2018年高考数学二轮复习考前专题三三角函数、解三角形与平面向量第2讲三角变换与解三角形讲学

1、2,2解析- sina _2cosasin2a _4sina COs2a +4cosa =52,1 cos222sin 2a +4X1 + cos 25C.4 D 4答案 C第 2 讲三角变换与解三角形-考情考向分析-正弦定理、 余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容， 主要考查: 1边和角的计算.2 三角形形状的判断.3面积的计算.4.有关参数的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.热点分类突破热点一三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值” “给值求值”“给值求角”.2三角函数恒等变换“四大策略”(1) 常值代换：特別是1的代换

2、21=SWQCOS： =tan 45等.(2) 项的分拆与角的配凑：如sin2a+ 2cos2a= (sin2a2 2+COSa)+COSa, a =(a_p)+3等.(3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4) 弦、切互化：一般是切化弦.(1)(2017 贵阳市第一中学适应性考试)已知 sina_ 2cosa=-210,贝Utan 2a等4-*/A.3B )3_一2化简得 4sin 2a= 3cos 2a ,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的 变换，防止出现“张冠

3、李戴”的情况.（2）求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.一7答案tan 2sin 2a3a= cos 2a= 4,故选 C.已知sina =-5,sin(a 3)10，均为锐角，则角3等于（答案解析又 sin(又 sinnB.TD.6因为a,3均为锐角，所以一a3)= 一 ，所以 cos(3_1010 .所以 sina=亠5，所以 cosa= *-553 =sina (a 3)=sinacos(a 3)cosasin(a 3)=並X珂2/n所以3=亍思维升华（1）三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式, 二倍角公式,发现题目所给条件与跟踪演

4、练1(1)(2017河北省衡水则 sin 2a的值为（171710 2 3解析由 3cos 2a= sin(4-a)，可得 3(cosa sina)=2 (cosa sina),4abcA= 2R, sinB= 2R, sinC=灵a:b:c= sinA: sin B: sin 2.余弦定理：在厶ABC中,a2=b2+c2 2bccosA.2 2 2 222b+ca变形：b+ca= 2bccosAcosA例 2 (2017 全国川)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinA+. 3cosA=0,a= 2 7,b= 2.(1)求c；设D为BC边上一点，且ADL AC求厶ABD的

5、面积.2n解(1)由已知可得 tanA=屯3，所以A=.2即c+ 2c 24= 0，解得c= 6(舍去)或c= 4.所以c= 4.n由题设可得/CA=n,于是 3(cosa+ sin所以 1 + 2sinacosa118,所以 sin 2a1718故选 C.(2)(2017届山东省师大附中模拟/ sin7tcos/ sin则 cos j2a + -3 =12sin2热点二正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在厶ABC中,csinAsinBsin=2F(RABC的外接圆半径)变C形：a= 2RsinA,b= 2RsinB,c= 2RsinC, sinC等.2bc在厶ABC中，由余弦定理，得228=

6、4+c 4c cos2n)已知 sin=1，则7t解析ina cosa=sin7 7 - - 9 9- -6 6+45所以/BAD=/BAC-ZCAD=n61nAB- AD-sin 26故厶ABD的面积与ACD勺面积的比值为=1.1又厶ABC的面积为4X2sin /BAC=23,所以ABM面积为 3.思维升华 关于解三角形问题， 一般要用到三角形的内角和定理, 角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.或判断三角形的形状.例 3 (2017 届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f(x) = cos3x sin3x专+ .3 co

7、s2x于(30,x R)，且函数y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为(1)求3的值及f(x)的对称轴方程;正弦、余弦定理及有关三* J，即“统一角、统跟踪演练 2(2017 广西陆川县中学知识竞赛)在锐角ABC中，角A,B, C所对的边分别为a,b,c,且满足acosC= (2bc)cosA(1)求角A(2)若a= 7,ABC的面积& ABC= 10 3，求b+c的值.解 (1)由acosC= (2bc)cos A,得 sinAcosC= (2sinB sinC)cosA即 sin即 sin(AcosC+ 迹仙C=2sin BcosA,A+C= 2sinBcosA,即

8、sinB= 2sinBcosA/sinBM0,. cosA= 2，而 0A2 , A=*.2、十 23一 1n由 $心10,3，得 2bcsin-3 = 10；：、；3, bc= 40.I 22 #c兀 口 rr 1 2 2 一-a= 7，b+c 2bccos= 49，即b+c= 89,于是(b+c)2= 89 + 2x40 = 169, b+c= 13(舍负).热点三解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点,主要考查三角形的基本量， 三角形的面积6在厶ABC中，角A B, C的对边分別为a,b,c.若f(A) =-4, sinC=3,a=, 3,求b的解f(X)

