三年级上册数学试题-奥数.几何.图形剪拼(C级)(含答案)

1、一、本讲主要学习三大图形处理方法:(1) 理解掌握图形的分割；(2) 理解掌握图形的拼合；(3) 理解图形的剪拼.本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试.通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力.(1) 把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做 图形的分割.(2) 反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做 图形的拼合.(3) 将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做 图形的剪拼.我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考.(1) 如果把一个图形分割

2、成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称 点，把图形先分少，再分多.(2) 图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的 多少，再结合数量来分割图形.(3) 如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼 合在一起，先拼少的，再拼多的.(4) 如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和 图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法.解题关键：分割其实就是运用特殊的三角形(等角直角三角形、等边三角形等)、正 方形、等边图形的特殊性质进行分割而得，所以分割的关键是利用了特殊图形的关系解

3、题。解题思想：这其实就是一种化整为零的思想，各位同学不仅要学会几何题中的这种方法，更要细细体味这种思想在解决各种问题中的妙用例题精讲【例1】3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起（如图），顶点A和B分别与正方形中心点重合,如果所构成图形的周长是 48厘米，那么这个图形覆盖的面积是 平方厘米.9 / 17【考点】图形的分割【难度】2星【题型】填空【关键词】2010年，迎春杯，中年级组，复试， 4题【解析】将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48+8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6+2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6X6X

4、2+3X 3X2=9穿方厘米）。【答案】90平方厘米正方形ABCD的面积是1平方米，将四条边分别向两端各延长一倍，连结八个端点得到一个正方 形（如图），求大正方形的面积.ABDC9个小正方形组成，所以，大正【考点】图形的分割【难度】2星 【题型】解答四条边分别向两端各延长一倍，很容易可以观察出，大正方形有 方形的面积是：1 9 9（平方米）.【答案】9平方米【例2】 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、 大小都一样.除了剪正方形外，你还有别的方法吗?【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答【解析】先把图形分成2040相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如下图

5、.【答案】答案不唯一【例3】 把一个正方形分成 8块，再把它们拼成一个正方形和一个长方形，使这个正方形和长方形的面积 相等.【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答【解析】连接正方形的对角线，把正方形分成了4个相等的等腰直角三角形，再连接各腰中点，又把它们分成4个小等腰直角三角形和 4个等腰梯形.（如图所示），出于分成正方形、长方形面积相等的 要求考虑：分别取出两个小等腰直角三角形和两个梯形，就能一一拼出所要求的正方形和长方形 了（如图、所示）.【巩固】5试将一个49的长方形分割成两个大小相等、形状相同的图形，然后拼成一个正方形.【考点】图形的分割与拼接【难度】3星【题型】解答【解析】

6、已知长方形格数9 4 36 （个），所以正方形的边长应为 6个格，因此可以把长方形上半部分成3个格、6个格，下半部分成6个格、3个格，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6个格的正方形，如右下图.【例4】（2004年第2届走美杯4年级决赛第8题,10分）将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个,请将第一部分的六边形都标上 “1；第二部分的六边形都标上“2：【考点】图形的分割与拼接【解析】【答案】例5 如下图所示的正方形是由 36个小正方格组成的. 如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何

7、切割？OOO*0【考点】图形的分割与拼接【难度】5星【题型】解答【解析】首先在相同颜色的棋子之间划出切分线，以中心旋转90°、180°、270°之后，得到一些新的切分线，同时考虑到每块包含有一颗黑子和一颗白子的要求，以及每一块面积应该是36 4 9,即含有9个小正方格，先找到符合要求的一块后，让它绕中心旋转90°、180°、270°便得到其他三块，如下图.【巩固】如图，要求把正方形分成四块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个【考点】【解析】图形的分割与拼接【难度】5星【题型】解答一个正方形分成大小和形状都相同的四块，一定是从中心点

8、分开的，只要能找出其中符合题目要求的一块，然后再将这块绕着正方形的中心点分别旋转90°、180°、270°就可以得到另外三块.又因为这个正方形面积为 36平方单位，所以分成的每一块的面积都是9平方单位.即每一块都由 9个小正方格组成.另外，由于两个正方形要切分成一样大小的四块，因此可将两个正方形重叠在一起考虑.将两个正方形重叠在一起，如下图所示，为便于区别，将其中一组的“C政写成“X”按要求将这重叠的正方形切分成大小、形状都相同的四块，并且每块都有一个“O "X.”图中有相同符号的“。挨在一起的从中间把它们切开，在它们中间划上截线.并将这 些截线绕中心点

