大学数学练习题

1、大学数学习题及答案一填空题：1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2二阶线性齐次微分方程的两个解yi(x);y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 3方程y_2y+y =0的基本解组是 .4 一个不可延展解的存在区间一定是 区间.5方程dy = & y?的常数解是 .dx6方程x p(t)x+= qx =0 一个非零解为xi(t)，经过变换7若4(t)是线性方程组 X= A(t)X的基解矩阵，则此方程组的任一解4(t尸.8一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍，则此曲线方程为.9满足 条件的解，称为微分方程的特解.10如果在微分方程中，自变量的个数只有一个我们称这种微分方程

2、为 .11 一阶线性方程 y + p(x)y =q(x)有积分因子(N=).12求解方程 虫一x/y的解是().dx222.13 已知(axy +3x y)dx+(x + y)x dy = 0 为恰当万程，则 a =.14仁=x2 y2dxy(0) = o,R: x 1, y W1由存在唯一性定理其解的存在区间是().15方程dy i 5dy+6y = 0的通解是( dx dx).16方程I +y3 +x= y5的阶数为dx J17若向量函数 Y(x); 丫2(刈;Y3(x)Yn(x)在区间D上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式 (x)=.18若P(X)是方程组 出二 A(x) ： 的基本解方阵

3、则该方程组的通解可表示为 . dx 2219 .方程x(y T)dx+y(x 7)dy=0所有常数解是 .20 .方程y+4y =0的基本解组是.dy - . y 121 .方程dx满足解的存在唯一性定理条件的区域是 .22.函数组 中1(x)，中2 (x)，叫在区间i上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零.23,若y=*i(X)，y =2(刈是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点.单项选择：方程dy = x飞+ y满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是().dx(A)上半平面(B) xoy平面方程dy = Jy+1()奇解.dx(A)有一个 (B)有两个(C)下

4、半平面(D)除y轴外的全平面(C)无(D)有无数个在下列函数中是微分方程y + y =0的解的函数是().123456789(A) y = 1(B) y = xx(C) y = sin x (D) y = ex万程y y =e =x的一个特解y*形如(). 一x(A) ae =bx(B) axe bxx(C) ae bx cx(D) axe bx cf (y)连续可微是保证方程dydx(A)必要 (B)充分二阶线性非齐次微分方程的所有解(A)构成一个2维线性空间 (C)不能构成一个线性空间= f(y)解存在且唯一的()条件.(C)充分必要(D)必要非充分().(B)构成一个3维线性空间(D)构

5、成一个无限维线性空间方程曳=3y3过点(0,0)有( dx).(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解0 1 1尸1 )初值问题x= x , x(0)=在区间，一心t生上的解是().0/() E彳(A) U(t)(B)u(t)彳e(C) U(t) =(D) U(t)=方程 dy+x2y+cosx = 0是().dx(A) 一阶非线性方程(B) 一阶线性方程(C)超越方程(D)二阶线性方程210方程l，dy i1 +3电=0的通解是().dx dx(A) CiC2e3x(B) CiX - C2ex (c)Ci - C2ex(D)C?e贽211方程 包1 + 4 dy + 4

6、y = 0的一个基本解组是().dx dx(A) x, e (B)1,ex-22x2x Nx(C) x ,e (D) e , xe12若y1和y2是方程. 2.y i1 + p(x)y + q(x)y = 0的两个解，则 y=e1yl +e2y2 (ae为任意常数)dx)dx(A)是该方程的通解(C)不一定是该方程的通解(B)是该方程的解(D)是该方程的特解13方程dy = V1 -y2过点(0,0)的解为 dx= sin x,此解存在).(A)(-二，,二)(B)(一二,0(C)0,二)14 方程 y = 3x2yex是().(A)可分离变量方程(B)齐次方程15微分方程-y = 0的通解是

7、(dx xc(A) y =-(B) y = cx (C) yx(C)全微分方程(D)线性非齐次方程).16在下列函数中是微分方程y + y =0的解的函数是().(A) y = 1(B) y = x (C) y=sin x (D) yx17万程y y =e +x的一个数解xy形如().(A) aex b(B) axex - bx(C) aex bx c(D) axex bx c18初值问题x010 x;x(0)在区间00 t 上的解是().(A) U(t)(B) U(t)=(C) U(t)t4._ e(D) U(t)-te-t-e19.方程”ydx的奇解是(A)(B)y =1(C)y = -1

8、(D)y = dy 21 一 yfU，920.方程dx过点2 共有()个解.(A) 一(B)无数(C)两21. n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个.(A) n(B) n-1(C) n+122. 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差().(D)三(D) n +2(A)不是其对应齐次微分方程组的解(B)是非齐次微分方程组的解(C)是其对应齐次微分方程组的解(D)是非齐次微分方程组的通解f (x, y)dy 一 、f (x, y)23.如果f(x，y) ,3都在xoy平面上连续，那么方程dx的任一解的存在区间()(A)必为(_QO, +*)(B)必为(0，+叼(C)必为(-Q0

