次函数与菱形的专题

1、二次函数与菱形1 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0, -3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC勺面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC勺 最大面积.(3)连接PO PC,并把POQ& CO®折，得到四边形POP C,那么是否存在点P,使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点 P的坐标；若不存在，请说明理由.2 .已知抛物线y=ax2+bx+8 (a> 1)过点D (5

2、, 3),与x轴交于点B、C (点B C均在y轴右侧)且 BC=2直线BD交y轴于点A.(1)求抛物线的解析式；(2)在坐标轴上是否存在一点 N,使ABNf BCDffi似？若存在，求出点 A N的坐标；若不存 在，请说明理由.(3)在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q使以Q P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.3 .如图，二次函数图象的顶点为坐标原点 O, y轴为对称轴，且经过点 A (3, 3), 一次函数的图 象经过点A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果一次函数图象与y轴相交于点C, E是抛物线上O

3、A段上一点，过点E作y轴平行的直线 DE与直线AC交于点D, /DOE=EDA求点E的坐标；(3)点M是线段AC延长线上的一个动点，过点 M作y轴的平行线交抛物线于F,以点Q C、M F为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点 F的坐标；若不能，请说明理由.4.如图，已知抛物线经过原点。和x轴上一点A (4, 0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.直线y=-2x - 1经过抛物线上一点B ( - 2, mi)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于占F八、1(1)(2)求m的值及该抛物线对应的解析式；P (X, y)是抛物线上的一点，若Saad=SJaadc,求出所有符合条件的点P的坐标

4、;(3)点Q是平面内任意一点，点 M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD勺三个顶点A(-3,4)、B (-3, 0)、C ( - 1, 0).以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B.动点P从点D出发，沿DC边 向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒.过点P作PE±CD交BD于点E,过点E作EF，AD于点F,交抛物线

5、于点 G. (1)求抛物线的解析式；(2)当t为何值时，四边形BDGQJ面积最大？最大值为多少?(3)动点P、Q运动过程中，在矩形ABCDft (包括其边界)是否存在点 H,使以B, Q, E, H为顶 点的四边形是菱形，若存在，6 .如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax-3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C,连接BC且OB=OC(1)求抛物线的解析式；(2)如图2,点D为第一象限抛物线上一点，过点 D作DH BC于点E,设DE=d点D的横坐标为 t ,求d与t的函数关系式；(3)在(2)的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G,连接DF,过D作DHLDF交 FG

6、于点H,点M为对称轴左侧抛物线上一点，点 N为平面上一点且tan/HD虐，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标.7 .如图，抛物线y=ax2-2x+c (a*0)与x轴、y轴分别交于点A, B, C三点，已知点A(-2, 0), 点C (0, - 8),点D是抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；(2)如图1,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点 P,将EBM直线EP 折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点 P的坐标；(3)如图2,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD点M是直线CD上的动点，点N是平面 内一点，当以点B, F, M N

7、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 M的坐标.8 .如图，？ ABCD勺两个顶点B, D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OCAB=5 tan/ACB1.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点E,使以A, C, D, E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点 E的 坐标；若不存在，请说明理由.(3)动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个 单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为 t (秒).当t为何值时， APQ 是直角三角形？9 .如图，抛物线y=-1"x2-曝x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线

8、交于另一点 B,过点B作BCLx轴，垂足为点C ( - 3, 0).(1)求直线AB的函数关系式;(2)动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向 C移动，过点E作EG!x轴，交直线AB于点F,交抛物线于点G设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围;(3)设在(2)的条件下(不考虑点E与点O C重合的情况)，连接CF, BG当t为何值时，四 边形BCFW平行四边形？问对于所求的t10 .如图，已知抛物线y=ax2+c过点(-2,物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)当点B在抛物线上

