工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

1、第一章行列式 1。利用对角线法则计算下列三阶行列式: （1)；解=2´（-4）´3+0´（1)´（1）+1´1´80´1´32´（1）´81´（4）´（1）=24+8+164=4。 （2）;解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abca3b3c3。 (3）；解=bc2+ca2+ab2ac2-ba2cb2=（a-b）（bc）（ca）。 （4）。解 =x（x+y）y+yx（x+y）+（x+y)yx-y3-（x+y)3-x3=3xy（x+y）y33x2yx3y3-x

2、3=-2（x3+y3）。2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数:(1）1 2 3 4； 解逆序数为0(2）4 1 3 2； 解 逆序数为4: 41， 43， 42， 32.（3）3 4 2 1； 解 逆序数为5： 3 2， 3 1， 4 2, 4 1， 2 1。（4）2 4 1 3; 解 逆序数为3： 2 1, 4 1， 4 3.（5）1 3 ××× （2n-1) 2 4 ××× （2n）； 解 逆序数为：3 2 (1个）5 2， 5 4(2个）7 2， 7 4， 7 6（3个）×××

3、15;××(2n1)2， (2n1)4， （2n-1）6，×××, (2n1）(2n2）(n1个)（6)1 3 ××× (2n-1） (2n) (2n2) ××× 2. 解 逆序数为n（n-1) ：3 2（1个）5 2， 5 4 （2个）××××××（2n1）2， (2n-1）4， (2n1）6,×××， （2n1）(2n2)(n1个）4 2（1个）6 2, 6 4（2个）××

4、××××(2n）2， (2n）4， (2n）6，×××, （2n）（2n-2）（n1个）3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。 解 含因子a11a23的项的一般形式为（-1）ta11a23a3ra4s，其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.所以含因子a11a23的项分别是（-1）ta11a23a32a44=（-1）1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,（-1)ta11a23a34a42=（-1）2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4。计算下列各行列式：(1

5、）；解.(2）；解 。（3）；解 .（4）。 解 =abcd+ab+cd+ad+1. 5。证明： （1)=(ab）3；证明=（a-b）3。 (2）；证明。 （3）；证明(c4c3，c3-c2,c2-c1得）（c4c3，c3-c2得)。 （4)=（ab)(ac）（ad)(bc)（b-d）(cd）（a+b+c+d）；证明 =(a-b）（ac）(ad）（bc)（bd）(c-d）(a+b+c+d）. (5）=xn+a1xn1+×××+an1x+an.证明 用数学归纳法证明.当n=2时，命题成立。 假设对于（n1）阶行列式命题成立,即Dn-1=xn-1+a1xn2+

6、5;××+an2x+an1,则Dn按第一列展开, 有=xDn1+an=xn+a1xn1+×××+an1x+an。 因此，对于n阶行列式命题成立.6。设n阶行列式D=det（aij)， 把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转，依次得,，证明，D3=D. 证明因为D=det（aij),所以. 同理可证.。7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式)：(1）， 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; 解(按第n行展开） =anan2=an2（a21).（2)；解 将第一行乘（-1）分别加到其余各行，得,再将各列都加到第一列上，

7、得=x+（n-1）a（xa）n1。（3）; 解 根据第6题结果, 有此行列式为范德蒙德行列式.。（4）； 解 （按第1行展开）. 再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n2bncnD2n2, 即D2n=(andn-bncn)D2n2.于是 。而,所以 .（5） D=det（aij）,其中aij=i-j|； 解 aij=|i-j,=（-1）n1（n1)2n2。（6）, 其中a1a2×××an¹0。解 .8。用克莱姆法则解下列方程组:（1）; 解 因为,所以 ,，.（2). 解 因为,所以,，,。9。问l，m取何值时，齐次线性方程组有非零解？ 解 系

