中考数学旋转综合练习题及答案

1、一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.操作与证明：如图1，把一个含45。角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一 起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上, 连接AF.取AF中点M, EF的中点N,连接MD、MN.（1）连接AE,求证：4AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论.结论1： DM、MN的数量关系是_；结论2： DM、MN的位置关系是_；拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180。，其他条件不变，则 （2）中的两个结论还成立吗？若成立

2、，请加以证明：若不成立，请说明理由.【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析.【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF,继而证明出 ABEWAADF,得到AE=AF,从而证明出 AEF是等腰三角形；（2） DM、MN的数量关 系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置 关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角 相等即可得出结论；（3）成立，连接AE,交MD于点G,标记出各个角，首先证明出1 1MNIIAE, MN=4E,利用三角形全等证出AE=AF,

3、而DM=AF,从而得到DM, MN数量相 等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关 系得到N DMN=N DGE=90。.从而得到DM、MN的位置关系是垂直.试题解析：（1） ,.,四边形 ABCD 是正方形，. AB=AD二BC=CD, Z B=Z ADF=90% Y CEF 是等腰直角三角形，ZC=90% /. CE=CF> /. BC - CE=CD - CFt 即 BE=DF,/. ABE空 ADF,. AE=AF,. AEF是等腰三角形：（2） DM、MN的数量关系是相等， DM、MN的位置关系是垂直：在RS ADF中DM是斜边AF的中线，

4、AF=2DM,MN 是 AEF 的中位线，A AE=2MN» V AE=AF, /. DM=MN： 丁 N DMF=N DAF+N ADM,AM=MD, V Z FMN=Z FAE> Z DAF=Z BAE, /. Z ADM=Z DAF=Z BAE,/. Z DMN=Z FMN+Z DMF=Z DAF+Z BAE+Z FAE=Z BAD=90 /. DM±MN： （3） （2）中的两个结论还成立，连接AE,交MD于点G, 丁点M为AF的中点，点N为EF的中点， 1/. MNII AE, MN=AE,由已知得,AB=AD=BC=CD, Z B=Z ADF, CE=CF

5、,又; BC+CE=CD+CF,即 BE=DF, /. ABE2 ADF, /. AE=AF,在 RtA ADF 中，:点 M 为 AF 的 1中点,DM=、AF,. DM=MN, ABE合 & ADF, /. Z 1=Z 2, V ABH DF, Z 1=Z 3,同理可证：Z 2=Z 4, /. Z 3=Z 4,DM=AM, /. Z MAD=Z 5,/. Z DGE=Z 5+Z 4=Z MAD+z 3=90°,MNIIAE, /. Z DMN=Z DGE=90°, DM±MN.所 以（2）中的两个结论还成立.质.2.已知正方形A8CD的边长为4, 一个

6、以点4为顶点的45。角绕点A旋转，角的两边分别 与8C、DC的延长线交于点£、F,连接EF,设CE=a, CF=b.(1)如图1，当。=4点时，求b的值；(2)当。=4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；(3)如图3,请直接写出NE4F绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式.【答案】(1) 4点：2) 6=8： (3) ab=32.【解析】试题分析：(1)由正方形ABCD的边长为4,可得AC=40 Z ACB = 45°.再CE = a=4&,可得NCAE = NAEC,从而可得N CAF的度数，既而可得b=AC：(2)通过证明aACF- a ECA,即可得：(3

7、)通过证明aACF- a ECA,即可得.试题解析：(1):正方形ABCD的边长为4,AC=4应，N ACB=45°.450/ CE = a=4J? > .'.NCAE = NAEC=-=225°, /. Z CAF=Z EAF-Z CAE = 22.5%2. Z AFC=Z ACD-Z CAF = 22.5°, /. Z CAF = Z AFC, /. b=AC=CF= 472 :(2) / Z FAE=45 Z ACB = 45°, /. Z FAC+Z CAE=45% N CAE + N AEC=45°, /. Z FAC=

8、N AEC.-oAC CF 472 CF又 N ACF=N ECA=135°,二 ACF- ECA,=，/. = , /. CF =EC CA 4428,即b = 8.(3) ab = 32.十日一 /、左AC CF 4JI b .提不：由(2)知可证 ACF ECA, =，一=,ab = 32.EC CA a4 点3.在平面直角坐标中，边长为2的正方形Q4BC的两顶点A、C分别在）'轴、x轴的正 半轴上，点。在原点.现将正方形O48C绕。点顺时针旋转，当A点一次落在直线）'=工上 时停止旋转，旋转过程中，48边交直线）' = x于点M , BC边交汇轴于点N

9、 （如图）.（1）求边。4在旋转过程中所扫过的面枳；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形。48c旋转的度数：（3）设AM8V的周长为，在旋转正方形045。的过程中，值是否有变化？请证明 你的结论.【答案】（1） nfl （2） 22.5。周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的而积公式来求得边0A在旋转过程中所扫过的面积：（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出NA0M的度数：（3）利用全等把 MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子.试题解析：（1）A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45。，/. 0A 旋转了 45。.

