新人教版2020-2021年中考数学二轮复习专题练习下几何问题_翻折问题

1、最新Word7.翻折问题1 .在VABC中，AB= AC, BAC<60 , D 为 BC延长线上一点，E为 ACD内部一点，且 ABE+ ECD = 90 .（1）若 ABE= 60 ,如图1,直接写出AC、BE间的数量关系： ；若 ABE= 45 ,如图2,求证：BE= &AC ；（3）在（2）的条件下，如图3,将线段BA沿BE翻折，翻折后的点 A落在点M处，且 MC BC ,连接EM ,交BC的延长线于N ,若CN=2,求AN的长.解析：（1） AC= BE提示：作AF BC于F , BGCE交EC延长线于G. AB= AC,八 1 八BF=FC= BC2. ABE+ EC

2、D = 90 , ABE=60ECD= 30 ,BCG= 30_ _ 1 _CBG=60 , BG BC 2. ABF= EBG, BF=BGRtVABFRtVEBG,. AB= BEAC= BE 作AF BC于F , BG CE交EC延长线于GG图2. AB= AC,八 1八BF=FC= BC2ABE+ ECD = 90 , ABE=45ECD=45 ,BCG=45CBG=45 , BG= BC=VBF 2ABF= EBG ,RtVABFsRtVEBG三 BG 2AB BD ''BE= J2abBE= 2AC1 则 ABF+ BAF = 90 , BF=FC = - BC 2

3、由题意，MBE= ABE=45,AB=BMABM =90 ,ABF+ MBC = 90BAF= MBCMC BC,BCM =AFB= 90VABFWBMC ,AF=BC=2BF, BF=MCBC=2MC由（2）知，BE= 2ABB,B BE= X2BM. MBH = 45 ,BMH = 45 , BH=MH = BM = 1 BE22. BH = EH=MH ,MEH= EMH=45 BME=90 ,RtVBMCsRtVMNCMC=2CN=4,FC=4, FN=6, AF=8an=Jfn2 AF2 J62 82 102.如图，在RtVABC中， C 90，翻折 C,使点C落在斜边AB上某一点D

4、处, 折痕为EF (点E、F分别在边AC、BC上)(1)若VCEF与VABC相似.当AC BC 2时，求AD的长；当AC 3, BC 4时，求AD的长；(2)当点D是AB的中点时，VCEF与VABC相似吗？请说明理由.1所示.此时D为AB边中点,. CE: CF AC: BC,解析：(1)若VCEF与VABC相似.当AC BC 2时，VABC为等腰直角三角形，如答图AD §AC 技 当AC 3, BC 4时，有两种情况:(I)若CE: CF 3:4,如答图2所示.EF II BC .由折叠性质可知，CD EF ,. . CD AB ,即此时CD为AB边上的高.在 RtVABC 中，A

5、C 3, BC 4,AB 5,人 AC 3-cosA _.AB 53 AD AC?cosA 3 - 1.8；5(II )若CF: CE 3:4,如答图3所示.VCEFsVCAB,CEF B.由折叠性质可知，CEF ECD 90 ,又 A B 90 ,A ECD,. AD CD .同理可得： B FCD, CD BD,1 1-. .此时 AD AB - 5 2.5.22综上所述，当AC 3, BC 4时，AD的长为1.8或2.5.(2)当点D是AB的中点时，VCEF与VABC相似.理由如下:如答图3所示，连接CD ,与EF交于点Q .CD是RtVABC的中线,CD DBAB,DCB由折叠性质可知

6、,CQFDQF 90DCB CFE 90 ,. B A 90 ,CFE A,又 C C, . VCEFsVCBA.AB 一 3.在矩形ABCD中， a ,点G, H分别在边AB, DC上，且HA= HG .点 ADE为AB边上的一个动点，连接 HE ,把VAHE沿直线HE翻折得到VFHE .(1)如图1,当DH = DA时，填空：HGA=度；若EF / HG ,求 AHE的度数，并求此时a的最小值；(2)如图 3, AEH=60 , EG= 2BG,连接 FG ,交边 DC于点 P,且 FG AB, G为垂足，求a的值.图2 （信即图M解析：（1）45分两种情况:第一种情况（如图1）HAG=

