2018年湖南中考数学压轴题汇编：几何综合解析版

1、2018年全国各地中考数学压轴题汇编(湖南专版)几何综合参考答案与试题解析1 . (2018?长沙)如图，在 ABC中，AD 是边 BC上的中线，/ BAD=Z CAD, CEE/ AD, CE交BA的延长线于点E, BC=a AD=3.(1)求CE的长；(2)求证： ABC为等腰三角形.(3)求 ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.(1)解：: AD是边BC上的中线， .BD=CD. CE/ AD,AD为 BCE的中位线， . CE=2AD=6(2)证明：v CE/ AD,丁. / BAD=/ E, / CAD之 ACE而 / BAD=/ CAD,丁 / ACEW E, .AE=A

2、C而 AB=AE .AB=AC,.ABC为等腰三角形.(3)如图，连接 BP、BQ、CQ,在 Rtz ABD 中，AB=；'Hp=5,设。P的半径为R, OQ的半径为r,25在 RtA PBD 中，(R 3) 2+42=R,解得 R彳,_ _ 257.PD=PA-AD气,S ABC+Sk BCQ+Sa ACCfS ABC,. 加?5+加?8号?r?5卷?3?8,解得总 即QD,.pq=pdqd答： ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为2. (2018?株洲)如图，在RtAABM和RtADN的斜边分别为正方形的边 AB和AD,其 中 AM=AN.(1)求证：RtAABM0 Rt

3、AAND;(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT=AD,求tan/ABM的化DC解：(1) . AD=AB AM=AN, / AMB=/ AND=90RtAABMRtAAND (HL.).(2)由 RtAABMRtAAND易得：/ DAN=/ BAM, DN=BM vZ BAM+Z DAM=90 ; / DAN+/ADN=90 ./ DAM=/AND .ND/ AM.DNW AAMT.AH DI一丽FAT卷皿曲DN - 3v RtA ABM. .tan /AM_M 1BM -3飞3. （2018?长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做十字形（1）在 平行四边形，矩形，菱形，正方形”

4、中，一定是 十字形”的有 菱形，正方形； 在凸四边形ABCD中，AB=AD且CA CD,则该四边形 不是 十字形”.（填 是”或 不 是”）（2）如图1, A, B, C, D是半径为1的。O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E, /ADB- /CDB之ABD- / CBD,当6< AC2+BD207时，求OE的取值范围；（3）如图2,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c （a, b, c为常数，a>0, c<0）与x轴交于A, C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的 坐标为（0, ac），记千字形" ABCD勺面积

5、为 S,记AAOB, COD, AOD, BOC 的面积分别为Si, S2, S3, S4.求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；右= +亚;衣何； 十字形" ABC的周长为127H解：（1）;菱形，正方形的对角线互相垂直，菱形，正方形是： 十字形”，平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，平行四边形，矩形不是 十字形”，故答案为：菱形，正方形；如图，AE 二 AD当 CB=CDM,在 ABC和AADC中，: CE=CDlac=ac. .AB"AADC (SSS , / BAC4 DAC,. AB=AD, .AC，BD,当CB CD时，四边形ABCD不是十字形”,故答案为：不

6、是;(2) Z ADBZCBD=/ ABD+Z CDB Z CBD=Z CDB之 CAB,丁. / ADB+Z CAD与 ABC+Z CAB, .180° - / AED=180 - /AER /AED之 AEB=90,BD,过点 O作 OMAC于 M, ONXBDT N,连接 OA, OD, .OA=OD=1, OM2=OA2-AM2, ON2=OD2- DN2, AMAC, DNBD,四边形 OMEN 是 矩形, .ON=ME, OE=OM2+ME2,.OE2=OM2+ON2=2-底(AC2+BD2),gwaC+bUwt,. a>0, c<0,0) , B (0, c