9、旋转90。、180。、270。得到另外三段截线.如下图.利用它们设想出 划分线.设想分块从中心位置开始，逐步向外扩散，在里层方格中，先指定某一方格已分入 到某小块中，并作上记号（斜线阴影），然后将它绕中心旋转180°后得到另一方格分入 到另一小块中，也作上记号（横线阴影），如图.1XO OX救XO对于中间一层方格和最外一层方格， 设想分块时一定要紧扣条件：每一块中都要有 一个“on一个每一块都有9个方格组成，不能断开.下图是分解了的分块过 程示意图.注意到斜线阴影部分已经有了一个 “on一个“ ”.那么左下角包含“勺方格就不能再分到斜线阴影部分去了，而只能将右下角的方格分到斜线阴影部

10、分.于是左上角的方格就应该分给横线阴影部分.空白部分是另外两块.下就是最后分得的结果.【答案】【例6【考点】【解析】【答案】如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学 而思奥数五个字.图形的分割与拼接图中有相同汉字挨在一起的情况，肯定要从它们之间切开（图1）,因此，首先要在它们之间划出切分线.因为要将这个正方形切开成两块形状和大小都一样的图形，所以其中一块绕中心点旋转 180必定与另一块重合.要是把切分线也绕中心点旋转180。就可得到一些新的切分线 （图2）.这就为我们解决问题提供了线索，本题的两种解法如上图所示.数数而而奥而而奥奥数O思奥.数O思学学

11、思学学思数数而而奥而而奥dii奥数O思奥数O思学学思学学思图1图2数而而奥奥数O思学学思数而而奥奥数O思学学思【例7】三种塑料板的型号如图:(A)(B)(C)已有A型板30块，要购买B、C两种型号板若干，拼成5 5正方形10个，B型板每块价格5元，C型板每块价格为 4元.请你考虑要各买多少块，使所花的总钱数尽可能少，那么购买B、C两种板要花多少元？ 【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答【关键词】保良局亚洲区城市，小学数学邀请赛 【解析】要使花的钱尽可能的少，已有30个A型板最好能用上，而价格较贵的B型板尽可能少用，因为 A型与B型的面积都为3,所以在拼成的5 5的正方形中，除了 C

12、型外，余下的面积应能被 3整除.有 25 4 4 9或25 4 1 21能被3整除知，只能用4块C型板或1块C型板，考虑尽可能多地使 用A型板，有如下图1、图2的拼法：图1的拼法要花4 4 5 2 26 （元），图2的拼法要花4 5 9（元），因为只有30块A型 板，所以在10快5 5的正方形中，图2的拼法只能有4块，剩下6块用图1拼法，共 需：9 4 26 6 192（元）【答案】192元【例8】 试用图a中的8个相等的直角三角形，拼成图图ab中的空心正八边形和图 c中的空心正八角星. 【考点】图形的分割与拼接【难度】5星【题型】解答【解析】把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一条直角

13、边重合，同时，斜边上的一个锐角顶点与直角顶点重合，像这样依次摆放下去，便可得空心正八边形.若把一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边的一部分重合，但顶点均不重合，依次摆放下去，便可由这八个相等的直角三角形组成空心正八角星.1/【答案】d#例9 如何把一个长20厘米、宽12厘米的长方形切成两块，拼成一个长16厘米、宽15厘米的新长方形.4242015 / 1744343434二【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答【解析】因为原长方形比新长方形的长多4厘米，新长方形比原长方形的宽多3厘米，因此我们把原长方形分成20个长4厘米，宽3厘米的小长方形.因为新长方形的长为16厘米，所以

14、原长方形的长应减少一个小长方形，而新长方形的宽为15厘米，所以原长方形的宽应增加一个小长方形.可以沿对角线的方向，把它切成k阶梯状的两块，并使他们的形状和大小完全相同，然后把它们相互错位交在一起，即白色部分往上爬了一个台阶，这样便拼成了一个新的长方形.具体操作中可按图d中的粗线把长方形分成两块，一移一错一对，便可得到如图e所示的长为16厘米，宽为15厘米的新长方形.【巩固】 长方形长24厘米，宽15厘米.把它剪成两块，使它们拼成一个长 20厘米，宽18厘米的长方形.【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答【解析】 长方形面积 24 15 360（平方厘米），拼成的长方形面积20 18