9、运动时，判断线段 BF与BC的数量关系(、=),并证明你的判断;(3) P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点 P (0, mj),求自然数m的值;(4)若k=1,在直线l下方的抛物线上是否存在点 Q,使彳# QBF勺面积最大？若存在，求出点 Q 的坐标及 QBF勺最大面积；若不存在，请说明理由.11 .如图，抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是直线x=1,与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C,点 A的坐标为(-2,0),点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDL x轴于点D,交直线BC于点E.(1)求抛物线解析式；(2)若点P在第一象限内，当OD=4PE寸，求四边形POB

10、E勺面积；(3)在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样 的点M和点N,使得以点B, D, M N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若 不存在，请说明理由.爸用图12 .如图1,抛物线y=ax2+bx+4的图象过A (-1, 0), B (4, 0)两点，与y轴交于点C,作直线 BC动点P从点C出发，以每秒此个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P 与点B重合时停止运动.(1)求抛物线的表达式；(2)如图2,当t=1时，求Saacp的面积；(3)如图3,过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点.求PF的长度关于

11、t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；连接CF,将PCF& CF折叠得到 P' CF,当t为何值时，四边形PFP C是菱形？13 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-4, 0), B(- 1, 0)两点. (1)求抛物线的解析式；(2)在第三象限的抛物线上有一动点 D.如图(1),若四边形ODA是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形 ODAE勺面积为6时， 请判断平行四边形ODAEI否为菱形？说明理由.如图(2),直线y=4+3与抛物线交于点Q C两点，过点D作直线DF，x轴于点H,交QCT点F.请问是否存在这样的点 D,使点D到直

12、线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为，2?若 存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.(1) 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a (x+1) 2-3与x轴交于A, B两点(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C (0, -1),顶点为D,对称轴与x轴交于点H,过点H的直线l交抛物 线于P, Q两点，点Q在y轴的右侧.(1)求a的值及点A, B的坐标；(2)当直线l将四边形ABC盼为面积比为3: 7的两部分时，求直线l的函数表达式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点 N的坐标；若不能，请说明

13、理由.港用图15 .已知，如图，在平面直角坐标系中，4ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2 OB=1 OC=4(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)设点G是对称轴上一点，求当 GAB长最小时，点G的坐标；(3)若抛物线对称轴交x轴于点P,在平面直角坐标系中，是否存在点 Q使PAW以PA为腰 的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不 存在，说明理由；(4)设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N,使得以点A、B、M N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，说明理由.16 .如图

14、，已知抛物线G: y=-/x2,平移抛物线y=x2,使其顶点D落在抛物线G位于y轴右侧的 图象上，设平移后的抛物线为 C2,且G与y轴交于点C (0, 2).(1)求抛物线G的解析式；(2)抛物线G与x轴交于A, B两点(点B在点A的右侧)，求点A, B的坐标及过点A, B, C的 圆的圆心E的坐标；(3)在过点(0, 1)且平行于x轴的直线上是否存在点 出点F的坐标；若不存在，请说明理由.F,使四边形CEBF为菱形？若存在，求17 .如图，直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A B两点，抛物线y±x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C,连接BC(1)求抛物线的解析式及点

15、 C的坐标；(2)点M在抛物线上，连接 MB当/MBA+CBO=45时，求点M的坐标；(3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动, P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平 面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻，以 C、DX P、Q为顶点的四边形为菱形？若存 在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由.抛物线与菱形的专题参考答案1.解：(1)将B、C两点的坐标代入得解得：!；c-3 I所以二次函数的表达式为：y=x2 - 2x - 3（2）过点P作y轴的平行线与 BC交于点Q与OB交于点F,

16、设P （x, x2-2x-3）,易得，直线BC的解析式为y=x- 3则Q点的坐标为（x, x-3）;S 四边形 ABP=S AB（+Sa BP（+SaCPQ=AB? O（+1qF? OF二QP? BF 222=tX4X （- J+3Q 乂3=一怖（K 修）2得（10分） 当工，时，四边形ABPC勺面积最大此时P点的坐标为 （卫，-芟）,四边形ABPC勺面积的最大值为 卫248（3）存在点P,使四边形POPC；菱形；设P点坐标为（x, x2 - 2x - 3）, PP'交CO于E若四边形POP C是菱形，则有 PGPQ连接PP ,则PE! COT E. OE=EC国y二-上（6 分）2.