7、), c .OA2aJW-b ,OB=- c, OC= 上a,OD=- ac, AC,BD=- ac - c,S=i-AC?BD=- -f-(ac+c) xc 国 c(VA+b)8-, OAX OD-I乙14VA o 1 _ 丁 Si而0A?OB=-c(VA +b)4a,S2= .-OC?OD=-4a,正u WK+b】Rf （JR _匕）父一匚（Jz+b）（J bj722 如 ，-h/4a=2,'- a=1,.S=-c7A, S=卜呵 ,Si=- 卜蜉-叫 44«二百花，. S=S+&+2y S z,-烟-弩+寸2,铲），=.护，- '-'八'

8、-4c 勾 Yc,.'. b=0,- A （-。0） , B （0, c） , C （口，0） , d （0, -c）,:四边形ABCD®菱形，.-.4AD=1Z/1O,- '- AD=3/ lu,即：Atf=90,AD2=c2 - c,c2- c=90,c=- 9 或 c=10 （舍），4. (2018?湘潭)如图，在正方形 ABCD中，AF=Be AE与DF相交于点O.(1)求证： DAFZXABB(2)求2 AOD的度数.ABCD是正方形,AD=AB,(1)证明：四边形./ DAB=Z ABC=90,(SAS ,在4DAF和4ABE中 .DAF AABEAD=A

9、BZDAF=ZABE=90* 研二BE(2)由(1)知， DAFAABE丁 / ADF之 BAE,vZ ADF+Z DAO=/ BAL DAO=/ DAB=90, 丁. / AOD=180 (/ ADF+DAO) =90°.5. (2018?株洲)如图，已知 AB为。的直径，AB=8,点C和点D是。O上关于直线 AB对称的两个点，连接OC AC,且/ BOCk 90°,直线BC和直线AD相交于点E,过点 C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且/ GAF之GCE(1)求证：直线CG为。的切线；(2)若点H为线段OB上一点，连接CH,满足CB=CHC

10、BW OBC;求OH+HC的最大值.解：(1)由题意可知：/ CAB=/ GAF,AB是。的直径，. / ACB=90. OA=OC丁 / CAB玄 OCA ./ OCA+/OCB=90,vZ GAF之 GCE丁 / GC&Z OCB=/ OCA+Z OCB=90, .OC是。的半径, 直线CG是。的切线；(2): CB=CH ./ CBHN CHB,. OB=OC / CBH4 OCB .CBH AOBC由CBHAOBC可知：后写 UU DU.AB=8, . BC2=HB?OC=4HB .HB=-, 4 .OH=OB- HB=4-4 .CB=CH . OH+HC=4 2+BC, 4，

11、当 / BOC=90,止匕时BC=4. ? / BOCX90°,.-0<BC< 4 V2,令 BC=x .OH+HC=(x-2) 2+5当x=2时，.OH+HC可取得最大值，最大值为56. (2018?衡阳)如图，O O是4ABC的外接圆，AB为直径，/ BAC的平分线交。O于点D,过点D作DEL AC分别交AC、AB的延长线于点E、F.(1)求证：EF是。O的切线；(2)若AC=4, CE=Z求而的长度.(结果保留 任)解：（1）如图，连接OD,v OA=OD,丁. / OAD=Z ODA, AD 平分/ EAF / DAE之 DAO,丁 / DAE之 ADO, .OD

12、/AE,vAE± EF,.-.ODXEF, .EF是。O的切线；(2)如图，作OGLAE于点G,连接BD,贝U AG=CG当AC=2 / OGE玄 E=/ ODE=90, 四边形ODEG矩形， . OA=OB=OD=C+CE=2=4, / DOG=90 , vZ DAE=Z BAD, / AED=/ ADB=90 ,. .AD&AABD, 皿仙 日n ° 血 "一蛆'即 ADF 'AD2=48,在ABD 中，BD=/aB2-AD2=4,在 Rt ABD 中，v AB=2BD 丁. / BAD=30, ./ BOD=60,则W5的长度为180