8、数行列式为. 令D=0,得m=0或l=1.于是, 当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解。10。问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？ 解 系数行列式为 =（1l)3+(l-3）4（1l)2（1l)（3-l)=（1l）3+2（1-l）2+l3。 令D=0， 得l=0，l=2或l=3.于是, 当l=0,l=2或l=3时，该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.解由已知：,故 ,.2。已知两个线性变换,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换。解由已知,所以有.3。设，, 求3AB-2A及ATB.解,.4

9、。计算下列乘积：(1）;解.(2）；解 =(1´3+2´2+3´1)=(10）.(3）；解 .(4）；解 .(5）;解 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3）. 5。设，, 问:（1）AB=BA吗？解AB¹BA. 因为, 所以AB¹BA.（2)(A+B）2=A2+2AB+B2吗? 解 (A+B）2¹A2+2AB+B2. 因为,但 ,所以（A+B)2¹A2+2AB+B2.(3)(A+B)（A-B）=A2-B2吗? 解 (A+B)（A-B）¹A2

10、-B2. 因为,而 ,故（A+B）（A-B）¹A2-B2. 6。举反列说明下列命题是错误的:（1）若A2=0, 则A=0; 解 取, 则A2=0, 但A¹0.（2）若A2=A,则A=0或A=E； 解 取, 则A2=A，但A¹0且A¹E.(3）若AX=AY，且A¹0，则X=Y。 解 取,则AX=AY，且A¹0，但X¹Y。7。设，求A2,A3,×××,Ak.解,××××××,.8.设，求Ak。解首先观察,×××

11、×××,. 用数学归纳法证明： 当k=2时,显然成立. 假设k时成立，则k+1时，,由数学归纳法原理知：.9。设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵。证明因为AT=A, 所以（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵。10。设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.证明充分性：因为AT=A,BT=B, 且AB=BA, 所以（AB）T=（BA)T=ATBT=AB,即AB是对称矩阵.必要性： 因为AT=A,BT=B, 且（AB）T=AB, 所以AB=（AB）T=BTAT=BA. 1

12、1.求下列矩阵的逆矩阵: （1)；解。 |A=1,故A1存在。因为，故。 (2）;解. |A=1¹0,故A1存在。因为，所以. (3）；解. A|=2¹0，故A-1存在。因为，所以。 （4）（a1a2×××an¹0） 。解,由对角矩阵的性质知。 12.解下列矩阵方程:（1）；解 .（2）； 解 .（3）； 解 .（4)。 解 .13。利用逆矩阵解下列线性方程组： (1); 解 方程组可表示为,故 ,从而有 . （2）. 解 方程组可表示为,故 ,故有 . 14。设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+×&

13、#215;×+Ak-1.证明 因为Ak=O, 所以E-Ak=E. 又因为E-Ak=（E-A）(E+A+A2+×××+Ak-1）,所以 （E-A）(E+A+A2+×××+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A）可逆, 且（E-A）-1=E+A+A2+×××+Ak-1.证明一方面, 有E=（E-A）-1（E-A).另一方面, 由Ak=O, 有E=（E-A）+（A-A2)+A2-×××-Ak-1+（Ak-1-Ak)=（E+A+A2+×××+A

14、k-1)(E-A),故 （E-A）-1(E-A）=(E+A+A2+×××+Ak-1)(E-A）,两端同时右乘(E-A)-1,就有 （E-A）-1(E-A)=E+A+A2+×××+Ak-1.15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆，并求A-1及(A+2E）-1。 证明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E, 即A(A-E）=2E,或 ，由定理2推论知A可逆, 且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E, 即(A+2E）（A-3E)=-4E,或 由定理2推论知(A+2E)可逆, 且.证明由A2-A-2E=O得A2

15、-A=2E,两端同时取行列式得 A2-A|=2,即 |A|A-E=2，故 A|¹0,所以A可逆，而A+2E=A2,A+2E=A2|=|A2¹0,故A+2E也可逆。由A2-A-2E=OÞA（A-E)=2EÞA-1A（A-E）=2A-1EÞ,又由A2-A-2E=OÞ（A+2E）A-3（A+2E）=-4EÞ (A+2E)(A-3E）=-4 E,所以 （A+2E)-1（A+2E)（A-3E）=-4(A+2 E)-1,. 16。设A为3阶矩阵，求|(2A）-15A|。解因为，所以=2A-1=（-2)3A1=8A1=8´2=1