17、x2- 2x- 3= -士2解得xi=2+V 10, x2=2- 7Ml （不合题意，舍去） 2,2.P点的坐标为（竺叵，士）222.解：（1）设B点坐标为（xi, 0）, C点坐标为（x2, 0）,贝 xi、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，bR.xi+x2= - -, xix2, aa,. BC=|xi-x2|=2 ,（xix2）2=4,即（xi+治）2 4x1x2=4,b2 .32二4,把D点坐标代入抛物线解析式可得 25a+5b+8=3D,由可解得41b-6客二126（舍去）' ，抛物线解析式为y=x综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（-4, 0）或（0, 4）

18、或（0,（3）二.点P在直线BD上,- 6x+8;(2)在 y=x2- 6x+8 中，令 y=0 可得 x2 - 6x+8=0,解得 x=2 或 x=4, .B (2, 0), C (4, 0),设直线BD解析式为y=kx+s,把R D坐标代入可得2k+s=05kg=3直线BD解析式为y=x-2, A （0, -2）,当点N在x轴上时，设N （x, 0）,则点N应在点B左侧, .BN=2- x, - A (0, -2), B (2, 0), D (5, 3), .AB=2 ： BD=3 ：' /ABNW DBCBCW ABNA ABCID ABAN当BCMABNAB寸，则有当BCM B

19、AN时，则有BA BNLBN BA二一22,解得x=-,此时N点坐标为（言,0）;亍"，解得x=-4,此时N点坐标为（-4, 0）;当点N在y轴上时，设N （0, y）,则点N应在A点上方, .AN=y+2由上可知有 BCM AABNE zBCD AANB当""MBN时，则有1，y+22U v+2 22,解得y=4,此时N点坐标为（0, 4）;当BCMzANB时，则有BC=BD AN=AB,解得y= ，此时N点坐标为（0,）；s-JR-J可设 P （t , t -2）,BP=At-2）2+（t-2）2M1t - 2| ' PC=Ct-4（t-2）2=，2t

20、2-l 2t+20，以Q P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，.有BC为边或BC为对角线，当BC为边时，则有BP=BC即«|t - 2|=2,解彳4 t=2+、用或t=2 -此时P点坐标为（2娟小） 或（2 -二二）；当BC为对角线时，则有BP=PC即6|t -2|=U2t2_12H20,解得t=3,止匕时P点坐标为（3, 1）;综上可知存在满足条件的点 P,其坐标为（2+/2,也）或（2-&,百）或（3, 1）.3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2,把点A （3, 3）代入得3=ax32,解得a；设一次函数的解析式为y=kx+b,把点A （3, 3）、点B （6,

21、0）代入得户卜+旧力解得产' ,16k+b = 0所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=1x2, y=-x+6;（2） C点坐标为（0, 6）,. DE/ y 轴，丁. / ODE= COD / EDAW OCDvZ DOE= EDA ./ DOE= OCD .OCmADOE .OC OD=ODDE 即 OD=OG DE设E点坐标为（a, -i-a2）,则D点坐标为（a, 6-a）,OD=a2+ （6-a） 2, =2a2- 12a+36, OC=6 DE=6- a- a：.2a2- 12a+36=6 （6-a-a2）,解得 ai=0, a2=1,.E是抛物线上OA段上一点，,0&l

