中考数学压轴题专题旋转的经典综合题及详细答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1. （1）发现：如图1,点A为线段8c外一动点，且8C=q, AB=b.填空：当点A位于 时，线段4c的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）应用：点A为线段8c外一动点，且8c=4, 48=1,如图2所示，分别以A8, 4C为 边，作等边三角形48。和等边三角形4CE连接CD, BE.请找出图中与8E相等的线段，并说明理由；直接写出线段8E长的最大值.拓展：如图3,在平而直角坐标系中，点A的坐标为（2, 0）,点8的坐标为（6, 0）,点P 为线段A8外一动点，且 = 2, PM=P8, N BPM=90°,请直接写出线段AM长

2、的最大值 及此时点P的坐标.（备用国）【答案】CB的延长线上，a+b： （2）CD=BE,理由见解析；8E长的最大值为5： 满足条件的点P坐标（2-或）或（2-JJ,-&），4M的最大值为2 JI+4.【解析】【分析】（1）根据点八位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论：（2） 根据已知条件易证C4 a EA8,根据全等三角形的性质即可得CD=8E：由于线段 8E长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果：（3）连接8M, 将 4PM绕着点P顺时针旋转90。得到 P8N,连接AM得到AP/V是等腰直角三角形， 根据全等三角形的性质得到PN=% =

3、2, 8A/=AM,根据当N在线段M的延长线时，线段 8N取得最大值，即可得到最大值为2+4：如图2,过P作P£_Lx轴于&根据等腰直角 三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满 足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】.点A为线段8c外一动点，且8c=a, AB = b,当点A位于C8的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为8C+A8 = a+b, 故答案为C8的延长线上，a+b：CD=8E,理由：.A8D与aACE是等边三角形，：.AD=AB, AC=AE, N 8AD=N C4E=60°,/. Z BA

4、D+4 8AC=N CAE+Z. BAC,即N C4D=N EAB,AD = AB在仆 CAD 与 EAB 中，, ZCAD = NEAB , AC = AE: & CAD EAB(SAS).：.CD=BE：;线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由知，当线段C。的长取得最大值时，点。在C8的延长线上, /.最大值为 8D+8C=A8+8C=5；图1 将 APM绕着点P顺时针旋转90。得到 PBN,连接AN, 则4 4PN是等腰直角三角形，:.PN=PA = 2, BN=AM、 A的坐标为(2, 0),点8的坐标为(6, 0), 04 = 2, 08=6,，48=4,/.线段AM长的最

5、大值=线段BN长的最大值，.当N在线段8A的延长线时，线段8N取得最大值， 最大值=48+47,AN=yf2AP=2y/2最大值为2+4：过P作PEJ_x轴于E,APN是等腰直角三角形，PE=AE= 72，. OE=BO - AB - AE=6 - 4 -应=2 -右,.P(2 - JJ,.根据对称性可知当点P在第四象限时，P(2-应，-J5)时，也满足条件.综上所述，满足条件的点P坐标(2 - JI, & )或(2 -, - 0), AM的最大值为2&+4.【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的 性质.正确的作出辅助线构造全等三

6、角形是解题的关键.2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点0作直线EF_LBD,交 AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF,且BE平分N ABD.求证：四边形BFDE是菱形：直接写出NEBF的度数；把中菱形BFDE进行分离研究，如图，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连 接GD, H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段 IH与FH之间满足的关系，并说明理由：把中矩形ABCD进行特殊化探究，如图，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角 线AC上一点，连接DE、EF、DF,使 DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G

7、.请直接写 出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)详见解析：60°. (2) IH=y/3FHr (3) EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】(1)由 00E2 8OF,推出EO=OF, .08=。，推出四边形EBFD是平行四边形, 再证明EB = ED即可.先证明NA80 = 2N4?8,推出N 4)8=30。，延长即可解决问题.(2)旧=/田.只要证明是等边三角形即可.(3)结论：EG2=AG2+CE2.如图3中，将 AOG绕点。逆时针旋转90。得到 DCM,先证明 DE签 DEM,再证明 ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)证明：如图1中，

8、/四边形488是矩形，/./Wil 8C, 08 =。， Z EDO = N FBO,在。£和4 8OF中, * NEDO= /FBO< OD=OB , ZEOD=ZBOF：. DOEW BOF,：.EO=OF, OB=OD, 四边形EBFD是平行四边形， , EF工BD, OB=OD,：.EB=ED, ：.四边形EBFD是菱形. 7 8E平分N ABD.N ABE=N EBD,; EB=ED,：.Z £8D = Z EDB,：.Z ABD=2A ADB9 N ABD+N ADB=90 NAD8=30°, NABD=60°,/. Z ABE=A E