16、6。 17。设矩阵A可逆,证明其伴随阵A也可逆，且（A）1=(A1）.证明由,得A*=|AA-1， 所以当A可逆时, 有A*=AnA1=|A|n-1¹0,从而A也可逆。因为A=A|A1，所以 (A）-1=A-1A.又, 所以(A)-1=A-1A=A-1|A（A-1）*=（A-1)*.18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A, 证明:（1)若A=0，则|A|=0;(2)A=|A|n-1.证明（1）用反证法证明.假设A|¹0, 则有A（A*）-1=E,由此得A=AA（A）-1=|A|E（A)-1=O,所以A=O, 这与|A¹0矛盾,故当|A|=0时, 有|A=0. (2)由于

17、， 则AA=A|E, 取行列式得到 A|A=|A|n.若A|¹0, 则A*=An-1;若A=0, 由(1）知A|=0, 此时命题也成立.因此A=A|n-1. 19.设,AB=A+2B, 求B。解由AB=A+2E可得（A-2E)B=A,故. 20. 设, 且AB+E=A2+B, 求B. 解 由AB+E=A2+B得(A-E）B=A2-E,即 （A-E）B=（A-E)（A+E）. 因为, 所以（A-E）可逆, 从而. 21. 设A=diag(1,-2,1）,A*BA=2BA-8E, 求B. 解 由A*BA=2BA-8E得（A*-2E）BA=-8E,B=-8（A*-2E）-1A-1=-8A（

18、A-2E)-1=-8（AA*-2A）-1=-8（AE-2A）-1=-8(-2E-2A)-1=4(E+A）-1=4diag（2,-1,2）-1=2diag(1,-2,1）. 22. 已知矩阵A的伴随阵,且ABA-1=BA-1+3E, 求B.解 由|A=A3=8, 得|A=2.由ABA-1=BA-1+3E得AB=B+3A,B=3（A-E）-1A=3A(E-A-1）-1A. 23。设P-1AP=L，其中，求A11.解由P-1AP=L,得A=PLP-1, 所以A11=A=PL11P-1. |P=3,而,故. 24. 设AP=PL, 其中,求j（A)=A8（5E-6A+A2）.解 j（L）=L8（5E-

19、6L+L2）=diag（1,1,58)diag（5,5,5）-diag（-6,6,30)+diag(1,1,25)=diag（1,1,58)diag(12,0,0）=12diag(1,0,0).j(A）=Pj（L)P-1. 25. 设矩阵A、B及A+B都可逆, 证明A-1+B-1也可逆, 并求其逆阵.证明 因为A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,而A-1(A+B）B-1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A-1（A+B)B-1可逆, 即A-1+B-1可逆.(A-1+B-1）-1=A-1（A+B）B-1-1=B（A+B）-1A. 26. 计算. 解 设,则 ,而 ,所以 ,即 .27

20、。取，验证. 解 ,而 ,故 . 28。设，求|A8及A4. 解令,则 ,故 ,. 29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求 （1);解设, 则 .由此得 Þ,所以. （2）.解 设, 则.由此得 Þ,所以 . 30. 求下列矩阵的逆阵: （1）; 解 设, 则,.于是 . （2）. 解 设, 则。第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:（1）;解 （下一步:r2+（-2)r1,r3+（-3)r1.) (下一步:r2¸(-1）,r3¸（-2）.) （下一步:r3-r2.） （下一步:r3¸3.） （下一步:r2+3r