22、t;a<3, ,3 a= 、a 2'点E坐标为（胃，V）;（3）以点O G M F为顶点的四边形不能为菱形.理由如下：如图，过。点作OF/ AC交抛物线于F,过F点作FM/ y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点, 则四边形OCM的平行四边形，. OC=OB= 6 .OC斯等腰直角三角形， . / OBC=45 ,丁. / HOF=45 , .OHF%等腰直角三角形， .HO=HF设F点坐标为(nn, - m (m> 0),把 F (m - mj)代入 y=x2得m=-m2,解得 m=0, m2=- 3,m=- 3,.HO=HF= 3 .OF= EOH=3 ：-：,而 OC=

23、6一四边形OCMFF为菱形.4.解：(1) ,一点 B ( - 2, nj)在直线 y= - 2x- 1 上m=3 即 B ( 2, 3)又抛物线经过原点O设抛物线的解析式为y=ax2+bx .点B(- 2, 3), A (4, 0)在抛物线上f4a- 2b=3 , il64b=0r i解得：,4 .b二一 1二设抛物线的解析式为-，.4(2) . P (x, y)是抛物线上的一点,若 Sk adf=Saadj辽皿0C , S/i蚯)AD* |y | ,又丁点C是直线y= - 2x - 1与y轴交点,C (0,1),.oei, .即)r _亶二i或3r _, 1444解得：x产2+2也，*2-

24、26，工3二工2 点P的坐标为 网(升2传 1) , P2 (2-2721 (3)结论：存在. 抛物线的解析式为 资工之_ K，4，顶点E (2, - 1),对称轴为x=2;点F是直线y=- 2x- 1与对称轴x=2的交点，F (2,又 A (4, 0),.AE=百如右图所示，在点 M的运动过程中，依次出现四个菱形：菱形AEMQ.此时 dmae=Jr,MF=DF- DE- DMM-近,11=4 - IVs；菱形AEOM .此时 DM=DE=1, .MF=DF+D的6,12=6；菱形AEM3. 此时 EM=AE=.二，DM=EM - DE=V5 - 1，MF=DM+DF=1)+5=4+75,13

25、=4+4 -j；菱形AMEQ.此时AE为菱形的对角线，设对角线 AE与MQ交于点H, 易知 AE MEH1), Pg -1)5) , DF=5.则 AE! MQ,，DM=ME- DEa-1=工22 . MF=DM+DF=W+5=11, t.=4=ll. 222综上所述，存在点 M点Q使彳导以Q A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间 t的值为：11=4 一店，12=6,t 3=4+近,t 4=-L?5.解：(1)由题意得，顶点D点的坐标为(-1, 4).设抛物线的解析式为y=a (x+1) 2+4 (aw0),.,抛物线经过点B(-3, 0),代入y=a (x+1) 2+4可求得a= - 1

26、抛物线的解析式为y= - (x+1) 2+4,即y=-x2-2x+3.(2)由题意知，DP=BQ=t. PE/ BG .DP曰 ADBC DP一口C 一2PE BC ' .PE即P寺.二点E的横坐标为-1-,t, AF=2-4t .将 x=1 /t 代入 y= (x+1) 2+4,彳# y= - -12+4. 点G的纵坐标为-#+4, .GE=t2+4- (4-t) =-t2+t .如图1所示：连接BGS 四边形 BDGSBQGi-S BEd-S-DEQ,即S四边形BDGJ-BC? A丛EG22(AF+DF=-t +2t=-L(t - 2) 2+2.22当t=2时，四边形BDG面积最大

27、，最大值为2.(3)存在.,. CD=4 BC=2.tan Z BDci, BD=2/5. cosZ BDc2、5 .BQ=DP=jt2如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB. BE=Bb DE .BQ=BBDE 即 t=2距-匡t ,解得 t=20 -8/5. 2:菱形BQEHf勺周长=80- 32点.如图3所示：当BE为菱形的对角时，则 BQ=QU过点Q作QIVLBE,贝U BM=EM. MB=co支 QBM BQ.MB=t，BE=； t .5vBE+DE=BD.士/£t+恒=2烟,解得：t=工.5213菱形BQEH勺周长为口一.13综上所述，菱形BQEH勺周长为招或