9、, 0)(D)将因解而定 三求下列方程的解：1求下列方程的通解或通积分：dy522、(3) 一 = y xy (4) 2xydx (x - y )dy = 0 dxdydyJfy 2y(1) =y1ny (2)=J1- - 十 dxdxVx /x_3 y =xy 2(y)2求方程的解 x(5) -1x(4) =0t3解方程：型=y2 cosx并求出满足初始条件：当x=0时,y=2的特解 dx4求方程：dy +tg ydx x x5求方程：曳=6yxy2的通解dx x2-22.3、6 求(3x +6xy )dx +(6x y + 4y )dy =0 的通解.、巾d 4x - d 2x -求解方程

10、：4- 2 r x -0dt4 dt2求方程：54dt5 t dt4=0的解29 求万程y -5 y = 5x的通解11求初值问题10求下列方程组的通解/ =x_y7(-1)=。R: x +1 1 y E1的解的存在区间并求出第二次近似解12求方程的通解dy _ ydx x y2曳T tan) dx x x2、(y3x )dx(4y x)dy =0(二种万法)4y = 013计算方程 y+4y = 3sin 2x的通解d xdx14计算万程 -4+4x=costdtdt15求下列常系数线性微分方程：y-2y+10y =xe2x16试求X2 o_1 1的基解矩阵17试求1阵A=|21 的特征值和

11、对应的特征向量_-1 418试求,3 _-5的特征值和特征向量19解方程组y1 3 2、似 , 1y2 ) 1 2) y2 )20.求下列方程组的通解dx=-x -2y出dy=3x +4yLdt四名词解释1微分方程2常微分方程、偏微分方程3变量分离方程4伯努利方程5 Lipschitz 条件6线性相关五证明题1 在方程 y+p(x)y+q(x)y =0 中已知 p(x);q(x)在(-oo；+oc)上连续求证:该方程的任一非零解在 xoy平面上不能与x轴相切.2设xi(t)、x2(t)分别是非齐次性线方程dnx _ . dnJx证明：xi(t)+x2(t)是方程-+Gi(t)ry+Gn(t)x

12、= fi(t) + f2(t)的解。dtn出3设f (x)在0； +叼上连续且lim f (x)=0求证：方程 qy+y= f(x)的一切解y(x)； xidx均有 limy (x)=0x一)二4在方程y + p(x)y+q(x)y = 0中p(x)、q(x)在(一空,+9)上连续；求证：若 p(x)恒不为零；则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式w (x)是(g,十2)上的严格单调函数。d n x 、d nx,、t 5 证明：x1(t)+x2(t)是方程 一n- + C1(t)一方+an(x) +f2(t)的解 dedtcx12x .-1nx6证明：函数组 e , e e(其中当i = j时#

13、 %)在任意区间(a ,b)上线性无关7.dy = f(y) :(y) 在方程dx中,已知ND,中(x)在(气+叼上连续，且中(9=0求证：对任意x0和y0 0,(或不含x轴的上半平面)22. 充分23. 没有二单项选择1、D 2、C 3、C 4、D 5、B 6、C 7、A 8、D9、A 10、C11、D12、B 13、D 14、D15、B 16、C17、D 18、D 19. D 20, B 21 .22.C23. D三求下列方程的解1 (1)解：当y # 0, y # 1时，分离变量取不定积分，得通积分为1ny= Cex(2)解：令y= xu ,则dy = u +xdu,代入原方程，得 dx

14、 dx分离变量，取不定积分，得dudx1 1= 1一十 1nC (C#0).1 -u2x通积分为：arcsiny =1nCxx(3) 解：方程两端同乘以 y得-4, -5 dy dz , ,_令y = z，则-4y =，代入上式，得dx dx通解为原方程通解为M：N(4) 解：因为_E_=2x = J ,所以原方程是全微分方程。 y；:x取(xo,yo) = (0, 0)原方程的通积分为一213即 x y y = C3(5) 解：原方程是克莱洛方程，通解为：y = cx+2c3、 dx ,、dx 1 八 一d dx .2 解：设y = 一则方程化为一y = 0，积分后得y = ct即一=ctd