7、HGA=45 ,AHG=180 -45 -45 =90由折叠可知：HAE= F=45 , AHE= FHE又 EF / HG ,FHG= F = 45AHF= AHG- FHG=90 -45 =45即 AHE+ FHE = 45AHE=22.5此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是第二种情况（如图 2）. EF / HG ,HGA= FEA=45即 AEH+ FEH=45由折叠可知：AEH= FEH , . AEH= FEH =22.5. EF II HG ,GHE= FEH =22.5AHE = 90 +22.5 =112.5此时，当B与E重合时，a的值最小设 DH = DA= x,则

8、AH=GH = &x在 RtVAHG 中，AHG=90 ,AG=夜AH = 2xAEH =FEHGHE= FEHAEH =GHE. GH = GE=应x,AB=AE=2x+ ,2xABAd2x 2xx2 ,2（2）过点H作HQ交AB于Q ,AQ f G B则 AQH= GQH=90在矩形 ABCD 中， D= DAQ = 90 . D= DAQ= AQH=90 四边形DAQH为矩形， . AD= HQ设 AD=x, GB=y，则 HQ=x, EG=2y由折叠可知：AEH= FEH =60FEG=180 -60 -60 =60在 RtVEFG 中，EG=EFcos60, EF=4y在 R

9、tVHQE 中，EQ= -H x tan60 3QG=QE+ EG=避 x 2y 3. HA= HG, HQAQ= GQ=虫 x32yAE=AQ+ QE= "x 2y 3由折叠可知:AE=EF2y 4y,2.3x3,3 尸T. AB= 2AQ+ GB= 2 -3x 2y y 3AB 7 a=AD 34.如图，VABC为等边三角形，D为VABC内一点，且 ADB=120，把VADB沿 BD翻折，点A落在点E处，连接CE .(1)求证：BD+CE= AD ；(2)连接 CD ,若 AD=8, CD=7,求 CE 的长.解析：（1）将VABD绕点A逆时针旋转60得VACF ,连接DF、CF

10、、EF则VADF是等边三角形，AD= DF, ADF= AFD=60ADB= 120 ,ADB+ ADF=180B、D、F三点在同一直线上. AFC= ADB=120 , . . DFC=60由题意，. EDF= ADF=60 , DE=ADDE=DF ,VDEF是等边三角,形EF= DE=AD, DFE=60E、C、F三点在同一直线上BD+CE = CF + CE=EF = AD(2)过C作CG DE于G. VDEF是等边三角形，. .DEF =60设CE= x,则 GE=1x, CG= x, DG=8 1x 22222在 RtVCDG中，81xx7222解得 x1=3,x2=5 CE的长为

11、3或55.已知矩形ABCD的一条边AD= 8,将矩形ABCD折叠，彳顶点B落在CD边上的 P点处.（1）如图1,已知折痕与边 BC交于点O ,连结AP、OP、OA.求证：VOCPsVPDA；若VOCP与VPDA的面积比为1:4,求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求 OAB的度数；（3）如图2,在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP 上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN = PM ,连结MN 交PB于点F ,作ME BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段 EF的长 度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段

12、 EF的长度.解析:(1).四边形ABCD是矩形，C= D=90APD+ DAP = 90VAOP是由VABO沿AO折叠,APO= B=90APD+ CPO=90DAP= CPO,VOCPs VPDA.VOCPsVPDA , VOCP 与 VPDA 的面积比为 1:4SA OCPSA PDACP 2 1AD 4.空 1AD 2AD=8,CP= 4设 AB= x,则 DP=x 4在 RtVPDA中，AP2= AD2+ DP2x2=8 2+( x-4 )2, . x= 10即边AB的长为10(2) .折叠后VAOB与VAOP重合,AP= AB, OAB= OAP. AB= CD,. AP= CDP

13、是CD的中点，1DP AP2. D=90 ,PAD=30又 OAB= OAP,OAB= 30(3)线段EF的长度不变作MH / BN交PB于点H. AP= AB,APB= ABPMHP= ABP, MHF= NBFMHP= APB,MP= MHMP=BN ,BN=MHNFB= MFH ,VNBFWMHFFH = FB. EF=EH+FH ,1 EF=EP+ FB=- PB2由（1）得：AB =10, AD=8,DP=6PC=4,PB= 4 75,EF= 2、56.如图1,在平行四边形 ABCD中，点E是BC边的中点，连接 AE并延长，交DC的 延长线于点F ,且 AEC=2 ABE .连接BF