28、80-32收.1J- -S-1J6.解：(1)对于抛物线 y=ax2 - 2ax- 3a,令 y=0,得至U ax2 - 2ax- 3a=0,解得 x=1 或 3, .A ( 1, 0), B (3, 0), .OA=1 OB=OC=3 C (0, 3),- 3a=3,a= - 1,抛物线的解析式为y= - x2+2x+3.(2)如图 2 中，作 DTXAB于 T,交 BC于 R.设 D (t , - 12+2t+3). OB=OC/BOC=RTB=90 , ./ OBC=TRB= DRE=45 ,. DE! BC丁. / DER=90 ,.DEFg等腰直角三角形，.直线BC的解析式为y=-x

29、+3, R (t , - t+3), DRht2+2t+3 (t+3) = - 12+3t, .DE=DR cos45° =-返12+4.(3)如图3中，22tan / DFQ.典茸.FQ 3二.抛物线的顶点 F (1, 4), Q (1, - t2+2t+3), .FQ=4 ( t2+2t+3),1-1-24T- t*+2t+3)丽3 ,QN=14a+4+c= 0c= -8 .N (1,7.解：(1)将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得:解得：a=1, c=-8.抛物线的解析式为y=x2 - 2x - 8. y= (x - 1) 2 - 9, D (1, - 9).(2)将y=0

30、代入抛物线的解析式得：x2 - 2x- 8=0,解得x=4或x=-2, .B (4, 0). y= (x - 1) 2 - 9, .抛物线的对称轴为x=1, E (1, 0).将EBP®直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上, ，EP为/ BEF的角平分线. ./BEP=45 .设直线EP的解析式为y=-x+b,将点E的坐标代入得：-1+b=0,解得b=1, 直线EP的解析式为y=-x+1.将y=-x+1代入抛物线的解析式得：-x+1=x2-2x-8,解得: 点P在第四象限,x=. y=JLVSL.2 .p(2±M 22(3)设CD的解析式为y=kx-

31、8,将点D的坐标代入得：k- 8=-9,解得k=- 1,直线CD的解析式为y=-x-8.设直线CB的解析式为y=k2x-8,将点B的坐标代入得：4k2-8=0,解得：k2=2.直线BC的解析式为y=2x-8.将x=1代入直线BC的解析式得：y=-6, F (1, - 6).设点M的坐标为(a, - a - 8).当 MF=MBJ, (a-4) 2+ (a+8) 2= (a- 1) 2+ (a+2) 2,整理得：6a=- 75,解得：a=-. 点M的坐标为(一图，卷).a=当 FM=FB寸，(a-1)2+(a+2)2=(41)2+( -6-0)2,整理得：a2+a- 20=0,解得：a=4 或5

32、. 点 M的坐标为(4, - 12)或(-5, - 3).综上所述，点M的坐标为(-图，着)或(4, - 12)或(-5, -3).8.解：(1) . OB=OCOA1 BC, AB=5 .AB=AC=5 .tan / ACB国二 0C 4/由勾股定理，得oA+oC=aC, (-OC)2+OC=52,解得 OC4 4 (负值舍去).C=3, OB=OC=4AD=BC= 8 .A (0, 3), B (-4, 0), C (4, 0), D (8, 3).If 1?-X I) -4b+c=00412F 乂 8>8b+c=3.L O抛物线的解析式为y= 一x2+x+5;(2)存在. 四边形A

33、BCD；平行四边形， .AC=AB=C.D又丁 AA CD 当以A, C, D, E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE由对称性可得，此时点E的坐标为(4, 6)当x=4时，y= JJx2+x+5=6i,所以点(4, 6)在抛物线y=1x2起x+5上.8484 存在点E的坐标为(4, 6);(3)二.四边形ABC时平行四边形, .AD/ BC ./ DAC= ACB： 90° 当 APQ是直角三角形时，/ APQ=90或/A(P=90°由题意可知 AP=t, AQ=5-1, 0<t<5.当/ apq=90 时，AH. t 后5，解得t鸟.9当/AQP=