9、BO=N O8F= 30°, . Z EBF= 60°.(2)结论：IH= y/3 FH.理由：如图2中，延长8E到M,使得EM=日.连接ML,四边形E8FD是菱形,Z 8=60%，EB=BF=ED, DEW BF,；JDH=4 FGH,在。山和 GF中, NDHG=NGHF<DH=GH , /JDH=/FGH：. DH足 GHF,：.DJ=FG. JH=HF,：.EJ=BG=EM=BI,：.BE=IM=BF, Z MEJ=Z 8 = 60°, MEJ是等边三角形，/. MJ=EM=Nh Z M=Z 8=60°在4 8代和仆MJI中，BI=MJ&l

10、t; NB=NM , BF=IM B/a mji,：.U=IF, Z BFI=N MIJ, */ HJ=HF,：.IH1JF,Z Bf/+Z 8/F=120°,/. Z M+N BIF= 120 NF=60°, ./7是等边三角形，在 RtZk/HF 中, N IHF=90°, N *”=60°,/. Z FIH=30°,/. IH= y/3 FH.(3)结论：EG2=AG2CE2.理由：如图3中，将 ADG绕点。逆时针旋转90。得到 DCM,: Z FAD+N DEF=90°, 八生。四点共圆， Z £DF=Z D4E=4

11、5。，Z ADC=90 N ADF+N EOC=45°, N ADF=N CDM,：.Z CDM+Z CD£=45°=Z EDG,在aDEM和 DEG中，DE=DE NEDG= NEDM , DG=DM. DEG DEM,：.GE=EM,a：Z DCM=Z D4G=N ACD=45°, AG=CM,：.Z ECM=90Q：.EC2-CM2 = EM2. EG=EM, AG=CM,ge2=ag2ce2.【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定 和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角

12、形，学会转 化的思想思考问题.3.如图 1, aABC 中，CA=CB, Z ACB=90 直线/经过点 C, 4L/于点 F, 8EJJ 于点、E. (1)求证： 么CBE；(2)将直线旋转到如图2所示位置，点。是48的中点，连接D£.若48=4点， NC8E=30。，求 0E 的长.【解析】试题分析：(1)根据垂直的定义得到N8£C=/ACB=90。，根据全等三角形的性质得到N EBC=N CAF,即可得到结论：(2)连接CD, DF,证得8CEWA4CF,根据全等三角形的性质得到8E=CF, CE=AF,证得 OEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到EF=

13、JlDE，EF=CE+BE,进而得 到DE的长.试题解析：解：(1) : 8EJ_CE,N 8EC=N4CB=90°,；.N EBC+N BCE=N BCE+N ACF=900, Z EBC=Z CAF. TAFJJ 于点、F, ：. Z AFC=90°.ZAFC = NBEC = 90°在 BCE 与A ACF 中，； ZEBC = Z.ACF ，.二 ACF CBE (AAS): BC=AC(2)如图 2,连接 CD, DF. / BE±CE.N 8EC=N AC8=90°,，EBC+N BCE=N BCE+N ACF=90°,N

14、 E8C=Z CAF,AFJJ 于点、F, ：. Z AFC=90ZAFC = ZBEC = 90°在a BCE 与4 C4F 中，:ZEBC = ZACF, /. A BCE空 CAF (AAS)；BC = AC：.BE=CF. .点。是 48 的中点，CD=BD, Z CDB=90 ?. Z CBD=Z ACD=45°9 而BE = CFZ EBC=N CAF, ：. Z EBD=N DCF.在仆 BDE 与a CDF 中，'/ ZEBD = ZFCD ,BD = CF:, & BDE CDF (SAS) , Z EDB=N FDC, DE=DF. ,/

15、 Z 8DE+N CDf=90°,NFDC+NCDE=90°,即N£DF=90。，,a EDF是等腰直角三角形，.讦=应。£, EF=CE+CF=CE+BE.CA=CB, Z ACB=90 48二4 点,BC=4.又Y N CBE=300,：.CE=-BC=2, BE=y3 CE=2y/3 , ：. EF=CE+BE=2+2 73 » :. DE= = =显+ 加.2V2 y/2点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形 斜边上的中线的性质，证得 8cm ACF是解题的关键.4.在正方形ABCD中，连接BD.