21、3.） (下一步:r1+（-2)r2,r1+r3.） .（2）;解 (下一步：r2´2+（-3)r1,r3+(2)r1。 ) (下一步：r3+r2,r1+3r2. ) （下一步:r1¸2。 ) .(3）;解(下一步：r2-3r1，r3-2r1，r43r1。 ) （下一步：r2¸(4),r3¸（3） ，r4¸(5)。 ） （下一步：r13r2，r3r2，r4-r2。 ) .（4). 解 （下一步:r12r2，r3-3r2，r42r2. ） （下一步:r2+2r1，r38r1，r4-7r1. ) （下一步:r1«r2，r2´（-

22、1），r4-r3。 ） (下一步：r2+r3。 ) . 2. 设, 求A. 解 是初等矩阵E（1,2）, 其逆矩阵就是其本身.是初等矩阵E（1, 2（1）, 其逆矩阵是E（1, 2(-1) . 3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1）;解 故逆矩阵为.（2）.解 故逆矩阵为. 4.(1)设, 求X使AX=B;解因为,所以 . （2）设, 求X使XA=B. 解 考虑ATXT=BT. 因为,所以 ,从而 . 5. 设,AX=2X+A, 求X. 解 原方程化为（A-2E)X=A. 因为,所以 .6. 在秩是r的矩阵中，有没有等于0的r-1阶子式？ 有没有等于0的r阶子式？ 解在秩是r

23、的矩阵中, 可能存在等于0的r-1阶子式, 也可能存在等于0的r阶子式. 例如,R（A）=3.是等于0的2阶子式,是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A中划去一行得到矩阵B, 问A,B的秩的关系怎样？解R（A）³R(B）. 这是因为B的非零子式必是A的非零子式, 故A的秩不会小于B的秩. 8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是（1,0,1,0,0）,（1,-1,0,0,0）.解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:,此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1）；解（下一步：r1«r2. ） (下一步

24、：r23r1，r3-r1。 ） （下一步：r3-r2。 ) ,矩阵的,是一个最高阶非零子式.（2); 解 （下一步：r1-r2，r22r1，r37r1。 ） (下一步:r3-3r2. ） ,矩阵的秩是2,是一个最高阶非零子式.（3）. 解 （下一步：r12r4,r22r4，r33r4。 ) （下一步:r2+3r1，r3+2r1。 ） （下一步：r2¸16r4，r316r2。 ） ,矩阵的秩为3,是一个最高阶非零子式.10. 设A、B都是m´n矩阵, 证明AB的充分必要条件是R（A)=R（B）.证明 根据定理3, 必要性是成立的. 充分性. 设R(A）=R(B）, 则A与B的

25、标准形是相同的. 设A与B的标准形为D, 则有AD,DB.由等价关系的传递性, 有AB.11. 设, 问k为何值, 可使（1）R（A）=1;(2)R（A）=2;(3）R（A)=3.解 .(1)当k=1时,R（A)=1;(2)当k=-2且k¹1时,R(A）=2;(3)当k¹1且k¹-2时,R（A)=3. 12. 求解下列齐次线性方程组： （1);解对系数矩阵A进行初等行变换, 有A=,于是 ,故方程组的解为（k为任意常数）. （2）; 解 对系数矩阵A进行初等行变换，有A=,于是 ,故方程组的解为(k1,k2为任意常数）. （3);解 对系数矩阵A进行初等行变换,有

26、A=,于是 ,故方程组的解为. （4）. 解 对系数矩阵A进行初等行变换，有A=,于是 ,故方程组的解为（k1,k2为任意常数). 13. 求解下列非齐次线性方程组： （1）; 解 对增广矩阵B进行初等行变换，有B=,于是R（A）=2, 而R（B）=3, 故方程组无解. (2）; 解 对增广矩阵B进行初等行变换，有B=,于是 ,即 （k为任意常数）。 （3）;解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=,于是 ,即 （k1，k2为任意常数）. （4）.解对增广矩阵B进行初等行变换,有B=,于是 ,即 (k1,k2为任意常数). 14。写出一个以为通解的齐次线性方程组.解根据已知，可得，与此等价地可以写