13、4K7. (2018?湘潭)如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径 CO± AO,点M是R上 的动点，且不与点 A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D,连结OM与CM.(1)若半圆的半径为10.当/ AOM=60时，求DM的长；当AM=12时，求DM的长.(2)探究：在点M运动的过程中，/ DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若 不是，请说明理由.解：(1)当/ AOM=60时, .OM=OA, .AMO是等边三角形， / A=/ MOA=60 ,丁. / MOD=30 , / D=30 ,.-，DM=OM=10过点M作MF LOA于点F,设 AF=x .OF=10- x,

14、vAM=12, OA=OM=10,由勾股定理可知：122-x2=102- (10-x) 2,36, , x= 5，. MF/ OD, .AMFsADO,AN AFAD OA '3812 =5 , AD -10 .AD=J .MD=AD- AM=-J(2)当点M位于司之间时,连接BC,.C是麻的中点,/ B=45,四边形AMCB是圆内接四边形, 此时/ CMD=Z B=45, 当点M位于菽之间时, 连接BC,由圆周角定理可知：/ CMD=Z B=458. (20187ft阳)如图，在ABC中,8 c=90°, AC=BC=4cnp 动点 P 从点 C出发以 1cm/s 的速度沿

15、CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以mcm/s的速度沿AB匀速运动，当点 P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t (s).(1)当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t,使4APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值； 若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t 的函数关系式.解：（1）如图1中，连接BP.囹1在 RtzACB中，V AC=BC=4 /C=9（J, .AB=4'点B在线段PQ的垂直平分线上， .BP=BQvAQ=/2t, CP=tBQ=4回一遮，PB?=42+

16、t2,二（4五V2t） 2=16+t2,解得t=8 - 4仃或8+4行（舍弃），.7= （8-4、8）s时，点B在线段PQ的垂直平分线上.（2）如图2中，当PQ=QA时，易知 APQ是等腰直角三角形,AQP=9 0.则有 PA= ' AQ,.-.4-t=/2?V2t,-a 解得t二一.J如图3中，当AP=PQ时，易知 APQ是等腰直角三角形，/ APQ=90.则有：AQ=. AP,V2t=近(4-t),解得t=2,综上所述：t=%或2s时，4APQ是以PQ为腰的等腰三角形.(3)如图4中，连接QC,彳QEE±AC于E,彳QF, BC于F,则QE=AE QF=EC可得QE+QF

17、=AE+EC=AC=4SNF图4. S=&qn(+S"c武-？CN?Q畤？PC?QE=t (QE+QF) =2t (0<t<4).9. (2018?召耶日)如图1所示，在四边形ABCD中，点O, E, F, G分别是AB, BC, CD,AD 的中点，连接 OE, EF, FG, GO, GE.(1)证明：四边形OEFG平行四边形；(2)将AOGE绕点O顺时针旋转得到 OMN,如图2所示，连接GM, EN.若OE=/1, OG=1,求生的值；试在四边形ABCD中添加一个条件，使 GM, EN的长在旋转过程中始终相等.(不要 求证明)c解：（1）如图1,连接AC,图

18、1丁点O、E、F、G分别是AB、BC CD. AD的中点, .OE/ AC、OE=-AC, GF/ AC GFAC, .OE=GF OE=GF一四边形OEFG®平行四边形；(2)OGE绕点O顺时针旋转得到 OMN, .OG=OM、OE=ON ZGOM=Z EON,og at.=OE ON' .OGMs/XOEN,.典理工"Gffi OG V添力口 AC=BD如图2,连接AG BD,丁点O、E、F、G分别是AB、BG CD AD的中点, .OG=EF*BD OE=GF=BD,.AC=BD .OG=OEOGE绕点O顺时针旋转得到 OMN, .OG=OM、OE=ON ZG

19、OM=Z EON, .OG=OE OM=ON,在AOGM和AOEN中，rOG=OEZG0U=ZE0N, loM=ON .OGMW/XOEN （SA§ , .GM=EN.10. （2018项德）如图，已知。O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的 延长线上有一点F,使DF=DA AE/ BC交CF于E.(1)求证：EA是。O的切线;(2)求证：BD=CFC D E F证明：（1）连接OD,.OO是等边三角形ABC的外接圆， ./OAC=30, /BCA=60,. AE/ BC, ./ EACW BCA=60,丁. / OAE=/ OAG/ EAC=30+60 =90°