14、、AC .（1）求证：四边形ABFC是矩形； （2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠VABM，使点B恰好落在线段DF 上的点B处（如图2）, AB =13, AC=12,求MF的长.解析：（1） .四边形ABCD是平行四边形,AB/ DFABE= FCE, BAE= CFE E是 BC 的中点，BE= CE . VAEB仁VFEC , AB= FC 四边形ABFC是平行四边形 . AF=2AE, BC=2BE. AEC = 2 ABE, AEC= ABE+ BAEABE= BAE,. AE=BE,AF=BC.四边形ABFC是矩形4D(2) 四边形 ABFC 是矩形，AB= 13, AC

15、=12CF=AB=13, BF = AC=12, ACF= MFB =90 VAB M是由VABM折叠得到的AB=AB= 13, BM = BM在 RtVAB C 中，B C=VAB1 AC2 ,132 1225BF = CFBC=13- 5=8设 MF = x,则 BM = BM=12-x在 RtVBMF 中，BF2+ MF 2= B M 2厂 22210即 82+x2= ( 12- x)2,解得 x=一3MF1037.在直角梯形 ABCD 中，AD/BC, B= 90 , C=60 , AD= CD,点 E在射 线BC上，将VABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与射线CD交于点M .

16、（1）如图1,当点M在CD边上时，求证：FM - DM =AB. 3（2）如图2,当点E在BC边的延长线上时，线段 FM、DM、AB的数量关系是： ,（3）在（2）的条件下，过A点作AG CM ,垂足为点G ,设直线BG与直线AM交 于点N ,若AD=6, FM =1求GN的长.图工圄工解析：（1）过A作AG CD ,交CD的延长线于G ,连接AM、ACG人、中 口N ''-Ambec. AD / BC ,ACB= DAC. AD= CD ,ACD= DACACB= ACD,AB= AG. AB= AF ,AF = AG又 AM = AM, AFM= G=90VAMFRAMG

17、,FM = GMFM-DM = DGADG= BCD= 60 ,DG=-3 AG m AB 33FM-DM= AB 3 DM FM提示：过A作AG CM于G ,连接AM、AC同（1）可证：AB= AG= AF, FM = GM. DM-GM=DG, DG= AG 33DM FM AB3(3)连接AC,作MHDK BC 于 K白H K C.AD=6, FM=1 BCD=60. CD=6, KC=3,AB= DK = 3,3, BC=9DM FMDM = - 3>/3 1 4 3CM =10, HC=5, MH=5技 BH=4设 BE=x，则 FE=x, ME = x 1, HE = x 4

18、222MH 2+ HE=ME 2,(5的2 + ( x 4 )2=( x 1 )2解得x= 15,BE= 15, CE= 6BCG= 60 ,ECG =120BAG=120ACB= ACD=30 . VAMFRAMGMAF= MAG八i 1-MAE= GAC EAC+ MAG= BAF EAC2=BAE- EAC= BAC=60又 GAC= 60 ,GAN= CAEAB= AG, BAG= 120 ,ABG= 30AGN=150= ACE,VAGNsVACE1 AG= AC , 2 -1-GN= CE= 328.如图1,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A

19、旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F ,连结EF .（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM EF于点M ,请直博写出AM和AB的数量关系；（3）如图2,将RtVABC沿斜边AC翻折得到RtVADC, E、F分别是BC、CD边1上的点， EAF = BAD，连接EF ,过点A作AM EF于点M ,试猜想AM 2与AB之间的数量关系，并证明你的猜想.答案：见解析解析：（1）猜想：BE+ DF = EF证明：延长CB到G，使BG= DF ,连接AG丁四边形ABCD是正方形. AB= AD, ABC= D=90AB