9、= COS3x13231=sin3xcos3x+-cos3x=4sin 23x+n、23x=sin j23x+ ,Ar由函数y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为n,得 4T=nn,盘n,求得3=1.1( n3=1 时，f(x)=2Sinj2x+,n nnkn由2x+ =2+kn(kZ)，求得x= 12+2(kZ).即f(x)的对称轴方程为x=n2+kn(kZ).(2)由(1)知f(A)=1sin 2A+nn =所以 2A+ = 2kn+ 或 2A+ = 2kn+ -,k Znn解得A=kn或A= +kn,k Z,又A (0 ,n)，所以A= .1 1n由 sinC= 3,C (

10、0 ,n) , sinA=知，C6，所以 sinB=sin(A+C)= sinAcosC+ cosAsinC=，3；2、2,asinB又a= .3,3乂 3 +2、23%63 + 2.、61=32思维升华 解三角形与三角函数的综合题,要优先考虑角的范围和角之间的关系;对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求.跟踪演练 3(2017 届青岛市统质量检测)已知函数f(x) = sin 2x+n+珈3x一3x+. 3cos23x-4+cos 23x) 一41=-sin 23x+47f(x) = sin j2x+ 专 + cos j2x+ + sin 2xnnn=sin 2 xcosT+cos

11、2xsinT+cos 2xcos石-sin 2= 3cos 2x+ sin 2x= 2sin j2x+冗T0Bn ,3 B+3 0,得 sinA= 2sinB根据正弦定理，得a= 2b.2. (2017 北京)在平面直角坐标系xOy中，角a与角3均以Ox为始边,1y车由对称.若 sina= , cos(a3) =_ .3由题意知a+3=n+ 2kn(k Z),2 2=-cosa +sina =2sin17=2x91= 9.3n +2kn a(kZ),又 sin cos(a 3)=cosacos3 +sinasintan解析方法/ tann = _4=1+tanna tan -_ tana 11

12、n1+tana6atan -46tana 6=1+tana(tanaH 1)C+ sin(A+C)=它们的终边关于3. (2017 江苏)若 tan146,7t则 tan解析10二 tan方法tana=tan Jtan1 tan1=e+2=7n I n15a7tan716a-扌+tan44. (2017 浙江)已知ABC AB= AC=4,BC=2点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD则厶BDC勺面积是,cos /BD&11答案学乎解析 依题意作出图形，如图所示，则 sin /DBGsin /ABC由题意知AB= AC=4,BC= BD=2,则 sin /ABG5, cos /AB

13、C=4,所以 &BDC=2BC-BD-sin /DBC1因为 cos/DBG-cos/ABC-4BD+BC-CD8-cD=2BD- BC=8所以CD=10.押题预测I、21.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 cosA=3, sinB= 5cosC,并3且a=yj2，则ABC的面积为.押题依据三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点.答案252解析因为 0A0)的最小正周期为(1)求3的值；在厶ABO中, sinB,sinA,sinC成等比数列，求此时f(A)的值域.押题依据三角函数和解三角形的

14、交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高.因为函数f(x)的周期为T=233所以3=2( n 1(2)由(1)知f(x) = sin i3x-, +in I1易得f(A) = sini3A 因为 sin B, sin A, sinC成等比数列,所以 sin2A= sinBsin C,所以a2=bc,因为 0An,所以 OvAw，所以n3A5n36661 fn )所以一 2sin|3A6w1,(n )11所以1sin i3A -w-,由a=及正弦定理a csinAsinC，得c= 3.2n亍.2.已知函数

15、f(x) = #3sin3x+1)=sinn16厂2,所以 cosA=.2 2 2b+ca2bcb2+c2bc2bc2bcbc2bc1=-(当且b=c时取等号).(1)f(x)=3x2(cos22.14所以函数f(A)的值域为15A 组专题通关1. （2017 贵阳市第一中学适应性考试）已知在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,1若a= 10,c= 3, cosA= 4,贝 Ub等于(A. .2B. 3C. 2D. 3答案解析2 2 2由余弦定理知，a=b+c 2bccosA10,所以（b 2）（b+ 2）= 0，解得b= 2（舍负）2. tan 70 + tan 503tan 70

16、tan 50的值等于A. 3 B.c.答案解析因为 tan 120tan 701 tan70+ tan 50tan 50 即 tan 70 + tan 503tan 70 tan 50故选 C.sina +COS2可得 10=b+ 9 2 3. （2017 荆、荆、襄宜四地七校联考tan ；的值为（)13111J/A-2B.2C-3D.3）已知a为第四象限角,答案解析1 十、sina+ cosa=平方,5得 1 + 2sinacos丄=25?2sinacosa24-怎？(sin(X COS2 .a)=12sinaCOS4925.因为a为第四象限角,所以 sin0,sin(XCOSa75因此 s