20、;,.AE是。O的切线；（2） .ABC是等边三角形， .AB=AC, /BAC玄 ABC=60, A、B、C D四点共圆， /ADF之 ABC=60,. AD=DF, .ADF是等边三角形， .AD=AF, /DAF=60,/ BAC+Z CADN DAF+Z CAD, 即 / BAF之 CAF在ABAD和ACAF中，AB=AC/BAb/CAF,AD = AF .BAg ACAF, .BD=CF11. （2018?岳阳）已知在 RtABC中，/BAC=90, CD为/ACB的平分线，将/ ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B处，连结AB',BB',延长CD交BB'

21、;于点E,设/ABC=2c(0 < a<45 )（1）如图 1,若 AB=AC 求证：CD=2BE（2）如图2,若ABw AC,试求CD与BE的数量关系（用含 a的式子表示）；（3）如图3,将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（a+45°）,得到线段FC,连结、H、儿但。士一EF交BC于点O,设4COE的面积为S1, zCOF的面积为S2,求二（用含a的式子表小）.解：（1）如图1中,.B、B'关于EC对称，,.BB XEC, BE=EB, / DEB玄 DAC=90,/ EDB玄 ADC, / DBE玄 ACD,v AB=AG / BAB g DAC=90 ,

22、 .BABwCAD, .CD=BB =2B E(2)如图 2 中，结论：CD=2?BE?tan2.理由：由(1)可知：/ ABB 1ACD, / BAB 1 CAD=90, .BABsCAD,BB AB 1 =CDAC| an2cL，.uKD tan2 cl '.CD=2?BE?tan2c.(3)如图3中,在 RtzABC中，/ACB=90-2a,(90 - 2 a) =45 -. EC平分 / ACB,a,/ BCF=45 + a, ./ ECF=45 a+45 + a =90； / BEG/ ECF=180,BB' / CF,EU=BE=EEOP=CF=BC=sin (45

23、° a).工期s2=5f'S11=sin (45°- a)12. （2018?张家界）如图，点P是。O的直径AB延长线上一点，且AB=4,点M 厢上 一个动点（不与 A, B重合）,射线PM与。O交于点N （不与M重合）.（1）当M在什么位置时， MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证： PANAPMB.解：（1）当点M在杷的中点处时， MAB面积最大，止匕时OMXAB,v OM=-AB=义 4=2,Sa ABM=LaB?OMX 4X2=4；(2) . /PMB=/ PAN, /P=/ P, .PAN APMB.13. (2018项德)已知正方形 ABCD中

24、AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直 线AM交直线DC于E,过D作DH±AE于H,设直线DH交AC于N.(1)如图1,当M在线段BO上时，求证：MO=NO;(2)如图2,当M在线段OD上，连接NE,当EN/ BD时，求证：BM=AB;(3)在图3,当M在线段OD上，连接NE,当NE±EC时，求证：AN2=NC?AC 解：(1)二.正方形ABCD的对角线AC, BD相交于O, .OD=OA, /AOM=/ DON=90, ./ OND+/ODN=90,/ANH=/OND, ./ANH+/ODN=90,.DHIAE,丁. / DHM=90 , ./ANH+/OAM=90

25、, ./ ODN=/OAM, .DON AAOM, .OM=ON;(2)连接MN,. EN/ BD, . / ENC=/ DOC=90, / NEC=Z BDC=45=/ ACD,；EN=CN 同(1)的方法得，OM=ON,. OD=OD, .DM=CN=ENVEN/ DM, 四边形DENM是平行四边形，VDNXAE, .?DENM是菱形， .DE=EN ./ EDN=/ END,vEN/ BD, ./ END=/ BDN, ./ EDN=/BDN, / BDC=45, ./ BDN=22.5,vZ AHD=90 ,丁. / AMB=/ DME=90 - / BDN=67.5 ,/ ABM=4