20、G= 90 ,ABG= DVABG VADFAG= AF, GAB= FADEAF = 45 , FAD+ BAE= BAD EAF = 90 45 =45GAE= GAB+ BAE= 45GAE= EAF又 AG= AF, AE= AE,VAE8 VAEFEG= EF即 BE+ DF = EF（2）AM=AB（3）猜想：AM = AB证明：延长CB到G，使BG= DF ,连接AG RtVABC沿斜边AC翻折得到RtVADC. AB= AD, ABC= D=90ABG= 90 ,ABG= DVABG VADFAG= AF, GAB= FAD1. EAF= BAD, 21 FAD+ BAE= B

21、AD2BAD-1GAE= GAB+ BAE= FAD+ BAE= 一2GAE= EAF又 AG= AF, AE= AE,VAE8 VAEFEG=EF,SVAEG SVAEF1 -1-EG AB= EF AM22AM = AB9.（1）如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD 于点F .求证：BF=DF；（2）若矩形纸片ABCD中，AB=4, BC=10,将矩形ABCD沿过B点的直线折叠， 使点C, D落在点E, G处，折痕交线段AD （不含端点）于点H ,线段BE交直线AD 于点F .图2是该矩形折叠后的一种情况.请探究并解决以下问题：当VBEH为直角三角形时，

22、求DH的长;当1 DH <10时，求tanBEH的取值范围.E解析：（1）由题意，1= 2. AD / BC ,1= 32= 3,BF= DF H不与端点A, D重合BEH<90 , EBH<90当VBEH为直角三角形时，只能BHE=90连接CHBC=BE, CBH= EBH, BH = BHVBCHWBEHBHC= BHE=90. VDHCsVABH ,DH ABDC AH即 DH 4一,解得 DH = 2或 DH=8 410 DH当VBEH为直角三角形时， DH的长为2或8. be/ hg , beh= ehgtan BEH = tan EHG=-EG- - GH gh

23、1 DH <10,0.4 v tan BEH 410.已知矩形ABCD的一条边AD 8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上 的P点处.（1）如图1,已知折痕与边 BC交于点O ,连结AP、OP、OA.图中 COP 若VOCP与VPDA的面积比为1:4,求边AB的长为；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求 OAB的度数为 度；（3）如图2,在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP 上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN PM ,连结MN 交PB于点F ,作ME BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段 EF的长 度是否发

24、生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段 EF的长度.解析：（1）如图1,四边形 ABCD是矩形，AD BC, DC AB, DABBC D 90 .由折叠可得：AP AB, PO BO, PAO BAO. APOB.APO 90 .APD 90 CPO POC.Q DC, APD POC.VOCPsVPDA.QVOCP与VPDA的面积比为1 ：4,OC OP CP 11PD PA DA 4 2PD 2OC, PA 2OP, DA 2CP .Q AD 8, CP 4, BC 8.设OP x,则 OB x, CO 8 x.在 RtVPCO 中，x,Q C 90 , CP 4, OP x, CO

25、 822/x (8 x)4 .解得：x 5.AB AP 2OP 10.边AB的长为10.(2)如图1,QP是CD边的中点，1八 DP -DC .2Q DC AB, AB AP,1 DP -AP .2Q D 90 ,sin DAPDPAPDAP 30Q DAB 90 , PAOBAO, DAP 30 ,OAB 30 .OAB的度数为30 .(3)作MQ / AN ,交PB于点Q ,如图2.邸Q AP AB, MQ/ AN ,APB ABP, ABP MQP .APB MQP .MP MQ .Q MP MQ , ME PQ,-1 - PE EQ -PQ .2Q BN PM , MP MQ ,BN

26、QM .Q MQ II AN ,QMF在 VMFQ 和 VNFB.中,QMF BNFQFM BFN .QM BNVMFQWVNFB .QFBF .-1 -QF-QB.2_1_11EFEQQFPQ-QB PB.222由（1）中的结论可得：PC 4, BC 8, C 90 .PB 幅 4、AM 一.一时，求的值为 BN 4卷.1-EF -PB 2、5 2在（1）的条件下，当点 M、N在移动过程中，线段 EF的长度不变，长度为2J5.11.问题解决CECD如图（1）,将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E （不与点C , D 重合），压平后得到折痕MN .图(1)方法指导：为了求得 AM