10、45/r x 2?：.0A在旋转过程中所扫过的面积为=-.3602(2) / MNII AC,/. Z BMN=Z BAC=45°, Z BNM=Z BCA=45°.?. Z BMN=Z BNM. /. BM=BN.又7BA=BC, /. AM=CN.文:OA=OC, Z OAM=Z OCN, & OAM合 OCN./. Z A0M=Z CON=- (Z AOC-Z MON) =- (90°-45°) =22.5°. 22/.旋转过程中，当MN和AC平行时,正方形OABC旋转的度数为45。-22.5。=22.5。.(3)在旋转正方形OA

11、BC的过程中，p值无变化.证明：延长BA交y轴于E点，则N AOE=45°-Z AOM, Z CON=90°-45°-Z AOM=450-Z AOM,Z AOE=Z CON.又；OA=OC, Z OAE=180o-90o=90°=Z OCN. . OAE合 OCN.OE=ON, AE=CN.又；Z MOE=Z MON=45°, 0M=0M, . OME2 OMN. . MN=ME=AM+AE.J MN=AM+CN, . p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4. 在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化.考点：旋转的性质.4

12、.如图1,菱形ABCD, AB = 4> ADC = 120、连接对角线AC、BD交于点O,(1)如图2,将AOD沿DB平移，使点D与点0重合，求平移后的aABO与菱形ABCD 重合部分的面积.(2)如图3,将A'BO绕点0逆时针旋转交AB于点E',交BC于点F,求证：BE'+BF=2：求出四边形OE'BF的面积.DDD【答案】(1)6(2)证明见解析途【解析】【分析】先判断出4ABD是等边三角形，进而判断出 EOB是等边三角形，即可得出结论;先判断出二 OBF,再利用等式的性质即可得出结论;借助的结论即可得出结论.【详解】(1).四边形为菱形，NADC

13、= 120、，2ADO = 60'，ABD为等边三角形，/DAO = 30、，NABO = 60，: ADA9,Z A'OB=60°.EOB为等边三角形，边长OB = 2,，重合部分的面积：正x4 = J?，4(2)在图3中，取AB中点E, D由(1)知，Z EOB=60% N E'OF=60°,Z EOE'N BOF,又EO=BO, /. Z OEE'=Z OBF=60°,/. OEEQ 4 OBF, EE'=BF,. BE/+BF=BE/+EE/=BE=2；由知，在旋转过程中始终有 OEEQ OBF,Sa oee

14、=S« obf*S四边步OE'BF = S=【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性较 强，熟练掌握相关内容、正确添加辅助线是解题的关键.5.如图 1,在 ABC 中，CA=CB, Z ACB=90% D 是 ABC 内部一点，N ADC=135。，将线段CD绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,连接DE.(1)依题意补全图形：请判断N ADC和/ CDE之间的数量关系，并直接写出答案.(2)在(1)的条件下，连接BE,过点C作CM_LDE,请判断线段CM, AE和BE之间的 数量关系，并说明理由.（3）如图2,在正方形ABCD中，A

15、B=/2,如果pd=1, n BPD=90。，请直接写出点A到BP 的距离.图1图2【答案】（1）作图见解析；®Z ADC+Z CDE=180°： （2） AE=BE+2CM,理由解析； yp- 1（3） 2【解析】试题分析：（1）作CEJ_CD,并且线段CE是将线段CD绕点C逆时针旋转90。得到的， 再连接DE即可；根据D ADC和NCDE是邻补角,所以N ADC+N CDE=180。.（2）由（1）的条件可得A、D、E三点在同一条直线上，再通过证明4ACD合 BCE,易得AE = BE+2cM.（3）运用勾股定理，可得出点A到BP的距离.试题解析：解：（1）依题意补全图

16、形（如图）；N ADC+Z CDE=180°.（2）线段CM, AE和BE之间的数量关系是AE=BE+2CM,理由如下： 线段CD绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,CD=CE, Z DCE=90°./. Z CDE=Z CED=45".又：Z ADC=135%Z ADC+Z CDE=180%:.A、D、E三点在同一条直线上./. AE=AD+DE.又 Z ACB=90% Z ACB-Z DCB=Z DCE-Z DCB,即N ACD=Z BCE.又.,AC=BC, CD=CE,J ACD合 4 BCE. . AD=BE. / CD=CE, Z DCE=90 CM&