26、5 , ./ BAM=67.5 =/ AMB, . BM=AB；(3)设 CE=a(a>0),.EN± CD, ./ CEN=90, /ACD=45, ./ CNE=45=/ACD, .EN=CE=a .CN=. a,设 DE=b (b>0), .AD=CD=D+CE=&b,根据勾股定理得，AC=2AD=e(a+b),同(1)的方法得，/ OAM=/ODN,/ OAD=/ODC=45,丁. / EDN=/ DAE, ,'/ DEN=/ ADE=90, .DEN AADE,.里典 AD DE 'a+b b 'a= b （已舍去不符合题意的）C

27、Na-b, AC=/2 （a+b）=国产b,.AN=AC- CN-，b, AN2-2b2, AC?CN-1；b? 1b-2b222 an2-ac?cn14. (2018?#B州)已知BC是。O的直径，点D是BC延长线上一点，AB-AD, AE是。O的弦，/AEC-30.(1)求证：直线AD是。的切线；(2)若AEL BC,垂足为M,。的半径为4,求AE的长.解：（1）如图，/AEC-30, ./ABC-30,.AB-AD,. / D-/ ABC-30,根据三角形的内角和定理得，/ BAD-120,连接 OA, . OA-OB, ./ OAB-/ ABC-30, . / OAD=Z BAD- /

28、 OAB=90 ,.-.OA± AD, 点A在。O上,直线AD是。O的切线；(2)连接 OA, . /AEC=30, ./AOC=60,v BC± AE 于 M, .AE=2AM, /OMA=90 ,在 RtAAOM 中，AM=OA?sin/ AOM=4X sin60 =2, .AE=2AM=4/3 .15. (2018?张家界)在矩形 ABCD中，点E在BC上，AE=AD, DF,AE,垂足为F.(1)求证：DF=AB(2)若/ FDC=30,且 AB=4,求 AD.证明：(1)在矩形ABCD中，v AD/ BC,丁 / AEB玄 DAF,又 ; DF± AE,

29、 . / DFA=90, / DFA之 B,又AD=EA .ADF AEAB, . DF=AB（2） . /ADF+/FDC=90, / DAF+/ADF=90 , ./ FDCW DAF=30, .AD=2DF, v DF=AR .AD=2AB=8.16. （20187（#州）在矩形ABCD中，AD> AB,点P是CD边上的任意一点（不含 C, D 两端点），过点P作PF/ BC,交对角线BD于点F.牌1)(里)邺)信用图)(1)如图1,将4PDF沿对角线BD翻折得到aDF, QF交AD于点E.求证：4DEF是等腰三角形；(2)如图2,将 PDF绕点D逆时针方向旋转得到 P'D

30、F；连接P'C, FB 设旋转角为 a (0 < a< 180 ).若0°< a< /BDC即DF在/BDC的内部时，求证： DP'。DFB如图3,若点P是CD的中点， DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时 tan/ DBF的值，如果不能，请说明理由.解：(1)由翻折可知：/ DFP=Z DFQ. PF/ BC,丁 / DFP玄 ADF, ./ DFQ=/ADF, .DEF是等腰三角形，(2)若0 < a< / BDC即DF在/ BDC的内部时，/ P' DF/PDF, . / P' DF / F&#

31、39; DC=PDF- / F' DC ./P' DC=F' DB由旋转的性质可知： DP 曲DPF,. PF/ BC, .DPM ADCB, .DP FADCB - DC-2PdbFF ' .DP5 ADF'B当/ F' DB=9财，如图所示,. DF =DF=BD,DE_J-BD =7'DF' 1 .tan/DBF -寺当/ DBF =9Q°此时DF是斜边，即DF> DB,不符合题意，当/ DF B=9酎，如图所示，. DF =DF=BD,丁. / DBF =3Q°一一十 .tan/DBF 片二317

