数学符号在数学中的地位

1、数学符号在数学中的地位1引言数学符号是一种国际性数学语言 ，也是惟一在世界上能不分国家和种族都适用的文字.数学符号具有高度概括性、精确性和形式化等特点， 它在很大程度上决定了数学的精确性、严谨性等特点.数学符号的引入推动了数学的发展，且数学符号从首创到被人认识并沿用经历了一个漫长的过程.而 学习数学，或数学教育工作者，除了掌握每个数学符号的特定含义和实质外，还应了解一下它的引 进或衍变的历史渊源.本论文从各个符号产生的历史和其作用入手，把数学领域内的一系列数学符 号按照其用来表示概念、运算及关系等符号组成的集合进行归纳整理，使大家对数学符号有一个全 面的认识.2数学符号的产生2.1早期数学符号

2、人类在蒙昧时代就已具备有识别事物多寡的能力，从这原始的“数觉”到抽象的“数”概念的 形成，是一个缓慢的、渐进的过程.当对数的认识变得越来越明确时，人们感到有必要以某种方式 来表达事物的这一属性，于是导致了记数，而记数是伴随着计数的发展而发展的.最早可能是手指 计数，当指头不敷运用时， 就出现了石子记数， 随着时间的推移， 又出现了结绳记数和刻痕记数.又经历了数万年的发展，直到距今大约五千多年前，终于出现了书写记数以及相应的记数系统.如：在公元前3400年出现古埃及的象形数字III Hl IUI川|西部加n123456 7 2 S 1 Oin nn nn *喜产夕1 1 1O 20 40 TO

3、1 DO公元前500年左右出现中国筹算数码飒式 I I I III I II I Illi I T TT TIT TTH惯式一二一三=4±±123455 T S9中国算筹记数尽管数码有两种形式，但完全有10进位值制的特点，即既是 10进，又是位值制，马克思称中国古代的十进位值制是“最美妙的发明”公元前300年出现印度婆罗门数字i s a 4 n 修甲口自这是早期的阿拉伯数码，它经过了一个漫长复杂的演变之后，到16世纪才形成像今天的数码 “1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9”.2.2 简字代数早期的代数学著作都是以文字叙述的，直到公元约250年，希腊数学家丢番图

4、(Diophantus )所著算术2(P65) 一书中，首创了一套缩写符号，这是真正的符号代数出现之前的重要阶段.他使 用了特殊的记号来表示未知数，据考证这个符号是.他还用专门的符号来记乘哥，二次乘哥记为rrr . .,三次乘哥是k ,四次乘哥 ，五次乘哥 k等等，减号为 ，方程中所有的负项都放在一个减号后，未知数乘哥的系数是用放在该哥号后的希腊数字表示，常数项记作x3 5x2 8x 1 就记作 krr M .2.3 符号体系的建立数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达(Vieta,15401603).他在研究丢番图的著作中获得了使用字母的想法.在分析术入门(1591)中，他第一次有意识地使用

5、系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量.韦达的这种做法受到后人的赞赏，在数学著作中采用数学符号的风气流行起来，对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡儿(Descartes,15961620)完成的，他首先用拉丁字母的前几个(a,b,c,)表示已知量，后几个(x,y,z,)表示未知量，成为今天的习惯.从16世纪起，经过300年实践和筛选，才使数学有了一个简洁明了的符号体系，这种数学文字到19世纪已通行于全世界，它不但推动了数学本身的发展 ，而且对其他学科的发展 有着十分巨大的作用.2.3.1 运算符号2.3.1.1 加减号：“+”、“-”加号“+”和减号“-”是德国人魏

6、德曼(Widman,1460？)于1489年首先使用的，当时他是用 来表示“过剩”与“不足” . 1514年荷兰人赫克(Hoeke)正式把他们作为代数运算符号使用，直至 1630年才被数学家们袭用、公认和通行.2.3.1.2 乘号 “x”、“ ”乘号“X”是由英国人奥特雷德( Oughtred,15741660)于1631年首先引入.因为乘法是一 种特殊的加法，为了与“ ”区别开，把加号“ "斜写成“X”号，为了区别字母工,有时把“X” 写成“ ”，或省略不写，所以“X”与耍 ”这两种符号都被采用并延用至今.2.3.1.3 比例“：”英国人奥特雷德于1631年用“：”表示比.2.3.