27、成，或，或,这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.15.l取何值时, 非齐次线性方程组.（1）有唯一解; (2）无解; (3）有无穷多个解？ 解 . （1)要使方程组有唯一解, 必须R（A)=3. 因此当l¹1且l¹-2时方程组有唯一解。(2）要使方程组无解, 必须R(A)<R（B), 故（1-l）（2+l）=0,(1-l）(l+1)2¹0.因此l=-2时, 方程组无解.（3)要使方程组有有无穷多个解, 必须R（A)=R（B）<3, 故（1-l）（2+l）=0,(1-l）(l+1)2=0.因此当l=1时, 方程组有无穷多个解。 16. 非齐次线性方程

28、组当l取何值时有解？并求出它的解.解.要使方程组有解, 必须(1-l）(l+2）=0, 即l=1,l=-2.当l=1时,方程组解为或,即 (k为任意常数）. 当l=-2时,方程组解为或,即(k为任意常数). 17. 设.问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？ 并在有无穷多解时求解.解B= .要使方程组有唯一解, 必须R（A）=R（B）=3, 即必须(1-l）(10-l)¹0,所以当l¹1且l¹10时, 方程组有唯一解。要使方程组无解, 必须R（A）<R（B), 即必须（1-l)（10-l）=0且(1-l)(4-l）¹0,所以当l=10

29、时, 方程组无解。要使方程组有无穷多解, 必须R（A)=R（B）<3, 即必须（1-l）（10-l）=0且（1-l)（4-l）=0,所以当l=1时, 方程组有无穷多解.此时,增广矩阵为B,方程组的解为,或 (k1,k2为任意常数). 18. 证明R(A）=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT,使A=abT.证明 必要性. 由R(A)=1知A的标准形为,即存在可逆矩阵P和Q, 使, 或. 令,bT=（1,0,×××,0)Q-1, 则a是非零列向量,bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因为a与bT是都是非零向量, 所以A是非零矩阵, 从而

30、R（A)³1. 因为 1£R（A)=R（abT）£minR(a）,R(bT）=min1, 1=1,所以R（A）=1. 19. 设A为m´n矩阵, 证明(1）方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m; 证明 由定理7, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=R（A,Em）,而| Em是矩阵(A,Em）的最高阶非零子式, 故R(A）=R(A,Em）=m. 因此, 方程AX=Em有解的充分必要条件是R(A)=m.(2)方程YA=En有解的充分必要条件是R(A）=n. 证明 注意, 方程YA=En有解的充分必要条件是ATYT=En有解. 由(1） A

31、TYT=En有解的充分必要条件是R(AT）=n.因此,方程YA=En有解的充分必要条件是R(A）=R(AT)=n. 20. 设A为m´n矩阵, 证明: 若AX=AY, 且R(A)=n, 则X=Y. 证明 由AX=AY, 得A（X-Y)=O. 因为R（A)=n, 由定理9, 方程A（X-Y）=O只有零解, 即X-Y=O,也就是X=Y.第四章向量组的线性相关性 1. 设v1=（1,1,0）T,v2=（0,1,1）T,v3=（3,4,0)T,求v1-v2及3v1+2v2-v3.解v1-v2=（1,1,0)T-（0,1,1）T=(1-0,1-1,0-1）T=(1,0,-1）T. 3v1+2v

32、2-v3=3（1,1,0)T+2（0,1,1）T-(3,4,0）T=（3´1+2´0-3,3´1+2´1-4,3´0+2´1-0）T=(0,1,2)T. 2. 设3(a1-a)+2（a2+a)=5(a3+a),求a, 其中a1=(2,5,1,3）T,a2=(10,1,5,10)T,a3=（4,1,-1,1）T.解由3(a1-a）+2（a2+a）=5（a3+a)整理得=（1,2,3,4）T.3. 已知向量组A:a1=（0,1,2,3)T,a2=（3,0,1,2）T, a3=（2,3,0,1）T;B:b1=（2,1,1,2)T,b2=(0

