2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第1节

1、第一章集合与常用逻辑用语第1节集合最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形 语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相 等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给 定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达 集合间的基本关系及集合的基本运算.I知识衍化依验I叵硬教夯实基础知识梳理1 .元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为

2、e和?.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2 .集合间的基本关系子集:若对任意xC A,都有x±B,则A?B或B?A.(2)真子集:若A? B,且集合B中至少有一个元素不属于集合 A,则AB或B A.(3)相等:若A? B,且B?A,贝1I A=B.空集的性质:?是任何集合的子集，是任何韭空集合的真子集.3 .集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表小AUBAn b若全集为U,则集合A的补集为?uAAn A= A,An? = ?,AAB=BnA.(2)AU A= A,A U? = A,AUB=BUA.(3)A A (?uA) = ?,A U (?uA) =

3、U,?u (?uA) = A.微点提醒1 .若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1个.2 .子集的传递性：A? B,B? C? A? C.3 .A?B? AAB = A? AUB=B? ?uA?uB.4 . ?u(A A B) = (?uA) U (?uB),?u(A U B) = (?uA) A (?uB).基础自测疑误辨析1.判断下列结论正误(在括号内打“或"X”)(1)x|y=x2+ 1 =y|y=x2+ 1 =(x,y)|y=x2+ 1.()若x2,1=0,1,则 x = 0,1.()(3)对于任意两个集合A,B,关系(AH B)? (AU B)包成立.

4、()含有n个元素的集合有2n个真子集.()解析(1)错误.x|y= x2+ 1 = R,y|y=x2+ 1 = 1, + °°),(x,y)y=x2+ 1是抛物线 y= x2+ 1上的点集.错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.错误.含有n个元素的集合有2n1个真子集.【参考答案】(1)X (2)X ，(4)X教材衍化、2.(必彳1P12A5 改编)若集合 P = xCNx0也 019,a = 2V2，贝版)A.aCPB.a PD.a?PC.a?P解析 因为a = 2色不是自然数，而集合P是不大于"0i9勺自然数构成的集合，所 以a?P,只有D正确.【参考答

5、案】D3.(必彳3 1P12B1改编)已知集合M = 0,1,2,3,4, N = 1,3,5,则集合MUN的子集的 个数为.解析 由已知得MUN = 0,1,2,3,4,5,所以MU N的子集有26=64(个).【参考答案】64考题体验、4.(2018全国 I 卷)已知集合 A=xX2x 2>0,贝U?rA=()A.x|1<x<2B.x|-1<x<2C.x|x<1 Uxx>2D.x|x< 1 Uxx>2解析 法一 A=xx2x 2>0 = x|(x 2)(x+1)>0=xx<1 或 x>2,所以？rA = x| 1

6、<x<2.法二 因为 A= x|x2 x- 2>0,所以？rA= x|x2-x-2<0=x|-1<x< 2.【参考答案】B5.(2019南昌,g拟)已知集合P = x|x2&1,M = a.若PUM = P,则实数a的取值范 围为()A. -1,1B.1,+oo)C.(8, 1D.(-OO,-1 U1,+OO)解析. P = x|-10x&1,且 PUM=P, .M?P,. .aC P,因此一1&a& 1.【参考答案】A6.(2017 全国 ID卷改编)已知集合 A=(x,y)|x2 + y2=1,B = (x,y)|x,yC

7、 R y = x,则 APB中元素的个数为.解析 集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合B表示直线y= x上 所有点的集合，易知直线y = x和圆x2 + y2= 1相交，且有2个交点，故AH B中有2 个元素.【参考答案】2I考点聚焦突破分类讲练以例求法考点一集合的基本概念【例11 (1)(2019湖北四地七校联考)若集合M = x|x|&1,N = y|y=x2,|x|01,则 ()A.M = NB.M?NC.MAN=?D.N?M1(2)若xCA,则1C A,就称A是伙伴关系集合，集合M = x11,一“一，一，一 ，人，人，* 1,0, 2, 2, 3韵所有非空子集中具

8、有伙彳关系的集合的个数是()A.1B.3C.7D.31解析 (1)易知 M=x|- 1<x< 1,N = y|y= x2,x|< 1 =y|0<y< 1, .N?M.1具有伙伴关系的元素组是1,2,2，所以具有伙伴关系的集合有3个:21 1 21. 一.<1I >1.21-2【参考答案】(1)D (2)B规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合 是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么：从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的