7、1.4 除号 “ 一 ”除号“ 一 ”出现在17世纪，是由用作除号的横线“-”与比“：”号结合而成，但其最早使用者 说法不一，有英国人华里斯 (Wallis,1616 1703)最早使用和瑞士人拉恩 (J H Rahn,16221676) 最早使用之说.2.3.1.5 乘方和哥号：“an”乘方的符号“ an ”是经历了相当长的演变过程才形成的.1484年修开(N.chuquet,约14451500)用数字表示指数，如120,121,122表示12 ,12x1,12x2 .现在的乘方记法a2,a3,是1637年笛卡 尔首先使用的，但指数只限于正整数.英国华里斯在1659年扩之为负数指数和分指数，

8、最后，是由牛顿(Newton,16421727)于1676年扩之为有理数，到了 19世纪末，随着无理数理论的产生，随 之扩展为无理数.2.3.1.6 根号 “在13世纪时，人们用符号“ R”表示方根，平方根、立方根分别用R2,R3来表示.在1525年,奥地利数学家鲁道夫( Chrissto Rudolf, 约1500约1545)把根号记作,这是由拉丁文“radix(根)”的第一个字母“ r”演变而成的；现今的平方根号“是笛卡儿把鲁道夫引进的根号与韦达引进的线括号“一一”结合起来的，到 18世纪初，把根指数放在根号空隙上面的 写法才普遍使用.2.3.1.7 对数号 “log”、“In ”莱布尼茨

9、(Leibniz,1646 1716)于1682年首先引进对数符号“蜘”，他源于拉丁文logarithm（ 对数）”的缩写."In"是由"natural logarithm”缩写而成.2.3.1.8 微积分符号莱布尼茨于1675年把英文“sum”或拉丁文“ summa的第一个字母 S拉长来表示积分 号；不久，他又引进“ dx”、“ dy ”、""等."d”是“ differential "(是微分)的第一个字母2.3.1.9 总和符号K”“汇”是欧拉(Leonhard Euler,1707 1783)于1755年首创，它源于

10、希腊文“增加”的头写字 母 的大写2.3.2 关系符号2.3.2.1等号 =8二”是英国数学家雷科德(R-Recarde)于1557年在他的著作中首创，但在当时并没有普遍使用.此后法国数学家韦达于1591年使用“”表示相等，笛卡尔于 1637年使用表示相等，直到1686 年英国数学家再次使用“=”表示相等，并得到数学家莱布尼茨的倡议以后，才被世人广泛使用，并沿用至今2.3.2.1 不等号“ ”、“ ”是英国数学家哈里奥特(T H arriot,1560 1621)于16世纪首创.其他不等号: 如“ ”、 “”、 “ ”等是近代逐步演变而成的2.3.2.2 全等、相似号全等“0”它是由“s”与等

11、号“二”结合而成，它表示两个图形之间形状相似，且大小相等的 涵义；相似符号“s”是“similar 相似)”的头写字母S横写而成.其它，如平行符号“/”，垂直符号U” ，属于号“C”，并"U"，交”"，包含“”，合取“A”，析取“V”，等价""推出“”.2.3.3 概念符号2.3.3.1 三角函数符号正弦"sin "、正切"tan"、正割"sec"这三个符号是荷兰数学家吉拉德 (Arbert Girard,1595 1632) 于 1626 年首创，源于 “ sine 、 tangen

12、t 、 secant ” 缩写； 余弦 “ cos”、 余切 “ cot ”、 余割 “ csc”是英国奥特雷德于1657 年首创，源于“cosine 、 cotangent 、 cosecant ”的缩写2.3.3.2 已知数、未知数笛卡尔于1637用拉丁字母表中前面的小写字母“a,b,c,”表示已知数，用后面的字母未知数x, y,z,2.3.3.3 极值符号最小符号"min "和最大符号"max "源于"minimum"和"maximumd”的缩写；极限符号"lim '是“limit ”的缩写.2.3.