34、90 时，ssNPAQ二斗, fid丁 5'" 9 .v 0<斗<5, 0<-<5|9.解：(1)由抛物线的解析式知：A (0,1);V BC±x 轴，且点 C ( - 3, 0)点B的横坐标为-3,将其代入抛物线的解析式中，得:-回x 9+x 3+1=-442.点 B （-3,日）；设直线AB的解析式为：y=kx+1,有：-3k+1=-, k=-22. .直线 AB: y=- x+1.2(2)由题意，OE=t,则点 E( t, 0); (0<t<3)当 x=-t 时，点 F ( t, 1+1),点 G(-t, -t2qt+1 .

35、GF=| (一立t2+!Z_t+1)44(/1) |=jt即：s=一 Lt2-t (0< t < 3).44（3）因为 BC±x 轴，GELx 轴，所以 BC/ GF;若四边形BCFB平行四边形，那么BC=FG即：s= - -t 2+-i-t=,解得：t=1 或 2.442当t=1时，点F （ - 1,二），CF#十亭 之=1，即CF=BC该平行四边形是菱形；当t=2时，点F （-2, 2）, CF韶可笆川七，即CR BC该平行四边形不是菱形；综上，当t=1或2时，四边形BCFB平行四边形，其中t=1时，该平行四边形是菱形.10.解：（1）把点（-2, 2）, （4, 5

36、）代入 y=ax2+c得1.16 日+c=5所以抛物线解析式为y=-x2+1；(2) BF=BC理由如下：设 B (x, %2+1),而 F (0, 2),BF2=x2+ (32+1-2) 2=x2+ 号x。1) 2= (yx2+1) 2,BF=-x2+1,4. BCJ_ x 轴，BC=-x2+1,4 .BF=BC(3)如图1, m为自然数,当m=CH,易得四边形BCP的正方形，止匕时P点在原点;当点P在F点上方，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形， .CB=CF=P F而 CB=FBBC=CF=BF.BCF为等边三角形, ./BCF=60 ,丁. / OCF=30 ,在OCH, CF=2O

37、F=4 .PF=CF=4 P (0, 6),自然数m的值为0或6;(4)作QE/ y轴交AB于E,如图2,当k=1时，一次函数解析式为y=x+2,y=x+2解方程组产卷 J+1 |4+272| l1y=4-2V2,M B(2+2/2, 4+2/2),设 Q (t,步1),则E (t, t+2), .EQ=t+2- (t2+1)=4一=t2+t+1 , 4V2+1(t -2) 2+2/2+2Sa QB=&EQF+Skeqbf?(2+2/-2)? EQ=(诋+1) (-i-t2+t+1)=-当t=2时，Saqbf最大值，最大值为2正+2,此时Q点坐标为(2, 2).MIN/ BD MN=B

38、D=MD=1 过 M作 MHLx 轴于 H,抛物线解析式为y=-i-x2- -1-x - 2 ；(2) "v y=x2 - -x - 2=0,解得：xi=2, X2=4,当 x=0 时，y= - 2, . B (4, 0), C (0, 2),设 BC 的解析式42，m=4(工m2_Lm 2 _Lm+2), . m=5 m=0 (舍去)，422(3)存在，设 M (n, n - 2), 2以BD为对角线，如图1,二四边形BNDM菱形,以BD为边，如图2,二四边形BNDM1菱形, .MH+dH=dM,即(n - 2) 2+ (n5) 2=12, 211.解：（1）二.抛物线y=ax2+