15、tdt tdt于是 x=Clf5+C2t3+C3t2+C4t+C 5其中 c1 , C2 , C3 , C4 , C5 为任意常数dnxdtnGi中dtGn(t)xi(t)Gi(t)dnx(t)dtn-1Gn(t)x2(t)一 dx一Gi(t)d n) +Gnx(t)=fl(t)+f2 (t)的解。dt=fl(t) + f 2(t)花d x(t)故xi(t)+x 2(t)为万程 产 +dt3解： 将变量分离，得到1.两边积分，即得-一二s i nx cy因而，通解为这里c是任意常数。以 x=0 , y=1代入通解中以决定任意常数c,得到c = -1因而，所求特解为4解：以 Y=u及 dy =

16、xdy+u代入，则原方程变为 x dx dx即将上式分离变量，即有两边积分，得到这里C是任意函数，整理后，得到入e，i 一，令 e = c，得到sinu = cx5解：令z = y-1得代入原方程得到这是线T方程，求得它的通解为代回原来的变量 y ,得到这就是原方程的通解。此外，方程还有解y=0 o6 解： 这里 M =3x2+6xy2 .N = 6x2y+4y3 ,这时因此方程是恰当方程。现在求u ,使它同时满足如下两个方程由(1)对x积分，得到 u = x3 +3x2 y2 +中(y)为了确定中（y），将（3）对y求导数，并使它满足（2）,即得于是3 = 4y4dy积分后可得(y)=y4将

17、甲（y）代入（3）,得到u = x3 + 3x2y2 + y4因此，方程的通解为x3 + 3x2y2 + y4=c这里c是任意常数解：特征方程 九4 十2九2+1 =0即特征根 九=i是重根，因此方程有四个实值解cost、tcostsint 、tsint故通解为 x = (c 1+c2t)cost + (c 3+c4t)sin 其中 c1 ; c2； c3 ; c4为任意常数解：令咤dt4y则方程化为:dyy =0 dt t积分后得y=ct即d-x =ct于是 dt4x=c1t5 + C2t3 + C3t2 + C4t1 + C510其中c1 ; c2c5为任意常数，这就是原方程的通解。2解

18、对应齐次万程的特征万程为九-5九=0,特征根为1 = 0, 2 =5齐次方程的通解为y=C 1+C2e5x因为a=0是特征根。所以，设非齐次方程的特解为y1（x）=x （Ax2 + Bx + C）代入原方程，比较系数确定出aJB，C3525原方程的通解为解：先解出齐次方程的通解小普卜2Mlcost令非齐次方程特解为 =C1(t) 8stJ .-sint _|sint + C2(t)costCl (t),C2 (t)满足costsintC1 (t)-sintcostC2 (t)士 sint 0 一解得C,1(t)=costsint,C2(t) =1积分，得Ci (t) =1nsint,C2=t通

19、解为11 解：M=maxf(x, y)=4 h =min(a,、1 -，） =-故解的存在区间为42) qo(x)=0q1 (x)=0x(g2-0)dgg .x x 1| 二一 一333q2(x)=0+ xg2.gx x二一一3 912求方程的通解：9 x18 一231gg2g1xg dg =g99363369x6011十42dy1)最yx y2.、/ dy x y2解：变形二dx y1x + y （1），将y看作自变量，x为未知函数 y2)dx解齐线性方程 dy1一x ,通解为x = cy y令 x = c (y)y , dx d (c( y)y) dc( y).微分得，= w =一 dyd

20、ydyy c(y)x由（2）知一+ yydc(y)dydxy tan xdc(y)y c(y).c(y)y y dyy=1，积分得“丫）=丫+故* = （丫+） y （是任意常数）解：令 =u则y = ux, xdy du于是口 = x udx dxdu则原万程变为 x u - u tanudxr du tanudx x. dx将上式分离变量有 cotudu =x积分得Insinu =1nx +c, c为任悬吊数。c整理 sinu = e *x令 e = c # 0得 sin u = cx(c # 0)方程还有解tanu=0即sinu=0,故通解为 sinu = cx (c为任意常数)2、3)

21、 (y -3x )dx (4y x)dy =0(三种万法)解：法一，这里 M=y-3x 2 , N= - (4y-x )= 4-4y叫 =1,里 =1,因此此方程是恰当方程.:y ；xu2 ,；:u .现求 u 使=y-3x 11) , =x-4y (2)；:x.:y对(1)中 x 积分得 u = yx x3 +Wy) (3)u d (y) /对(3)中y求导 =x + = Yy二 ydy积分得 Wy) = -2y2,代入(3)得 u = yx -x3 -2y232故通解为yx -x -2y =c, c为任意常数法二，重新组合得232ydx3x dx4ydy+xdy = 0 ,即 ydxdx

22、-2dy +xdy = 0.3-2.于是通解为xy -x -2y =c其中c是任意常数。解：令p对x求导得22 4y =0/dy、44)(dx)dy 425214=则 p -5p +4y=0,y = _p - pdx445 dp 3 dp 53. dp 53、=-p p (- p - p ),( p - p )dp - pdx = 02 dx dx 2 dx 2，5积分得（一 p45 2 p4 p - - cp4451 3)- px = c, x = p p4p44于是方程通解为5 21y=4P ZP(P=0)13方程y+4 y =3sin 2x的通解解：齐次方程是yMy =0,片+4=0,%