13、3.4 函数符号 “ f (x) ”“函数” 一词是莱布尼茨首创.符号 f (x)则是欧拉于 1734年引进的，其中 f源于函数“function " 的头写字母.2.3.3.5 行列式符号“行列式” 一词是由法国人柯西(Cauchy,17891857)首先引用，两条竖线是他于1841年引用的：如二阶行列式：” .a21 a22除此之外还有，如角"",三角形"",平行四边形"，圆u O",三角形判定SAS,ASA,AAS,SSS和HL.",任意的""，存在""，真命题&quo

14、t;T",假命题"F",自然数”N",整数"Z",有理数"Q",实数"R",复数"C",自然数底"e"和虚数"i ",.3数学符号的作用数学符号的使用是推动数学发展的内在动力因素之一，数学的一切进步都是对引入符号的反 映.数学符号具有高度概括性、精确性和形式化等特点，它是人们在研究数学进程中的有利工具.3.1 数学符号的特点3.1.1 高度概括性自然语言本身就是一种概括，而数学语言又是对自然语言的进一步概括，如“1,2, 3,”自然语言

15、表示为“一切自然数”，而用数学语言就是“ N',这样大大缩短了句子的长度，相应地增加 了思维进度.又如(1)形如y kx b ( k 0)就叫做一次函数.(2)令 cn(2n 2)! (n 1,2,3), cn 叫做 Ctalan 数.n! n 1 !3.1.2 精确性证明和计算是数学的主要内容，证明按着逻辑规则推导出最后结果；计算虽然只是与数字打交 道，但也遵循着一定的算法规则，从而推演出结论，因此无论是证明还是计算都离不开推理.但是 如果没有数学符号系统，在数学推理中完全采用自然语言：一方面，这种表述很不准确，其词汇的 多意性，很容易导致思维的混乱，甚至失去原来的意义；另一方面，由

16、于逻辑关系很不明显，说理 不清，推理过程将越来越繁杂、冗长，特别是计算杂乱，容易出错.而数学符号或由数学符号组成的式子只包含一个意思，它抛开了客观事物的具体内容，只保留了量和结构方面的特征，并利用概念符号、运算符号和关系符号，使运算或推理过程机械化，从而会使运算推理更精确、清楚如 设 n,s 是非负整数且n s, 对于每个非负整数K (sk n),ak,i(is,s 1,)k)是复数，则nkak,iksisisnak,i ki证明nkak,ias,sas 1,s as 1,s 1k si sas 2,sas 2,s 1 as 2,s 2+an,n? ? ? ? ? +an,san,s 1令 b

17、iak,i (i kikskak,ibsisnak,s kss,s 1,，ksn),bs 1+bnak,s1nbiisiskiak,n nak,i 又如 求 1.083.96的近似值设 f (x)xy,令 i,yo4, x0.08, y0.04由公式:f (x,y)f (x0, y0 ) fx(xx0)fy(y y0)3.961.083.96f (x0x, y0y)f (1,4)fx(1,4) x fy(1,4) y1 4.8 14 ln1 ( 0.04)1 0.32 1.32假如上述两例子全部用自然语言叙述，真不敢想象会是什么情况3.1.3 形式化形式化主要表现在，把语言形式转化为符号形式符

18、号具有抽象性：它一方面可以代表概念的ax2 bx c 0(a 0) ”表示；另文字叙述，如：函数用“y f (x) ”表示，一元二次方程用“你将一事无成，除非方面，又可以参与运算，有时还可以程序化，从而过渡到计算机语言，如:你努力学习” 7(P8)解设P：你努力学习.Q ：你将一事无成PQ3.2 数学符号的功能3.2.1 认识功能世界上能不分国家和种族都适用的文字，只有数学符号，当你用数学符号写出一个运算或推理过程的时候：如a2 b2 a2 2ab b2 2ab(a b)2 2ab任何国家只要念过初中的人都会看明白，这样很有利于数学的传播3.2.2 可操作数学中的各种运算，都有各自的法则和步骤

19、，如：一元一次方程中去分母、去括号、移项、合并同类项等，这样大大简便了推理演算3.2.3 简约思维德国数学家莱布尼茨说过： “符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约，在这里它以惊人的形式节省了思维 ”俄国数学家罗巴切夫斯基说“数学符号的语言更加完善、准确明了地提供了把一些概念传达给别人的方法，利用了符号，数学上的每一个论断和它们所描述的东西就可以更快地被别人所了解”我国九章算术8(P203)中有一题：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？”题中“禾”为黍米， “秉”指捆， “实”是打下的粮食这道题乍一看让人费解，但是如果我们利用数学符号的话，这题很快就被人了解了. 设上、中、下禾各一秉打出的粮食分别为x,y,z (斗)，则问题就是相当于解一个三元一次方程组：3x 2y z 392x 3y z 34x 2y 3z 26总之，整