39、bx 2的对称轴是直线 x=1, A （2, 0）在抛物线上,.y=Lx2,设 D (m, 0), DP/y 轴, 2E ( m,),E (5, 12),四边形 POBE勺面积=及opd- SaebJ X5X-L -Lx，1X2且 24 22 S .MN垂直平分 BD,n=4+ 二，. . M (2二，亍），M N关于x轴对称，N （今，亨）；（不合题意，舍去）.N (5 以BD为边，如图3,过M作MHLx轴于H,5 一）或（5巧卓, 5-若（不合题意，舍去）小（5+等,”一等.M而+B/=bM,即(二n 2) 22+ (n4) 2=12,n 1=4+匕"' ,n2=4 5_

40、 , _ , q 1,4,、综上所述，当 N （一,-）或（，工）或245同理(/n 2) 2+ (4 n), 4、 N (,前52=1, .-m=4+_5以点B, D, M N为顶点的四边形是菱形.上二 2a为 y=kx+b,贝Uf ak+b=o 陋/曰,解得:辰-2b=-2Lm 2), P (m,上品_Lm 2), OD=4PE242D (5, 0), P (5,12.解：(1) ;抛物线 y=ax2+bx+4 的图象过 A (- 1, 0), B (4, 0)两点,y= - x2+3x+4.产尸要。，解得：卜:-1 .抛物线的表达式为U6a-h4M4-0b= 3(2)令x=0,则y=4,

41、即点C的坐标为(0, 4), .BC*7H=4历.设直线BC的解析式为y=kx+4，二点B的坐标为(4, 0),，0=4k+4,解得k=-1, 直线BC的解析式为y= - x+4 .当t=1时，CP寸受，点A (T, 0)至ij直线BC的距离h非=4-"1)又4 4年, BC 4/22Saacp=-cp? h= xk/2x 222 2(3)二.直线BC的解析式为y=- x+4,1-CP=/2t, OE=t,设 P(t, t+4), F(t, t2+3t+4), (0<t<4)PF=- t2+3t+4 ( t+4) =- t2+4t , (0<t<4).,4 I

42、 , 一一，一 一，一当t= =2时,PF取最大值，最大值为 4.PCF沿 CF折叠得到 P' CF,PC=P C, PF=P F,当四边形PFP C是菱形时，只需 PC=PF |V2t= - 12+4t ,解得：t1=0 (舍去)，12=4-依.故当t=4 时,四边形PFP C是菱形.13.解：(1)把点 A (-4, 0)、B(-1, 0)代入解析式 y=ax2+bx+3,16a-4bH-3=0-b+ 3=0,解得抛物线的解析式为：y丁2鼻+3.(2)如答图2-1,过点D作DHLx轴于点H.Ja誓图2 S? oda=6, OA=444|2|解得：xi= - 2, X2= 3.点D坐

43、标为（-2,-卷） 当点D为（-2, -1）时, 当点D为（-3, -4）时,答图12设 D (m 上"m Jm+3 (nK 0),则 F (m, 44 .CN=- m NF=-5m52CF=1 =./DMF=CNF=90 , / DFM= CFN .DMm ACNF.幽屈玉CF CM 2 '.Saaod=1-OA? DH=32 .DHj2因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，. 工2+Hx+3=四或（-3,-宁）.DH垂直平分OA平行四边形ODA时菱形;O>AD平行四边形ODA环为菱形.假设存在.如答图2 2,过点D作DMLCQ于M 过点C作CNLDF

44、于N,则DM CNn：2.m5 1 4一一F DN=NF+DF=2_Jm-又 DN=&m+3 =- -m2 - -m=- -m444解得：m=-言或m=0 (舍去).-mi+m+3=- -443，一二).3存在满足条件的点2m -m44D(-i综上所述,D,点D的坐标为(-二，-立). 3314.解：(1)二抛物线与y轴交于点C (0,-a- 3= ,解彳导:a-, 33y= (x+1) 2- 3当y=0时，有(x+1)2-3=0, .A ( 4, 0), B (2, 0).x 1=2, X2=- 4,(2) . A ( 4, 0), B (2, 0),(-1, 3)S 四边形 ABC