17、in35cosa45,1617+acosB= 2，则ABC的外接圆的面积为（）A. 4nB.8nC. 9nD. 36n答案 C解析 /bcosA+acosB= 2,2 2 . 2a+cb2ac2S=n X3 = 9n，故选 C.值是（答案cos 2asin(a + 3)=sin(3 a)+2a=sin(3a)cos 2a +cos(3 a)sin 2asinaacosaa222sina2a2a1+cosacos2cos2tan41+5i3，故选C.4. （2017 合肥一模)ABC勺内角A, B, C的对边分别为a,b,c,右cosC=bcosA2bc由 cosC=得 sinC=2R=汁2C=

18、 136,R= 3,5.若 sin 2a= -z5, sin(5)=罟且a 3n2，则a7nA.一49nB.5nC.-4或74n45nD.解析/ sin 2a7t又 sin(3 a)=童,3 |n ,3n2cos(3-a)=甘,18COS（a + 3）=COS（3 a）+2a=COS（3 a）COS 2a sin（3 a）sin 2a-嘟X攀晋=7n3=，故选 A答案 3=需X3 10_210X5 =2，6.（2017n2 , tana= 2,贝 UCOS答案3 1010解析COS=COSaCOSn+ sin4a +Sina）.又由0,n,tana= 2 知，sina2 5,COSa5，=运5

19、，COS7. （2017 届湖南省百所重点中学阶段性诊断九章卷五“田域类”里有一个题目:）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田, V三边分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙田的面积为平方千米.答案 21解析 设厶ABC的对应边边长分别为a= 13 里，b= 14 里，C= 15 里,132+ 142 1525COSC=2X13X14，13=21（平方千米）.=伯? sinC=12?S=2X13X14X1|X250 000 = 21X1

20、06（平方米）8.（2017 河南省息县第一高级中学阶段测试）如图，在平面四边形ABC中,AD= 1,CD=2,AC=羽,COS/BAD= 誓,sin /，贝 UBC的长为. n aSin4na 419在厶ADC中运用余弦定理，可得cos /CAD=则 sin /CA=1 罕2=弓，所以 sin /BAC=sin( /BAD-/CAD=3 回逆更y2i 6 击+V3=3=14X 7 +t4X T =14= T，在厶ABC中运用正弦定理，可得(1)求 cos B;若a+c= 6,ABC面积为 2,求b.2B解 由题设及A+ B+C=n，得 sinB= 8sin ?,故 sinB= 4(1 cos

21、B).上式两边平方，整理得17COS2B32cosB+ 15= 0,解析因为 cos / BAD= 工14，故 sin /BAD=虽=3 曲14 = 14解得 cosB=1(舍去)或 cosB=15故 cosB=1517.(2)由 cosB=譽，得 sin8B=乔故Sx ABC=1acsin4B= =ac.又ABC= 2,则17ac=.9. （2017 全国n） ABO的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin(A+C=8sin 当BC=迈= sin /BACsin /CBABC=20由余弦定理及a+c= 6,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1 + cos

22、B)17f15、=362X yx1+17=4,所以b= 2.10 . (2017 浙江省“超级全能生”联考)已知fx+n = f(x)，若其图象向左平移nn个单位长度后得到的函数为奇函数.(1)求f(x)的解析式；在锐角ABC中，角A,B, C的对边分别为a,b,c,且满足(2ca)cosB=bcos 代求f(A)的取值范围.(2)v(2ca)cos B=bcos A,由正弦定理得 2sinCcosB= sin(A+E) = sinCp r-Y又 C i0, , sin o 0,1n cosB=2, B=3.ABC是锐角三角形，C= 亍Av,nnA0,| $ | 2 满足解 fx+nnf(x)

23、, - f(x+ n)= fn ix+2 =f(x),二T= n ,. 3 =2,n则f(x)的图象向左平移石个单位长度后得到的函数为6I弋$ =(n2x+p+ $，而g(x)为02A- y从而f(x) = sin2111. （2017 届合肥教学质量检测）在锐角ABC中，内角A,B, C的对边分别为a,b,c,且6 B.(3, 5)C.(5, 6 D. 5, 6答案0Bnn 1 n n2B+-3，又_6B2,可得b2+c2 (5,6.故选 C.)已知 2sin0= 1 cos0，则 tan0等于(0亠0 0 0亠 sin $ = 0 或 2cosy = sin , tan 3 = 0 或 2,02tan 一2 又 tan0=201 tan