9、元素是否满足互异性.【训练 11 (1)(2018 全国 II 卷)已知集合 A= (x,y)|x2+y2&3,x1 Z,yC Z，则 A 中元 素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)设集合A=x(x a)2<1,且2 C A,3?A,则实数a的取值范围为.解析 (1)由题意知 A= ( 1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(- 1, 1),( 1,1),(1,- 1),(1,1),故集合A中共有9个元素. ，_、 2_(2a) <1,1<a<3,(2)由题意得,。、2 解得 . AL (3- a)>1,a< 2或a&g

10、t;4.所以1<a02.【参考答案】(1)A (2)(1,2考点二集合间的基本关系【例 2】 已知集合 A=xy=，1x2，xC R,B = xX= m2,me AJiJ（）B.B AA.A BC.A?BD.B = A（2019 郑州调研）已知集合 A=x|x25x1400,集合 B = x|m+1<x<2m1, 若B? A,则实数m的取值范围为.解析 （1）易知 A=x|-1<x<1,所以 B = x|x= m2,mC A =x|0&x< 1.因此B A.一 2（2）A= xx2-5x-14< 0=x|-2<x<7.当 B=?时，

11、有 m+1>2m1,则 m< 2.当Bw?时，若B? A,如图.卜卜 i, m+12m-lmm+14 2 ,则2m107,、m+ 1<2m 1,解得 2<mi< 4.综上,m的取值范围为（一0°,4.【参考答案】（1）B （巴可规律方法 1.若B? A,应分B = ?和B w ?两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间 端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、 Venn图，化抽象为直观进行求解.【训练2】（1）（2018唐山卞K拟）设集合M = x|x2 x>0,N-乂

12、：<11则（）A.M NB.N MC.M = ND.MUN = R（2）若将本例（2）的集合A改为A=x|x2 5x 14>0.其它条件不变，则m的取值范围 是.解析 集合 M =x|x2x>0 =x|x>1 或 x<0,N = "x I T= x|x>1 或 x<0,所以M = N.(2)A= x|x2- 5x- 14>0 = x|x<- 2 或 x>7.当 B=?时，有 m+1>2m1,则 m< 2.当Bw?时，若B? A,则'm+ 1<2m 1,m+ 1 >7m+ 1<2m 12m

13、 1 w 2.解之得m>6.综上可知，实数m的取值范围是(8,2 U 6,+ oo).【参考答案】(1)C (2)(-oo,2U6, + oo)考点三 集合的运算多维探究角度1集合的基本运算【例 3-11 (1)(2017 全国 I 卷)已知集合 A=xk<2,B = x|3 2乂>0,则()A.AB=，x x<2 B.AAB = ?C.AUB=1x xgD.AUB=R(2018 天津卷)设全集为 R,集合 A=x|0<x<2,B = x|x> 1,则 AA(?rB) = ()A.x|0<x<1B.x|0<x<1C.x|1<

14、;x<2D.x|0<x<2解析 (1)因为 B=x|32x>0 = «x x<|,A=xk<2,所以 AH B=，x x/aU B = xM<2.(2)因为 B = xk>1,所以？r B = x|x<1,因为 A = x|0<x<2,所以 AA(? rB)= x|0<x<1.【参考答案】(1)A (2)B角度2抽象集合的运算【例3 2】 设U为全集,A,B是其两个子集，则“存在集合C,使彳# A? C,B? ?uC"是 “AH B = ?” 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

15、D.既不充分也不必要条件 解析 由图可知，若“存在集合C,使得A?C,B?uC"，则一定有"AAB = ?”；反过 来，若"AH B = ?”，则一定能找到集合C,使A?C且B?uC.【参考答案】C规律方法1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练 3】（1）（2019 延安,K拟）若全集 U = 2, 1,0,1,2,A= 2,2,B = xX21= 0,

16、则图中阴影部分所表示的集合为（）A. -1,0,1B.-1,0C. 1,1D.0(2)(2019 新乡,g拟)已知集合 A=x|x2 x&0,B=x|a1&x<a,若AH B只有一个元素，则a=()A.0B.1C.2D.1 或 2解析(1)B= xx2 1 = 0 = 1,1,阴影部分所表示的集合为?u(AU B).AU B=-2- 1,1,2,全集 U = 2, 1,0,1,2,所以?u(AU B) = 0.(2)易知A= 0,1,因为An B只有一个元素，所以a1=1，解得a=2.【参考答案】(1)D (2)C反思与感悟思维升华1 .在解题时经常用到集合元素的互异性，

17、一方面利用集合元素的互异性能顺利找到 解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以 确保答案正确.2 .对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关 系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3 .对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想 的又一体现.易错防范1 .集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简.2 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止 漏解.3 .解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关

