 4.731101.22r(3)1.22x0.851.041.75,

10、5.650.997 ,因为 0.997 > 0.75 ,所以y与x之间具有很强的相关性(3) a y bx 4.731 1.22 2.445 1.75,所以所求回归直线方程为y 1.22x 1.75,故当 x 3.2 时，y 1.22 3.2 1.75 5.65.3. (2020安徽省高三三模)随着网购人数的日益增多，网上的支付方式也呈现一种多样化的状态，越来越多的便捷移动支付方式受到了人们的青睐，更被网友们评为新四大发明”之一.随着人们消费观念的进步，许多人喜欢用信用卡购物，考虑到这一点，一种 网上的信用卡”横空出世蚂蚁花呗.这是一款支付宝和蚂蚁金融合作开发的新支付方式，简单便捷，同时

11、也满足了部分网上消费群体在支付宝余额不足时的赊购消费需求 为了调查使用蚂蚁花呗 赊购”消费与消费者年龄段的关系，某网站对其注册用户开展抽样调查，在每个年龄段的注册用户中各随机抽取100人，得到各年龄段使用蚂蚁花呗赊购”的人数百分比如图所示(1)由大数据可知，在 18到44岁之间使用花呗 赊购”的人数百分比y与年龄x成线性相关关系，利用统计图表中的数据，以各年龄段的区间中点代表该年龄段的年龄，求所调查群体各年龄段赊购”人数百分比y与年龄x的线性回归方程(回归直线方程的斜率和截距保留两位有效数字)；(2)该网站年龄为20岁的注册用户共有 2000人，试估算t网站20岁的注册用户中使用花呗 赊购”的

12、人数；(3)已知该网店中年龄段在 18-26岁和27-35岁的注册用户人数相同，现从18到35岁之间使用花呗 赊购的人群中按分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中简单随机抽取2人调查他们每个月使用花呗消费的额度，求抽取的两人年龄都在18到26岁的概率.nXi y nx y参考答案： $ J_An, a y $x .22xinxi 15 【答案】（1） y 0.023x 1.0; （2） 1080 人；（3） .22 一,751422 31 40 0.5 0.3 0.08【解析】（1）由题意，x 31 , y 33所以$2222 0.5 31 0.3 40 0.08 3 31 2275222

13、312 402 3 312署0.。23'$ 22 75378 31 1.0,所求线性回归方程为y1620.023x 1.0(2)由（1）知，该网站20岁的注册用户中使用花呗赊购”的人数百分比为0.023 20 1.0 0.54,而2000 0.54 1080,所以估计该网站 20岁的注册用户中使用花呗赊购”的人数为1080人.（3）依题意，随机抽取 8人，年龄在18到26岁之间有5人，年龄在27-35之间有3人，所以抽取的两人C2年龄都在18到26岁的概率为 一5rC8210 528 144. （2020河南省高三三模）某手机专卖店的营业天数x与销售总额y的数据统计如下表所示:营业天数

14、x1020304050销售总额y（万元）6268758189（1）求y关于x的回归直线方程 y bx a；（2）判定y与x之间是正相关还是负相关，用所求回归方程预测该店营业100天的销售总额.参考公式：回归方程$ bx a中，$nxi yi nx yi 1n一 222x nxi 1y $x5Xy 11920销售总额为121.9万元i 1【答案】（1） $ 0.67x 54.9（2） y与x之间是正相关;【解析】10 20 30 40 50(1) x 30,62 68 75 81 89 ” 75.5xy 53075 11250.5xy1192011250670.2 Xi_25x2_ 210203

15、022240503025500 4500 1000 .所以5xy 5xyi 152 C-2xi 5xi 167010000.67 ,$x75 0.67 30 54.9.所以回归直线方程为0.67x54.9.（2）因为$ 0.67 0,所以y与x之间是正相关.将x 100代入回归方程可预测该店营业100天的销售总额为y 0.67 100 54.9 121.9万元.5. （2020湖南省高三二模）2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见的呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命.随着疫情的发展，自2020年2月5日起，武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症

16、感染的群众，逐步建立起了14家方舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓，累计收治轻症患者 1056人.据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下：日期2.262.272.282.293.13.2x123456出仓人数y3817316816817C仁2Q ID根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数y与日期序号x进行了拟合分析.从散点图观察可得，研究人员分别用两种函数 I ? mx2 p i y ketx分析其拟合效果.其相关指数 R2可以判断拟合效果，R2越大拟合效果越好.已知 y mx2 p的相关指数为R2 0.89 .（1）