33、,-2,1,1)T, b3=（4,4,1,3）T,证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 证明 由知R(A）=R（A,B)=3, 所以B组能由A组线性表示. 由知R(B）=2. 因为R（B)¹R（B,A）, 所以A组不能由B组线性表示.4. 已知向量组A:a1=（0, 1, 1）T,a2=（1, 1, 0）T;B:b1=（-1, 0, 1）T,b2=（1, 2, 1）T, b3=（3, 2,-1）T,证明A组与B组等价. 证明 由,知R(B)=R（B,A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R（A）³2, 又R(A)£R(B,A）=2, 所以R(

34、A）=2, 从而R(A)=R（B）=R（A,B). 因此A组与B组等价.5. 已知R（a1,a2,a3）=2,R(a2,a3,a4）=3, 证明(1) a1能由a2,a3线性表示;（2） a4不能由a1,a2,a3线性表示. 证明 (1）由R（a2,a3,a4)=3知a2,a3,a4线性无关, 故a2,a3也线性无关. 又由R（a1,a2,a3）=2知a1,a2,a3线性相关, 故a1能由a2,a3线性表示. （2)假如a4能由a1,a2,a3线性表示, 则因为a1能由a2,a3线性表示, 故a4能由a2,a3线性表示, 从而a2,a3,a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1,a2,a3线

35、性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:（1) (-1, 3, 1）T,(2, 1, 0）T,（1, 4, 1）T;（2) (2, 3, 0）T,（-1, 4, 0)T,（0, 0, 2）T. 解 （1）以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为,所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为,所以R(B）=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1=（a,1,1)T,a2=（1,a,-1）T, a3=（1,-1,a）T. 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由知, 当a=-1、0

36、、1时,R（A）<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a1,a2线性无关,a1+b,a2+b线性相关, 求向量b用a1,a2线性表示的表示式. 解 因为a1+b,a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1,l2使l1（a1+b）+l2（a2+b)=0,由此得 ,设, 则b=ca1-(1+c）a2,cÎR. 9.设a1,a2线性相关,b1,b2也线性相关, 问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. 解 不一定.例如, 当a1=（1,2)T，a2=（2,4）T， b1=(-1,-1)T，b2=(0,0）T时, 有a1+b1=（1,2）T+b1=（0,1)T，a2+b

37、2=（2,4）T+（0,0）T=（2,4)T,而a1+b1,a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的: （1）若向量组a1,a2,×××,am是线性相关的, 则a1可由a2,×××,am线性表示.解 设a1=e1=（1,0,0,×××,0）,a2=a3=×××=am=0, 则a1,a2,×××,am线性相关, 但a1不能由a2,×××,am线性表示. (2）若有不全为0的数l1

38、,l2,×××,lm使l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0成立, 则a1,a2,×××,am线性相关, b1,b2,×××,bm亦线性相关.解 有不全为零的数l1,l2,×××,lm使l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0,原式可化为l1（a1+b1）+×××+lm（am+bm）=0.

39、取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,×××,am=em=-bm, 其中e1,e2,×××,em为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1,a2,×××,am和b1,b2,×××,bm均线性无关. (3）若只有当l1,l2,×××,lm全为0时, 等式l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0才能成立, 则a1,a2,×××,am线性无关,

40、b1,b2,×××,bm亦线性无关.解 由于只有当l1,l2,×××,lm全为0时, 等式由l1a1+×××+lmam+l1b1+×××+lmbm=0成立, 所以只有当l1,l2,×××,lm全为0时, 等式l1（a1+b1)+l2（a2+b2）+×××+lm（am+bm）=0成立. 因此a1+b1,a2+b2,×××,am+bm线性无关. 取a1=a2=××

41、5;=am=0, 取b1,×××,bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1,a2,×××,am线性相关. (4）若a1,a2,×××,am线性相关， b1,b2,×××,bm亦线性相关, 则有不全为0的数,l1,l2,×××,lm使l1a1+×××+lmam=0,l1b1+×××+lmbm=0同时成立. 解 a1=(1,0)T,a2=（2,0）T,b1=（0,3）T,b2=(0,