32、. （2018?永州）如图，线段 AB为。O的直径，点C, E在。O上，BC CE , CD±AB, 垂足为点D,连接BE,弓玄BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF=BF(2)若 cos/,在AB的延长线上取一点 M,使BM=4,。的半径为6 .求证:直线CM是。的切线.证明：(1)延长CD交。于G,如图,.CDX AB,BC=BG,BC=CE,.- CE=BG, ./ CBEW GCB.CF=BF(2)连接OC交BE于H,如图，町二C E,.OCX BE在 RtzOBH 中，cos/ OBH粤，d b.OH OB一=.OC。卜而/ HOB=/ COM, .OHB AOCM,

33、./ OCM=/ OHB=90,/.OCX CM, 直线CM是。的切线.,Zw18. (2018?永州)如图，在 ABC中，/ACB=90, / CAB=30 ,以线段AB为边向外作等边ABD,点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.(1)求证：四边形BCFD为平行四边形；(2)若AB=6,求平行四边形BCFD的面积.(1)证明：在 ABC中，/ACB=90, /CAB=30, ./ABC=60.在等边 ABD 中，/ BAD=60 , ./ BAD=/ ABC=60.E为AB的中点, .AE=BE又. / AEF之 BEC. .AE阳 ABEC在AABC中，/ACB=90, E

34、为AB的中点, .CE=-AB, BE="-AB. .CE=AE ./ EACN ECA=30, / BCEN EBC=60.又AE陷ABEC丁 / AFE玄 BCE=60.又. / D=60 ,丁 / AFE叱 D=60 . .FC/ BD.又. / BAD=/ ABC=60, .AD/ BC,即 FD/ BC. 四边形BCFD平行四边形.(2)解：在 RtABC中，./ BAC=30, AB=6, .BcVaB=3, AC=/3BC=3/3, C>i19. （2018?怀化）已知：如图，AB是。的直径，AB=4,点F, C是。上两点，连接 AC, AF, OC,弓gAC平分

35、/FAB, /BOC=60,过点C作CD, AF交AF的延长线于点D, 垂足为点D.（1）求扇形OBC的面积（结果保留 冗）；（2）求证：CD是。的切线.解：(1) AB=4,1 .OB=2/ COB=60,.e JU兀乂 4史 , , S扇形OBC; 飞二门 - Q（2）AC 平分/FAB,'/ AO=CO, 二/ACOkCA。丁 / FAC4 ACO2 .AD/ OC,vCD± AF,/.CD! OCC在圆上,.CD是。O的切线20. (2018?怀化)已知：如图，在四边形 ABCD中，AD/ BC,点E为CD边上一点，AE 与BE分别为/ DAB和/ CBA的平分线.(

36、1)请你添加一个适当的条件 AD=BC ,使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你 的结论；(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作。O (要求：尺规作图， 保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下，。交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4, sin/AGF=, 求。O的半径.DEC/B解：(1)当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：. AD/BC, AD=BC四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC(2)作出相应的图形，如图所示；(3) v AD/ BC, ./ DAB+ZCBA=180,.AE与BE分另I为/ DAB与/ C

37、BA的平分线, ./ EABfZ EBA=90, ./AEB=90, AB为圆O的直径，点F在圆O上， ./AFB=90, ./ FAG+Z FGA=90. AE 平分 / DAB,丁 / FAG与 EAB /AGF与 ABEsin / ABE=sinZ AGF=77-. AE=4, .AB=5,则圆O的半径为25=BC,弦CD交AB于21. (2018徵底)如图，C、D是以AB为直径的。上的点，菽 点E.(1)当PB是。O的切线时，求证：/ PBD=Z DAB;(2)求证：BC2-CS=CE?DE(3)已知OA=4, E是半径OA的中点，求线段DE的长.解：(1);AB是。的直径，丁. / ADB=90 ,即 / BAC+ZABD=90 , .PB是。O的切线， ./ABP=90,即/ PBC