27、的值，可先求BN、AM的长，不妨设： AB =2类比归纳CE 1 AM在图（1）中，若?二 则包-的值等于；（注：若答案不是整数，请化为CD 3 BNCE1AM仲/击空十升CE1AM一位小数）；右 贝u的值等于；右 一（n为整数），贝u 的值等CD4BNCDnBN于.（用含n的式子表示） 联系拓广 如图（2）,将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E （不与点C、D重合），AB1CE1 AM压平后得到折痕MN设（m1）一则 的值等于 .（用含BCmCDn BNm,n的式子表示）解析：方法一：如图（1-1 ）,连接BM、EM、BEMN对称.CECD由题设，得四边形ABNM和四边形FENM

28、关于直线MN 垂直平分 BE. . BM EM , BN EN四边形ABCD是正方形,A D C 90 ,AB BC CD DA1-,CE DE 12设 BN x 则 NE x, NC 2 x ,在 RtVCNE 中，NE2 CN2 CE2 .2 一 、2 o5 5x (2 x) 1 解得 x ,即 BN 44在 RtVABM 和在 RtVDEM 中，AM 2 AB2 BM 2,222DM 2 DE2 EM2,AM2 AB2 DM2 DE2设 AM y 则 DM 2 y2222y 2(2 y) 11 1解得y 即AM 4 4AM 1BN 55方法二：同方法一，BN 4如图(1 2),过点N做N

29、G /CD交AD于点G ,连接BE. AD II BC，四边形GDCN是平行四边形.NG CD BC同理，四边形ABNG也是平行四边形.， AGBN 4. MN BE,EBCBNM90Q NG BC,MNGBNM90 ,EBC MNG在VBCE与VNGM中EBC MNGBC NGC NGM 90VBCEWVNGM , ECMG.AMAG MG, AMAMBN类比归纳24士（或二51017n 1 2 n2 1联系拓广n2m2 2n n2m2 112. VABC 中，AB= AC,BAC<60 , D为BC延长线上一点，E为 ACD内部一点，且 ABE+ ECD = 90(1)若 ABE=

30、60,如图1,直接写出AC、BE间的数量关系：AC BE;(2)若 ABE= 45 ,如图 2,求证：BE= J2AC;(3)在(2)的条件下，如图3,将线段BA沿BE翻折，翻折后的点 A落在点M处，且 MC BC ,连接EM ,交BC的延长线于N ,若CN=2,求AN的长为.解析：(1) AC= BE提示：作AF BC于F, BG CE交EC延长线于G一-八 1 八Q AB= AC, BF=FC = BC 2Q ABE+ ECD = 90 , ABE=60ECD=30BCG=30八八_1_CBG=60 , BG= BC 2ABF= EBG, BF=BGRtVABF RtVEBG, AB= B

31、E. AC= BE（2）作AF BC于F, BG CE交EC延长线于G-i 1 Q AB= AC, BF=FC = BC 2Q ABE+ ECD = 90 , ABE = 45ECD= 45 ,BCG= 45CBG= 45, BG= BC=V2BF 2ABF= EBG, RtVABFsRtVEBGBEABBG 2, BE2ABBE= . 2AC（3）作 AF BC 于 F, MH BE于 H八 1八则 ABF+ BAF = 90 , BF=FC= BC 2由题意， MBE= ABE=45,AB= BMABM=90, ABF+ MBC=90BAF= MBCQMC BC, BCM= AFB=90V

32、ABFVBMC, AF= BC=2BF, BF= MCBC=2MC由（2）知，BE=应AB,BE=、2BM-22.1Q MBH = 45 ,BMH=45, BH = MH=BM = BE22BH = EH=MH, MEH= EMH =45BME=90 , RtVBMCsRtVMNCNC MC 1MC BC 2,Q NC 2, MC 4, BC 8FN 6, AF 8AN , FNAF2.6282 1013.如图1,四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD对折，使BC与AD 重合，折痕为EF ,把这个正方形展平，然后沿直线 CG折叠，使B点落在EF上，对应 点为B .(1)求 CB

33、F的度数为 度；(2)如图2,在图1的基础上，连接AB，试判断 B AE与 GCB的大小关系，并 说明理由；(3)如图3,按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平， 然后继续对折,，使AB与DC重合，折痕为MN ,再把这个正方形展平，设 EF和MN 相交于点O ；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B ；再沿直线AH折叠，使D 点落在EF上，对应点为D ；第三步:设CG, AH分别与MN相交于点P, Q ,连接B P, PD , D Q , QB .试判断四边形B PD Q的形状为,并证明你的结论.解析：(1)如图1,由对