17、试根据相关指数判断.上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系数r与相关指数R2满足r2r2,参考数据表中u lny,v x2）(2)I根据（1）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位）3日实际总出仓人数为 216人，按I中的回归模型计算，差距有多少人?(附:对于一组数据（Xi，y）（i 1,2, ,n）,其回归直线为？ bX ?nx x yi y相关系数rn ,?22xi xyi y , i 1i 1nxi x yiyi1 n,a? y bx_ 2xi xi 16Vi i 1b(Yi6Ui66xyvui 1i 1xi 1xquVii 1VVyV)2y)2U)2参

18、考数据:5.425_ _ _1.520 , e 227.(1)由 y ketx 得，ln ytxln y ，由上表得：x63.5,u3.13, (uii 1u)2 10.55,(xi X)(ui u) 13.56,又由已知计算(Xix)217.5,Iri 1nxii 113.56故由R2r(2)iQt11nk b?<?n_ 22xyiyi 1,17.5 J0.554.1813.560.9983.250.996 0.89 ,因此回归方程的拟合效果更好.6xi x ui u i 162xi xi 1bX 3.13 0.775故 ln y 0.775x0.418 ,13.5617.50.775

19、3.50.418,即回归方程为y0.775x 0.4180.775xe1.520ei当序号x 7时,y 1.520e0.775 7 1.520e5.4251.520227 345,3.549.1715.173.13894.8319666.8310.5513.563957083、1754.18, J055 3.25, e0.418（i）回归方程的拟合效果更好;(2) I y 1.520e0.775x . I 相差 129 人.而3月3日实际出仓人数为 216人，相差129人.6. （2020陕西省西安中学高三三模）近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期

20、，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：JT1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx与y c dx （ c,d均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数 x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y与x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后

21、，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表:支付方式现金乘车卡扫码r比例10%60%30%西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为 0.66万元.已知该线路公交车票价为 2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受 8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有工的概率享受7折优惠，有1的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有 1632万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按其中其中Vilg y ,

22、 v照上述收费标准，假设这批车需要n （n N+）年才能开始盈利，求 n的值.参考公式：对于一组数据(Ui，Vi) , (U2，v2), L ， (Un,Vn) ,其回归直线 vu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:nUM i 1 n 2Ui i 1nu v2nU【答案】（1） y c dx0.54 0.25 xy 100.25x, 、3.47 10, 3470 (3) 7【解析】（1）根据散点图判断，在推广期内,（c,d均为大于零的常数），适宜作为扫码支付的yv7yii 17XMi 1/ c0.541062.141.54253550.123.471 77 i 1人次y关于活动推出天数 x的

23、回归方程类型.（2）根据（1）的判断结果y c dx,两边取对数得lg ylg c lg d x ,其中 vilg yi, v7vi1.54 ,17XiVi i 150,12,x74, x2 140 , i 1nx v0.25,2 nx7XMlgd i 1nxi2? 1g c v ?x 0.54 ,所以 1g y 0.54 0.25 x。所以 y 100.54 0.25 x 3.47 10°.25x。当 x 8时，y 100.54 0.258 3.47 102 347。所以活动推出第 8天使用扫码支付的人次 3470人.(3)设一名乘客一次乘车的费用为元，根据题意得可能取值为：1.4

24、、1.6、1.8、211p( 1.4) 0.3 0.05, p( 1.6) 0.6 0.3 0.7 631p( 1.8) 0.3 0.15, p(2) 0.1,2E( ) 1.4 0.05 1.6 0.7 1.8 0.15 2 0.1 1.66。假设这批车需要n ( n N+)年才能开始盈利，则 1.66 12 n 1 80 0.66 12 n,解得n 20。3所以需要7年才能开始盈利.。7. (2020河北省正定中学高三二模)某企业为确定下一年度投入某种产品的生产所需的资金，需了解每投入2千万资金后，工人人数 x(单位再入)对年产能y (单位：千万元)的影响，对投入的人力和年产能的数据作了初