45、 = S/ ADh+S 梯形 OCd+Sa BQiX 1+lx2X2二二10.3从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况:当直线l边AD相交与点M时，则SX10=3,X3X (- y m)=3=2,点 M ( 2, 2),过点 H ( 1, 10)和M ( - 2, - 2)的直线l的解析式为y=2x+2.当直线l边BC相交与点M时，同理可得点 M(,2),过点 H ( 1 , 0)和 M京，-2)的直线l的解析式为 y= -'-x - 3综上所述：直线l的函数表达式为 y=2x+2或y=(3)设P (x1, y。、Q (x2, v2且过点H ( - 1, 0)的直线

46、PQ的解析式为y=kx+b,- k+b=0, b=k,ry=kx+k- y=kx+k,由1 2 28，- 二 x + (=号中2 332x 1+x2=- 2+3k, y1 +y2=kx1+k+kx2+k=3k ,点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M(_k - 1, _k2).22假设存在这样的 N点如图，直线 DN PQ设直线 DN的解析式为y=kx+k-3片 kx+k-31 2 2 g，解得：xi=-1, X2=3k1, N (3k1,3k23) 四边形DMPN菱形，.DN=D M (3k) 2+ (3k2) 2=(三)2+ (1_上2+3)2，整理得：3k4-k2-4=0, 1. k

47、2+1>0, .-.3k2-4=0,解得 k=± 2桁,k< 0,3.k=- % 3,3，P (- 3炳-1,6), M(- V3- 1, 2), N (-23- 1,1)PM=DN=27, . PM/ DN四边形DMPN平行四边形, .DM=DN 四边形DMPN菱形， 以DP为对角线的四边形 DMPN成为菱形，此时点 N的坐标为(-2f3- 1,D.15.解：(1)由题意可求，A (0, 2), B ( - 1, 0),点C的坐标为(4, 0).设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a (x-4) (x+1),把点A (0, 2)代入，解得：a=-,所以抛物线的解析式

48、为：y=-y (x-4) (x+1)(2)如图1' 的物线y=得耳？玲/2的对称轴为：x=|-,由点C是点B关于直线：x=1的对称点，所以直线 AC和直线x=1的交点即为 GAB周长最小时的 点G设直线AC的解析式为：y=mx+n把A (0, 2),点C (4, 0)代入得：.L0=4in+n解得：rT, 小二2所以：y= x+2,当 x=一时，y=y,所以此时点G (艮4)；2 4(3)如图2使 PAQ®以PA为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点 Q的坐标:q(L),q4即,证明Q:过点Q作QMx轴，垂足为M, 由题意：/ APQ=90° , AP=PQ . /

49、 APO+MPQ90° ,vZ APO+ PAO=90 ,丁. / PAO= MPQ在AOPffi MPQfr,. ZPA0=ZPQl ,AP%FL1. .AO国 zMPQ.PM=AO=2QM=O应，2.OM±, 2此时点Q的坐标为：(工，&);2 2(4)存在点 N的坐标为：(0, -2),(西，2),(-通，2), (士，2).16.解：(1)由题意设D (a,-乎2),假设抛物线Q的解析式为：y= (x-a) 2-1a2, 点C在抛物线G上， 将C (0, 2)代入上式，解得：a=± 2, 点D在y轴右侧，a=2,抛物线G的解析式为：y= (x-2) 2-2;(2)由题意，在 y= (x-2) 2 2 中，令 y=0,贝U x二2±&, 点B在点A的右侧, .A (2-2, 0), B (2+/2, 0),又二.过点A, B, C的圆的圆心一定在线段 AB的垂直平分线上， 设 E (2, mj),且 |CE|=|AE| ,贝U 22+ (2- m 2=m+ (2- 2+/2) 2,解得：m=-,圆心E的坐标为:(2, 4);ru1(3)假设存在点F (t , 1),使得四边形CEB西菱形,则 |BF|=|CF|=|CE| ,