16、（1）如图1，AE_LBD于E.直接写出N BAE的度数.（2）如图1,在（1）的条件下，将4AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30。后得到 ABF, AB，与BD交于M, AE'的延长线与BD交于N.依题意补全图1:用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.（3）如图2, E、F是边BC、CD上的点， CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF 分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.（不必写出完【答案】（1）45。： （2）补图见解析：BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,证明见解析：（3）答案见解析.【解析】（1

17、）利用等腰直角三角形的性质即可；（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用 勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可；（3）利用4CEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG,再利用（2）证明即可.解:（1） 丁 BD是正方形ABCD的对角线，.N ABD=Z ADB=45。, / AE±BD, Z. Z ABE=Z BAE=45°,（2）依题意补全图形，如图1所示，BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,将 AND绕点D顺时针旋转90。，得到AAFB.，N ADBN FBA, N BAF=N

18、 DAN, DN=BF, AF=AN,;在正方形 ABCD 中，AE±BD,Z ADB=Z ABD=45°, , Z FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90%在R3 BFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2,; 旋转 ANE 得至lj ABiEi，/. Z EiABi=45°, Z BABi+Z DAN=90° - 45°=45% NBAF=DAN, Z BABi+Z BAF=45% /. Z FAM=45% /. Z FAM=Z EiABn AM二AM, AF=AN, AFMW ANM, /. FM;MN,FB2

19、+BM2=FM2, DN2+BM2=MN2,您将 ADF绕点A顺时针旋转90。得到 ABG,. DF=GB,b/正方形ABCD的周长为4AB, CEF周长为EF+EC+CF,a CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，.4AB=2 （EF+EC+CF） ,2AB=EF+EC+CF EC=AB-BE, CF=AB-DF, /. 2AB=EF+AB - BE+AB - DF, /. EF=DF+BE, ,DF=GB, . EF=GB+BE=GE,由旋转得到 AD=AG=AB, AM=AM, /. AEG" AEF, Z EAG=Z EAF=45°,和（2）的一样,得到 DN

20、2+BM2=MN2."点睛”此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判 断出（ AFN2 ANM,得到FM=MM）,是解题的关键.5.在 ABC中，AB二AC, Z A=30°,将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,再将线 段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.（1）如图1，直接写出N ABD和NCFE的度数；（2）在图1中证明:AE=CF：（3）如图2,连接CE,判断 CEF的形状并加以证明.【答案】（1） 15。，45。： （2）证明见解析：（3） 4CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角

21、形的性质得到N ABC的度数，由旋转的性质得到N DBC的度 数，从而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.（2）连接CD、DF,证明ABCD是等边三角形，得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而ABH FD,证明 AEF合口 FCD即可得AE=CF.(3)过点E作EGJ_CF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即 可证明 CEF是等腰直角三角形.(1) :在 ABC 中,AB=AC, Z A=30% Z ABC=75°.,/将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,即N DBC=60°. AZ AB

22、D= 15°.Z CFE=Z A+Z ABD=45°.(2)如图，连接CD、DF.线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD, A BD=BC, Z CBD=60°. BCD是等边三角形./. CD=BD.线段 BD 平移到 EF,EFII BD, EF=BD.四边形BDFE是平行四边形，EF= CD.AB = AC, Z A=30°, /. Z ABC=Z ACB=75°. /. Z ABD=Z ACD=15°.四边形BDFE是平行四边形，ABH FD. /. Z A=Z CFD. AEF合 FCD (AAS)./. AE=CF.(3

23、) CEF是等腰直角三角形，证明如下: 如图，过点E作EG_LCF于G,. Z CFE =45°, /. Z FEG=45°. /. EG=FG.EG = 5AEZ A=30°, NAGE=90°,21 1EG=-CF FG=-CFV AE=CF,2 . /.2.g为CF的中点.EG为CF的垂直平分线.EF=EC./. Z CEF=Z FEG=90°.a CEF是等腰直角三角形.犬3bL 2考点：1 .旋转和平移问题：2.等腰三角形的性质：3.三角形外角性质；4.等边三角形的 判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质；

24、7.含30度直角三 角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质：9.等腰直角三角形的判定.6.思维启迪：（1）如图1, A, B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A, B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点 的点C,连接BC,取BC的中点P （点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CDII AB 交AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A, B间的距离是 米.图1图2图3备用图思、维探索：（2）在aABC 和4ADE 中，AC=BC，AE = DE,且 AEVAC, Z ACB = Z AED =90。，将 ADE绕点A顺时针方向旋

25、转，把点E在AC边上时 ADE的位置作为起始位置 （此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为a,连接BD,点P是线段BD的中点，连接PC, PE.如图2,当 ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是; 如图3,当a=90。时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并 证明你的结论：当a=150。时，若BC = 3, DE = I,请直接写出PC?的值.【答案】（1） 200： （2）PC=PE, PC_LPE：PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PCJ_PE,见解析：PC2=-1（）+ 3-3 .2【解析】【分析】（1）由CDIIAB