17、#177;DE. . DE=2CM. AE=BE+2CM.（3）点A到BP的距离为2考点：作图一旋转变换.6.如图2,边长为2的等边 ABC内接于OO. ABC绕圆心0顺时针方向旋转得到 ABC, 分别与AB、AC交于E、D点，设旋转角度为或 <。< 360°）.图1图2（1）当a=_，ABU与 ABC出现旋转过程中的第一次完全重合: （2）当a=60。时（如图1）,该图（）A.是中心对称图形但不是轴对称图形B.是轴对称图形但不是中心对称图形C.既是轴对称图形又是中心对称图形D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形（3）如图2,当00<a<120。， ADE的周

18、长是否会发生变化，如会变化，说明理由，如 不会变化，求出它的周长.【答案】（1）120。； （2） C： （3） 的周长不变.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的中心角为120。可直接求解；（2）根据题意可知，当式=60。时，点A、大、B、B'、c、C为。的六等分点，所有的三 角形都是正三角形，由此可得到所有图形即是轴对称图形，又是中心对称图形：（3）得到结论：周长不发生变化，连接A'，根据弦相等，则它们所对的弧相等的性质可 得用=需，即显=用，再根据等弧所对的圆周角相等，得血4,=乙/L4C,由等角对 等边的性质可得区4 =同理04 = "',因此可求/l

19、°E的周长=EA + ED + DA=EA + ED + DC = AC = 2【详解】解：（1） 120°.如图，可根据等边三角形的性质直接根据三角形的内角和求得N 0=120。：图1(2) C(3) 4"E的周长不变:理由如下：连接AA，.AB = AC ，.鼎鼎 ，场场 ， LBAA1 = LAAlC ，.EA = EA同理，D/ = DC', /DE的周长=E/1 + ED + D/I 即 E4+ED + DdC = 2及考点：正多边形与圆，圆周角定理7.（1）问题发现如图1A ACB和 DCE均为等腰宜角三角形/ ACB=90°,B,C

20、,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为 L拓展探究如图2A ACB和 DCE均为等腰宜角三角形/ ACB=Z DCE=90。,请判断AD,BE的关系，并说明 理由.解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90。得到线 段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】(1)AD=BE, AD±BE. (2) AD=BE, ADJLBE. 53 拉纤CW5+3 点.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形性质证 ACD级a BCE (SAS),得AD=BE, Z EBC=Z CAD,延长BE 交AD于点F,由垂直定义

21、得ADJ_BE.(2)根据等腰三角形性质证 ACD级a BCE (SAS) , AD=BE, N CAD二N CBE,由垂直定义得NOHB=90°, ADJLBE；(3)作 AEJLAP,使得 AE=PA,则易证 APE合口 ACP, PC=BE,当 P、E、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE,故53 & WBEV5+3点.【详解】(1)结论：AD=BE, ADJLBE.理由：如图1中，V ACB与aDCE均为等腰直角三角形, .AC=BC, CE二CD,Z ACB=Z ACD=90°,在 RtA ACD 和

22、 RtA BCE 中AC=BCZACD=ZBCECD=CE . ACD合 4 BCE (SAS),AD=BE, Z EBC=Z CAD延长BE交AD于点F,BC±AD> /. Z EBC+Z CEB=90°,t Z CEB=AEF, Z EAD+Z AEF=90",Z AFE=90% RP AD±BE./. AD=BE, AD±BE.故答案为AD=BE, AD±BE.(2)结论：AD=BE, AD±BE.理由：如图2中，设AD交BE于H, AD交BC于0.V A ACB与 DCE均为等腰直角三角形, .AC=BC, C

23、E=CD, Z ACB=Z ECD=90°, , ACD=Z BCE,在 RtA ACD 和 RtA BCE 中AC=BC/ACD= /BCE, CD=CEA ACD合 & BCE (SAS),/. AD=BE, Z CAD=Z CBE,Z CAO+Z AOC=90% Z AOC=Z BOH,/. Z BOH+Z OBH=90°, . Z OHB=90% . AD±BE,/. AD=BE, ADJLBE.(3)如图3中，作AELAP,使得AE=PA,则易证 APE2 ACP,PC=BE, 图31中，当P、E、B共线时，BE最小,最小值=PB.PE=53也， 图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3j5, 5-3 72 WBEV5+3 叵,UP 5-3 72 PC45+3 72 -3-1本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三 角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.8.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将 线段AP绕点A顺时针旋转90。得到线段AQ,连接