34、折可知,1 EFC = 90 , CF = CD 21 一四边形ABCD为正方形，CD=CB, CF = CB2 八 1又由折叠可知，CB=CB, CF = CB2CF 1在 RtVBFC 中，sin CB F=-CB' 2CB F =30解法二：如图1,连接B，D,.图2(2) BAE= GCB理由如下：如图2,连接B D由对折知，EF垂直平分CD, B C= B D由折叠知，BC= BC四边形ABCD为正方形，BC= CDBC= CD= BD, VB CD为等边三角形CDB =60四边形ABCD为正方形CDA= DAB= 90 ,B DA= 30QDB= DA,DAB = DB A

35、1DB A= (180 B DA)= 75 2B AE= DAB- DAB =90 -75 =15由(1)知 CB F=30QEF/BC,BCB= CB F=30-1-1 cc -由折叠知， GCB = B CB= - 30=15 22B AE= GCB(3)四边形B PD Q为正方形如图3,连接AB圄3由（2）知， BAE= GCBB AE= PCN由折叠知， GCB= PCN,，一八1八 1八由对折知， AEB= CNP=90 , AE=AB, CN BC 22又四边形 ABCD是正方形，AB= BCAE=CN, VAEB WVCNPEB = NP同理可得，FD = MQ由对称性可知，EB

36、 = FDEB = NP=FD =MQ由两次对折可知，OE= ON=OF = OMOB = OP= OD = OQ , . .四边形B PD Q为矩形由对折知，MN EF于点O, PQ B D于点O四边形B PD Q为正方形14.如图，在 RtVABC 中，C=90, AC=4, BC= 5, D 是 BC 边上一点，CD= 3, P是AC边上一动点(不与A C重合)，过点P作PE II BC交AD于点E.(1)设AP= x, DE = y，求y关于x的函数关系式；(2)以 PE 为半径的e E与以DB为半径的e D能否相切？若能， 求tan DPE的值；若不能，请说明理由；(3)将VABD沿

37、直线AD翻折，得到VAB D ,连接EC、BC,当 ACE= BCB时，求AP的长.备用图AD= 5解析：(1)在 RtVACD 中，AC=4, CD= 3,AP AEQ PE/BC, . AC AD5-心 ,、y= - x+ 5 (0vxv4) 4, 一 3(2)对于 e E rE= EP= x；对于45DB = 2 ；圆心距 ED= - x+ 5 4当两圆外切时，rE+ rD= ED ,3 c 5x+ 2 = - x+ 5443 一 5解得 x= ， PC= 一22QPE/BC,DPE= PDC PC 5 tan DPE=tan PDC=- CD 6，一 .35_当两圆内切时，|ed|=E

38、D,| 一 x 21 = x+ 5447 八一 1解得x= 或x= 6 （舍去），PC=22PC 1 tan DPE=tan PDCCD 6（3）延长AD交BB于F ,则AF垂直平分BBAC 4在 RtVBDF 中，BD=2 , sin BDF = sin ADC= 一 AD 5816BF = , BB =一55Q ADC= BDF,CAD= DBF当 ACE= BCB 时，VCAEsVCBBAC BC . 45,即AE BB 5 y 165y= 564255 -x464，解得25256x=12515.如图，把矩形纸片 ABCD沿EF、GH同时折叠，B、C两点恰女?落在AD边的 P点处，已知

39、FPH=90, PF=8, PH=6.(1)求图中矩形 ABCD的边BC的长为(2)求图中四边形EFHG的面积为；答案：24; 57.6 ; 24(3)如图，点M是直线EF上的动点，点N是直线GH上的动点，连接AM、MN、ND,求 AM + MN+ND 的最小值为.解析：(1)由题意，BF = PF=8, CH = PH = 6Q FPH=90 , FH=VPPPH2 48 62 10BC= BF+FH + HC=8 + 10+ 6 = 24(2)连接 BE、CGQADPBC,PEF= BFE24524 28855(3)连接 AM、DN由题意，A M + MN + ND = AM + MN + NDQ