42、4)T,l1a1+l2a2 =0Þl1=-2l2,l1b1+l2b2 =0Þl1=-(3/4）l2,Þl1=l2=0, 与题设矛盾.11. 设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关. 证明 由已知条件得a1=b1-a2,a2=b2-a3,a3=b3-a4,a4=b4-a1,于是 a1=b1-b2+a3=b1-b2+b3-a4=b1-b2+b3-b4+a1,从而 b1-b2+b3-b4=0,这说明向量组b1,b2,b3,b4线性相关. 12. 设b1=a1,b2=a1+a2,×&

43、#215;×,br=a1+a2+×××+ar,且向量组a1,a2,×××,ar线性无关, 证明向量组b1,b2,×××,br线性无关. 证明已知的r个等式可以写成,上式记为B=AK. 因为K=1¹0,K可逆, 所以R（B）=R（A）=r, 从而向量组b1,b2,×××,br线性无关. 13. 求下列向量组的秩， 并求一个最大无关组： （1）a1=(1, 2,-1, 4）T,a2=（9, 100, 10, 4）T, a3=（-2,-4, 2,-8）T; 解由

44、,知R（a1,a2, a3）=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1,a2线性无关, 所以a1,a2是一个最大无关组. (2)a1T=(1,2,1,3),a2T=（4,-1,-5,-6）, a3T=（1,-3,-4,-7）. 解 由,知R（a1T,a2T, a3T）=R（a1,a2, a3)=2.因为向量a1T与a2T的分量不成比例, 故a1T,a2T线性无关, 所以a1T,a2T是一个最大无关组. 14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1); 解因为,所以第1、2、3列构成一个最大无关组。（2）.解 因为,所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 15. 设

45、向量组(a,3,1）T,(2,b,3）T,（1,2,1)T,（2,3,1）T的秩为2, 求a,b. 解 设a1=（a,3,1）T,a2=（2,b,3）T,a3=(1,2,1)T,a4=（2,3,1）T. 因为,而R（a1,a2,a3,a4）=2, 所以a=2,b=5. 16. 设a1,a2,×××,an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1,e2,×××,en能由它们线性表示, 证明a1,a2,×××,an线性无关. 证法一 记A=(a1,a2,×××,an),E=(e1

46、,e2,×××,en）. 由已知条件知, 存在矩阵K, 使E=AK.两边取行列式, 得E=A|K.可见|A|¹0, 所以R(A)=n, 从而a1,a2,×××,an线性无关. 证法二 因为e1,e2,×××,en能由a1,a2,×××,an线性表示, 所以R（e1,e2,×××,en)£R（a1,a2,×××,an),而R（e1,e2,×××,en）=n,R（a1,a

47、2,×××,an）£n, 所以R（a1,a2,×××,an)=n,从而a1,a2,×××,an线性无关. 17. 设a1,a2,×××,an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量. 因为a1,a2,×××,an线性无关, 而a1,a2,×××,an,a是n+1个n维向量, 是线性相关的, 所以a能由a1,a2,××

48、;×,an线性表示, 且表示式是唯一的. 充分性: 已知任一n维向量都可由a1,a2,×××,an线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,×××,en能由a1,a2,×××,an线性表示,于是有n=R(e1,e2,×××,en）£R(a1,a2,×××,an）£n,即R（a1,a2,×××,an)=n, 所以a1,a2,×××,an线性无关. 18. 设向量组

49、a1,a2,×××,am线性相关, 且a1¹0, 证明存在某个向量ak (2£k£m), 使ak能由a1,a2,×××,ak-1线性表示. 证明 因为a1,a2,×××,am线性相关, 所以存在不全为零的数l1,l2,×××,lm,使l1a1+l2a2+×××+lmam=0,而且l2,l3,×××,lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=0,由a1¹0知l1=0,