25、步处理，得到散点图和统计量表.xyln y1xn(xi x)2i 1n 11 2L _) i 1 xixn(x x)(yi y)i 1n /11(- -)(ln yiln y)i 1 xi xn_(xi x)(ln y ln y)i 15.8253.6120.1541.07732827.87150.8055.74126.56A 疗* GA J产Lrrr-9 中l ¥ i 博 向 m/G 白rr b（1）根据散点图判断：y a blnx与y e7 a哪一个适宜作为年产能 y关于投入的人力X的回归方程类 型？并说明理由？（2）根据（1）的判断结果及相关的计算数据，建立 y关于x的回归方程

26、；（3）现该企业共有2000名生产工人，资金非常充足，为了使得年产能达到最大值，则下一年度共需投入 多少资金（单位：千万元）？附注：对于一组数据（Si,ti）,力），（Sn,tn）,其回归直线t bs a的斜率和截距的最小二乘估计分n（S s）（ti t）bb a别为$ Un=,$ t bs,（说明：f eV的导函数为f（X）b eX ）（S s）2x2i 1 b2【答案】（1）选择y ex a,理由见解析；（2） y e7 2; （3） 20千万 b【解析】（1）由图可知y ex a适宜作为年产能 y关于投入的人力X的回归方程类型Q若选择y a blnx,则b 0,此时当x接近于0时，y必小

27、于0, b故选择y e，a作为年产能y关于投入的人力x的回归方程类型b(2)由 yexa-)(ln yi l丽)xn (11)2 x55.7427.872.a lny b 1 (x0.154)2) 1.0772,c 2 rln y2 一,即x2,y关于x的回归方程(3)当人均产能达到最大时，年产能也达到最大,2 2由(2)可知人均产能函数f (x) e(x)Q0x 2时,f (x) 0, xf (x)0,(0,2)时,f(x)单调递增,(2,)时，f(x)单调递减,当x 2时，人均产能函数f(x)达到最大值,r.1.1 "彳导lny b - a ,故In y与符合线性回归,因此，每2

28、千万资金安排2百人进行生产，能使人均产能达到最大,Q对于该企业共有 2000名生产工人，且资金充足,下一年度应该投入20千万资金进行生产，可以适当企业的产能达到最大科技创新”的号召，大力研发新产品，为了对新8. (2020湖南省长郡中学高三三模)某企业积极响应国家研发的一批产品进行合理定价将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据X，V (i 1,2,3,4,5,6)如下表所示:试辅单仰I（两定17346VIP 7&73 1例1（1）求P的值；（2）已知变量x,y具有线性相关关系，求产品销量 y （件）关于试销单价 x （百元）的线性回归方程（计算结果精确到整数位）（3）用琳表

29、示用正确的线性回归方程得到的与 x对应的产品销量的估计值，当销量数据 x,yi的残差的 绝对值|$i yj 1时，则将销售数据称为一个 宥效数据”现从这6组数据中任取2组，求抽出的2组销售 数据都是有效数据”的概率6xiyi nx y i 1622x nxi 11 666(xi x)(yi y)附参考公式：y - yi 80, xx 1606, x2 91 , $6 i 1i 1i 12(xi x) i 1a y bx【答案】（1） p 82 （2） y24x 95 或 y 4x 94 (3)5【解析】（1）由y6/80 得91 86 P 78 73 70680.求得P 82.1 (2)Qx

30、3.5，y Tyi6 i 1680, x xi 16_ _2 一1606, x 91i 11606 6 3.5 80 _-74_291 6 3.5217.54, $80 4 3.5 94 (或 $80741753.5 95)所以回归方程为y4x 95 或 y 4x 94.(3)当xi1,? 90,当 X22,y286,当X33,y382,当 x4 4,?78；当 5,久 74；当 6, y6 70,根据题意则 宥效数据”有2,86 , 3,82 , 4,78 , 6,70 4个从6组销售数据中任意 抽取2组的所有可能结果有 C2 15种，抽取的2组销售数据都是 宥效数据”的有C2 6种，所以抽

31、取的2 组销售数据都是 宥效数据”的概率为 - -.15 59. (2020湖南省长郡中学高三三模)为提供市民的健身素质，某市把 A,B,C,D四个篮球馆全部转为免费 民用(1)在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从A, B,C,D四场馆的使用场数中依次抽取 4田2,03刀4共25场，在a1,a2,a3,a4中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；(2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为x,其相应维修费用为 y元，根据统计，得到如下表的数据：X10152025303540y10000117611301013980147711544016020yz0.1e434322.993.494.054.504.995.4