15、360 （平方厘米），面积相等，只是长、宽不等，但它们都可以分成 30个4X3的小长方形，拼成的长方形的一半应有 15个4 3的 小长方形，即5 4 3 2 1 15 .所以才有如下图的剪切方法.【答案】一课堂检测【随练1】将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形， 再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律，继续下去，得到下图那么，边长为a的正方形面积是图中阴影部分面积的 倍.【考点】图形的分割【难度】3星【题型】填空【关键词】2003年，希望杯，第一届，四年级，复赛，第 6题，4分【解析】阴影部分是大正方形的 0.5 X 0,5 X 0.5 X /，所以正方形是阴影的 1

16、6倍16【答案】16倍【随练2】将下图分成两块，然后拼成一个正方形.【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】解答【解析】图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为 1 ,那么拼成的正方形的边长应该是4.因为图形是缺角长方形，长为 6,宽为3,应将宽加1,长减去2便可得一个正方形，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3,向上平移使宽为4）,向左平移2（原来长为6,向左平移使长为4）.如右下图所示.拼接19 / 17【答案】分割【随练3】长方形的长和宽各是9厘米和4厘米，要把它剪成大小、形状都相同的两块，并使它 们拼成一个正方形.【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题

17、型】解答【解析】已知长方形面积9 4 36（平方厘米），所以正方形的边长应为 6厘米，因此可以把长方形上半部剪下6厘米，下半部剪下 3厘米，分成相等的两块，合起来正好拼成一个边长为6厘米的正方形，如右下图.364663363234家庭作业【作业1】正六边形ABCDEF的面积是1平方米，将六条边分别向两端各延长一倍，交于六个点，组成如卜图的图形，求这个图形的面积.图形的分割【难度】3星【题型】解答采用分割法，连接正六边形的对角线， 会发现，所有的三角形面积都相同， 一共有12个小三角形, 原来正六边形的面积是 1平方米，由6个小三角形组成，所以现在的大图形的面积是：1方米） 2平方米【作业2】将

18、图1分成4个形状、大小都相同的图形，然后拼成一个正方形.图1【考点】图形的分割与拼接图2图3【难度】4星【题型】解答【解析】经过计数可以发现，图形是由16个完全一样的正方形组成，所以拼成的正方形每排都有4个这样的小正方形，共有4排把大图形分成完全一样的 4个图形，每个图形的面积都是小正方形的4倍.现在来考虑形状.由于这个图形具有对称的特点，很容易想到先将它分成两个完全一样的图形，只要沿大图形中间的那条竖线剪开即可，其中上面的一个是图 2,再想办法把已经分成的两个图形各分成两个形状、大小都相同的图形即可.下面以上面的图为例，继续探讨分割的办法.如果把上图中每个小正方形的边长看作1个单位，那么这个

19、图形中的最长边有4个单位，其次为3;显然,3,具体分法见图 3,用同样的方法,【作业3】（2008年第6届走美杯4年级决赛第10题，12分）如图,A、 B、 C、 D四个长方形的周长的和是100 ,并且每个长方形都有一条边的长度已经给定，分别是2 , 3 , 4。中间的长方形要把它分成完全一样的两个图形，每个图形的最长边只能为 可以将与上面的图形完全一样的下面的一个图形分成两个形状、大小都相同的图形，如下图.的周长是【考点】图形的分割与拼接【难度】4星【题型】填空【解析】A、B、C、D四个长方形的周长可以围成两个大长方形的周长，所以大长方形的周长100 2 50。而中间的长方形周长与大长方形周

20、长差为42122232 10 2 20。所以中间的长方形周长为50 20 30 。【答案】30 【作业4】（2010年数学解题能力高年级复试 12题）现有一块L形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成3部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为 平方厘米.10厘米【考点】图形的分割与拼接【难度】5星【题型】填空【解析】如下图，显然不论怎么切，B是最大的那块，为使 A和C尽量大一些，切割线就要经过L形的拐点.大致有如下3种切法.对于前两种，C比A要小，所以要使 C尽量大的话，就要使切线作顺时针方向调整.第三种情况更优一些，当A与C面积相等时，就是最优的情况.此时2x 20 2 10 10 x 10 2,所以x 4, C的面积是80