50、矛盾. 因此存在k(2£k£m）, 使lk¹0,lk+1=lk+2=×××=lm=0,于是 l1a1+l2a2+×××+lkak=0,ak=-(1/lk)（l1a1+l2a2+×××+lk-1ak-1）,即ak能由a1,a2,×××,ak-1线性表示. 19. 设向量组B:b1,×××,br能由向量组A:a1,×××,as线性表示为（b1,×××,br)=（

51、a1,×××,as）K,其中K为s´r矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.证明令B=(b1,×××,br）,A=（a1,×××,as）, 则有B=AK. 必要性: 设向量组B线性无关。 由向量组B线性无关及矩阵秩的性质, 有r=R（B)=R（AK）£minR（A）,R（K）£R(K）,及 R（K）£minr,s£r.因此R（K）=r.充分性: 因为R（K）=r, 所以存在可逆矩阵C, 使为K的标准形. 于是（b1,

52、×××,br）C=( a1,×××,as)KC=（a1,×××,ar).因为C可逆, 所以R（b1,×××,br)=R（a1,×××,ar）=r, 从而b1,×××,br线性无关. 20. 设,证明向量组a1,a2,×××,an与向量组b1,b2,×××,bn等价. 证明 将已知关系写成,将上式记为B=AK. 因为,所以K可逆, 故有A=BK-1. 由B=A

53、K和A=BK-1可知向量组a1,a2,×××,an与向量组b1,b2,×××,bn可相互线性表示. 因此向量组a1,a2,×××,an与向量组b1,b2,×××,bn等价. 21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x,Ax,A2x线性无关. （1）记P=（x,Ax,A2x）, 求3阶矩阵B, 使AP=PB; 解 因为AP=A（x,Ax,A2x）=（Ax,A2x,A3x）=（Ax,A2x,3Ax-A2x),所以.(2）求A. 解 由A3x=3A

54、x-A2x, 得A（3x-Ax-A2x)=0. 因为x,Ax,A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x¹0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R（A)<3,A=0. 22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:(1）; 解对系数矩阵进行初等行变换, 有 ,于是得. 取(x3,x4）T=（4, 0）T, 得(x1,x2）T=（-16, 3)T; 取（x3,x4）T=（0, 4）T, 得（x1,x2）T=（0, 1）T. 因此方程组的基础解系为x1=（-16,3,4,0)T,x2=（0,1,0,4）T.（2）. 解 对系数矩阵进行初等行变换，有,于是得. 取（x3,x4）T=（19, 0）

55、T, 得(x1,x2)T=(-2, 14)T; 取（x3,x4)T=（0, 19)T, 得(x1,x2）T=（1, 7)T. 因此方程组的基础解系为x1=（-2, 14, 19,0）T,x2=（1, 7,0, 19)T. （3)nx1+（n-1)x2+×××+2xn-1+xn=0。 解 原方程组即为xn=-nx1-(n-1）x2-×××-2xn-1. 取x1=1,x2=x3=×××=xn-1=0, 得xn=-n; 取x2=1,x1=x3=x4=×××=xn-1=0,得xn=-

56、（n-1）=-n+1;××× 取xn-1=1,x1=x2=×××=xn-2=0,得xn=-2. 因此方程组的基础解系为x1=（1, 0, 0,×××, 0,-n）T,x2=（0,1,0,×××,0,-n+1)T,×××,xn-1=（0,0,0,×××,1,-2）T. 23. 设，求一个4´2矩阵B,使AB=0，且R（B）=2。解显然B的两个列向量应是方程组AB=0的两个线性无关的解. 因为,所以与方程组AB=0同解方程组为. 取（x3,x4）T=(8, 0）T, 得（x1,x2)T=（1, 5）T; 取(x3,x4）T=（0, 8）T, 得（x1,x2）T=(-1, 11）T.方程组AB=0的基础解系为x1=（1, 5, 8, 0）T,x2=（-1, 11, 0, 8）T. 因此所求矩阵为. 24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为x1=（0,1,