18、系；二是集合与集合的包含 关系.4 .Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.I分层限时训练震（|昼墨"mnnilITO 翼层训练躅健无能靠以基础巩固题组（建议用时:30分钟）一、选择题1 .（2018全国田卷）已知集合 A=xX1>0,B = 0,1,2,则 AAB=（）A.0B.1C.1,2D.0,1,2解析由题意知,A= x|x>1,则AAB = 1,2.【参考答案】C2 .设集合 A= 1,2,3, B = 4,5, M = xX=a+b,aC A,bC B,则 M 中元素的个数为（）A.3

19、B.4C.5D.6解析 因为 A= 1,2,3, B = 4,5,又 M = x|x= a+b,a A,b B,M = 5,6,7,8,即M中有4个元素.【参考答案】B3 .（2019 佛山质检）已知全集 U = 0,1,2,3,4,若 A= 0,2,3, B = 2,3,4,则（?uA）A （?uB) = ()A.?B.1C.0,2D.1,4解析因为全集 U = 0,1,2,3,4,A=0,2,3, B = 2,3,4,所以？uA=1,4, ?uB =0.1,因此(?uA)A(?uB) = 1.【参考答案】B4 .(2018石家庄质检)设集合 A = x|1<x&2,B = x

20、|x<0,则下列结论正确的是 ()a.( ?ra)ab=xx<1B.AAB = x|1<x<0C.AU(?r B)=xk0D.AUB = x|x<0解析易求？rA=x|x0 1 或 x>2, ?rB=x|x>0,. (?rA) A B= x|x< 1,A 项不正确.AAB = x|1<x<0,B 项正确，检验 C、D 错误.【参考答案】B5 .已知集合 A=xC N |x2-2x- 8W0,B = x|2x>8,则集合APB的子集的个数为 ()A.1B.2C.3D.4解析 因为 A=xC NM2 2x 800=0,1,2,3,4

21、, B=x|x>3,所以 AAB=3,4,所以集合An b的子集个数为4.【参考答案】D6 .(2019 豫北名校联考)已知集合 M = x|y=/x=1, N = x|y=log2(2 乂),则?r(MAN)=()A.1,2)B.(-oo,1)U2,+oo)C.0,1D.(-oo,0)u 2, + oo)解析 由题意可得 M = x|x>1,N = x|x<2, .MnN = x|1Wx<2,.？R(MnN) = x|x<1 或 x>2.【参考答案】B7 .设集合 A=(x,y)|x+y=1, B = (x,y)|x y=3,则满足 M?(AAB)的集合

22、M 的个数 是()A.0B.1C.2D.3x+ y= 1,x= 2,解析由3y 得 ; 、xy= 3,1y= 1, .AnB=(2, 1).由 M?(AAB),知 乂 = ?或 M = (2, 1).【参考答案】C8.( 一题多解)(2018中原名校联考)已知集合A=x|y=lg(x x解析 易知S= x|x< 2或x> 3,. ?r S= x|2<x<3,因止匕(?rS)AT = x|2<x<3.【参考答案】x|2<x<3 10.已知集合A=1,2, B=a,a+3,若AAB = 1,则实数a的值为.解析 由 AH B=1知,1 BE a2+3

23、>3,则 a=1.【参考答案】111.(2019 福州质检)已知集合 A=1,3,4,7, B = xM=2k+1,kC A,则集合 AUB 中 元素的个数为.解析由题意知，B=x|y=lgx(x+ 1) =x|x(x+1)>0 = x|x<1 或 x>0,WJ A-B= x|-1<x<0.【参考答案】x|1&x< 0能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2018河南百校联盟联考)若集合 A = x|y = lg(3x x2), B =fl 4_ " i*yy=1+xn' xa "则 ah(?rb)等于()A.(

24、0,2B.(2,3)C.(3,5)D.(-2-1)解析 由 3x x2>0,得 0Vx<3,则 A=(0,3),.B=iy 丫4+六，4 a.=(2,5),则？rB=(oo,2U5, + oo) AA(?rB) = (0,2.【参考答案】A14.已知集合A= x|y= 小x2, B= x|a<x<a+ 1,若AU B = A,则实数a的取值范 围为()A.(-oo,-3U2,+oo)B.-1,2C. 2,1D.2,+oo)解析 集合 A=x|y=，4?=x|20x&2,因 AUB=A，则 8?人,又8金？,所以a一2,有所以一2& a& 1.,a+1<2,【参考答案】C215.(2019 皖南八校联考改编)已知集合 A = (x,y)|x =4y,B = (x,y)|y= x,则 APB 的真子集个数是.), B = xX2 cx<0,c>