初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略

1、初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略2x + 5、=>x-5例1关于X的不等式组3只有5个整数解，则a的取值范围是（）x + 31<x + a2A-6VaV-UC.-6<a<- D.-6<a<-例2某个篮球运动员共参加了 10场比赛，他在第6,第7,第8,第9场比赛中分别获得了 23,14,11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高,如果他的10场比赛 的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？1117例3已知x, y, z是正整数，求方程一 + + = 的正整数解.x y z 82，例4设a, b为正整数，且一 <二

2、<二，求a+b的最小值3 Z? 7变式:使得不等式 < < 对唯一的整数k成立的最大正整数n为.17 n + k 15例5五个整数a、氏c、d、e,它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183, 186, 187, 190, 19b 192, 193, 194, 196, x .己知 a « b K c < d W e , x>196 .求 a、6、d、e 及 x的值.例6实数a, b, c满足a+b+c=l.求a2+b2+c2的最小值.例7设S= 三居二启工十求不超过S的最大整数. | I2 2Z V Z 3Z V 1999 2000 z例8s=：L+

3、2G+求S 2Z 3Z 2008z例9设S=l + 3+L+则4s的整数部分等于（）I3 23 33201O3 201 1A.4B.5C.6D.7应用练习:1 .若不等式2|x-1|+3|x-3|wa有解，则实数a最小值是（）A.1B.2C.4D.62 .若不等式区4|+|3二|01恒不成立，实数m的取值范围是（）A. m<2 B. m<1 C. m<1 D. m<03 .设a, b是常数，不等式）+L>0的解集是则关于x的不等式bx-a>0的解集 a b5是（）A. x>-B x<- - C. x>-D. x< -55553 2 I

4、4.已知AABC的三条边a,b,c满足二=十 ，则NA=（）a h cA、锐角B、直角C、钝角D、非直角5若aABC的三个内角满足3NA>5/B, 3NCV2NB,则AABC必是 三角形.6. X, X2, ，X100是自然数,且 XiX2VVXioo,若 X1+X2+Xioo=7OOl,那么，X1+X2+X5O的最大值是（）A.2225B.2226C.2227D.2228q是正整数，则p的最小值是（）A. 15 B. 178计算：已知C. 72 D. 14411.111980 1981 1982 1983，求M的整数部分.（第6届睿达杯八年级复赛）9 .已知1 < a+ <

5、 3,2 < 一 K 8,若/ = 9。+ b,则t的取值范围是10 .已知 =；,%. ="； +4,则;11 = + + + . + 一!一，则与S最接近的整数为.% + 14）+ 1% + 1+ 1尸11.已知关于X的不等式组2"+ ”> °,恰有3个整数解，则这三个整数解是 3«-2x>0 。的取值范围是.12“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”，每逢除夕夜，寒山寺主持便敲钟108响，祈求天 下太平.已知寺外的江中有两条客船，当第一次钟声响起时，两船分别以3cm/s、9cni/s的速 度从江边分别向上游、下游行驶.若寒山寺到江边的

6、距离忽略不计，且每隔9秒钟响一次， 声音传播速度为300m/s.试求当上游的船客听到第108次钟声时，下游的船客只听到了多少 次钟声?13（08全国竞赛）条长度均为整数厘米的线段：外，。2,。3, a4, "5, "6, S，满足且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形.若，“=1厘米，“7=21 厘米，则"6=（）（A） 18厘米 （B） 13厘米 （C） 8厘米 （D） 5厘米参考答案：例1 C解析：3-2a<x<20,，14W3-2aV15,得 C例2 解析：学生容易把平均分认为是整数出现错误.解：设前5场比赛的总分为x分，第10场比赛得分为y分

7、.x + 68 x > 95x<85x = 8484+68+2>18ioy = 29例3解析：利用不等式的放缩性不妨令工之yN z从而确定z的范围是2或3,进而把三元方程的解转化为二元.(2,3,24)： (2, 4,8)；共 12 个解.例4利用不等式的放缩性.a+b=17变式：解法1：87797n . 8<k < 89包-2298n < 14477 = 144 解法2：98 << 17 n + k 157 A 88 9J/ k + l、8<-,>-n 8 n 9，一 j 二n 8k + l7 一9 8n<144/? = 14

8、4例5由题意得a+b= 183 a+c= 186 c+e= 196 d+e=x由-+得b+e=193则c+d=194-的b-c=-3/.b+c=187即 a=91, b=92, c=95, d=99, e=101, x=200例 6- 解析：利用。2+224。,(。+。+。)2=/+/+/+2加 + 2反 + 2f4利用柯西不等式.“ +h2 +c2)(1 + 1 + 1)>(6/ + Z?+c)2311 7111例7 1999 解析：利用特殊到一般二= 1+= 1 + 1一一,一 = 1 + 一 = 1 + '222 662 3利用一般到特殊1 + -L + = 1 + - 犷( + 1)n + 1例81 解析：利用不等式的放缩性例9 A 解析：利用不等式的放缩性111 r 11r < = -n +- 1) 2 n(n-l