26、,可得NC=NB,根据N APB=N DPC即可证明 ABP合 DCP,即可得AB =CD,即可解题.(2)延长EP交BC于F,易证 FBP合 EDP (SAS)可得 EFC是等腰直角三角形，即 可证明 PC = PE, PC±PE.作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,易证 FBP合口 EDP (SAS),结合已知 得BF = DE=AE,再证明FBC二 EAC (SAS),可得 EFC是等腰直角三角形，即可证明 PC=PE, PC±PE.作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长线于H 点，由旋转旋转可知，ZCA

27、E = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30。，得N FBC = N EAC, 同可证可得PC=PE, PCJ_PE,再由已知解三角形得J. ECCH2+HE2=10 + 3jT，即可 求出尸。2=1七。2=叱上也 22【详解】(1)解：V CDII AB, /. Z C=Z B,在 ABP和 DCP中，BP = CP< ZAPB = ZDPC , /B = /C . a ABP合 DCP (SAS),：.DC=AB.AB = 200 米./. CD=200 米,故答案为：200.(2)PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC=PE, PC_LPE.理由如下：如解图1，延

28、长EP交BC于F,同(1)理，可知: FBP合 EDP (SAS),/. PF = PE, BF = DE,又.,AC=BC. AE = DE, . FC=EC,又，Z ACB=90% . EFC是等腰直角三角形， / EP = FP,PC=PE, PC±PE.®PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC = PE, PC±PE.理由如下：如解图2,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF, 同理，可知 FBP合 EDP (SAS), BF = DE, PE = PF=-EFt2; DE=AE, , BF=AE, 当 a=90°时，Z EAC=

29、90",ED II AC, EAII BCFBII AC, Z FBC = 90,/. Z CBF=Z CAE,在 FBC和 EAC中，BF = AE NCBE = ZCAE ,BC = AC/. a FBC合 a EAC (SAS),CF = CE, Z FCB = Z EC A, / Z ACB = 90", . Z FCE = 90°,FCE是等腰直角三角形， / EP = FP,CP±EP, CP = EP=-EF.2如解图3,作BFII DE,交EP延长线于点F,连接CE、CF,过E点作EH_LAC交CA延长 线于H点，当a=150。时，由旋转

30、旋转可知，ZCAE = 150°, DE与BC所成夹角的锐角为30。， Z FBC=Z EAC=a=150°同可得4 FBP级& EDP (SAS),同 FCE是等腰直角三角形，CP_LEP, CP = EP=Y2fE，2在 R3AHE 中，NEAH = 30°, AE = DE = 1,HE=- , AH=昱, 22又 AC=AB=3,.ru q . C Lri 3+,2. EC2 = CH2+HE2=10 + 3>,PC2=kc2J0 + 3022E【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角 形性质、勾

31、股定理和30。直角三角形性质等知识，解题的关犍是正确寻找全等三角形解决 问题，属于压轴题.7.如图1,直线。E上有一点O,过点O在直线0E上方作射线OC, Z C0E= 140%将一直 角三角板4。8的直角顶点放在点。处，一条直角边OA在射线。上，另一边。8在直线 DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒.（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分NCOD,求此时N 80c的度数:（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线04OC、OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，

32、若 不存在，请说明理由：（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕。点以每秒15。的速度逆时针旋转一周， 从旋转开始多长时间，射线OC平分N8OD.直接写出t的值.（本题中的角均为大于0。且 小于180°的角）137【答案】（1）Z BOC= 70°； （2）存在，t=2, t=8 或 32： （3） 一或一.22【解析】【分析】（1）由图可知N8OC=NAO8-NAOC, N 4OC可利用角平分线及平角的定义求出.（2）分04平分NC。，OC平分N40D, OD平分N 40C三种情况分别进行讨论，建立关 于t的方程，解方程即可.（3）分别用含t的代数式表示出N COD和

33、N8OD,再根据OC平分N 8OD建立方程解方程 即可，注意分情况讨论.【详解】(1)解：.- Z C0£= 140°,Z COD=1800 - Z COf=40°,文:OA平分N COD,/. Z AOC= i Z COD=20°, 2,/ Z >408=90%Z BOC=900 - Z AOC=70(2)存在当 04 平分N CO。时，N400=N40C, RP 10°t=20% 解得：t=2；当 OC 平分NAOD 时，N40C=ND0C,即 10°t - 40°=40。，解得:t=8；当 0。平分 NA9c 时，Z AOD=Z COD9 BP 3600 - 10°t=40°,解得：t=32： 综上所述：t=2, t=8或32：1 37(3)大或二r，理由如下：2 2设运动时间为t,则有当 90+10t=2 ( 40+151)时，t=；当 270 - 10t=2 (320 - 15t)时，t=22【点睛】