23、,2 =2i由于2i是特征方程单根故所求特解应具形式y1 = x(Acos2x , bsin 2x)3 - -代入原方程 - 4A=3, B=0=, A=- - ,B=0 43故通解为y = xcos2x +g cos2t +c2 sin2t,其中cc2为任总吊数 41 2d x 4dx / x14 - 4x = costdt dt2解：特征方程 4 4九+4 = 0有重根 入1 = 2.2 22t,因此对应齐线性方程的通解为x = (Ci+C2t)e ,其中ci,c2为任意常数。因为i不是特征根，现求形如 = Acost + Bsint的特征解,代入原方程化简(3A - 4B)cost (4

24、A 3B)sint = cost3A -4B 于是4A 3B二1故二03 A =25B =252t故通解为x = (c1c2t)e34.一十cost sin t其中ci,c2为任悬吊数252515求下列常系数线性微分方程对应的齐次方程为 y-2y 10y2=0特征方程为 人2人+10 = 0特征根为 九a=13a不是特征根,1 .1故原方程有形如 y*=(ax+b) e的特解代入原万程得 a = ，b =1050.x11 2x故原万程通解为 y = e (g cost + C2 sin3t) + ( x -)e , ( Ci,C2为任意常数)105016解：因为2 o_- -122 o_-A+

25、-010而且后面的两个矩阵是可交换的得至|J exp At =exp0 22 o-o o-pAL2e o-E+1 oo o-o o o o.-21J1 oo o,但+21 一 2211 oo o-所以，级数只有两项。因此，基解矩阵就是17解：特征方程为因此，九=3是A的二重特征值.为了寻求对应于 3 = 3的特征向量，考虑方程组 因此，向量是对应于特征值 九=3的特征向量，其中a #0是任意常数.3 九 5218解A特征方程为det(A KE)=九26九+36=0-53九特征根为% 2 =35i对应于1=3+5i的特征向量a # 0为任意常数-5i 5(A - E)u = |=0 解得 u =

26、 a-5凡对应于九2 =3 5i特征向量v足 满-J u u_(A - 2E)v=0解得vp为任意常数3九3 2_detG-E - A)=(九-1)(Z -4) =0-1 九2八匕19 解：A =0,使得不等式 f (x.y1) f (x.y2) E L % y2对于所有(x, y1), (x, y2) w R都成立，L称为Lipschitz常数.6定义在区间a t b上的函数x1(t), x2(t),xk(t),如果存在不全为零的常数ci , c2 ,. ck使得恒等式GX(t)+c2x2(t) +ckxk(t) = 0对于所有tw fa,b】都成立，称这些函数是线 性相关的.五 1 在方程

27、 y” + p(x)y+q(x)y =0 中，已知 p (x),q (x)在(8,+)上连续,求证:该方程的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切.证明：方程y+p(x) y+q(x) y =0 ,设y = 4(x)是它的任一非零解。若p (x),q (x)在(一00,十无)上连续，假设 y =e(x)在xoy平面上与轴相切。则y = (x) =0,y = 0与方程有非零解y =(x)矛盾。故y =4(x)与x轴不相切d nx _ . . d n,x 一 一 一 2 由已知得 一n+G(t)n-p 十Gn(t)x1 = f1(t) dtn出把Xi(t)+X2(t)代入方程+G1(t)T+-Gn

28、X(t) = f1(t)+ f2(t)由左端得 dtdtdn(x(t) x(t)dtn,n1,G1J ()Gn(t)(X1(t)X2(t) =dnx(t)dnx(t)dtndtndnx(t) dn,x(t)G1/Gn/GnX1Gnx2证明 设y = y(x)是方程任一解，满足 y (x 0) = y 0 ,该解的表达式为 取极限4证明 设yi(x),y2(x)是方程的基本解组，则对彳壬意X W (笛,十安)，它们朗斯基行列式在 (比,收)上有定义，且W(X)=0 .又由刘维尔公式由于 W(X0)= 0, p(x) = 0，于是对一切 x (-二，二),有W(x) A0或W (x) 0 故W( x)是(*, +道)上的严格单调函数5答案略6证明：已知函数组的 wronshi行列式为1 2 X . 一eW(x)=n -1x1 e-1en e2X .e, nxn -1, n XXn e(12. n X )=e111n 411上述最后的行列式为范德蒙受行列式它等于n (九i 一 %)由题设知丰7-j(i丰j)由此行列式不为零.从而W(x)