2017-2018学年七年级上数学期末试题(北京市海淀区含答案解析)

1、2017-2018学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷、选择题（每小题3分，共30分）第110题均有四个选项，符合题意的选项只有 一个.1. - 5的相反数是（）A. vB. -VC. 5D. - 5552. 10月18日上午9时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，网站PC端成为报道大会的主阵地.据统计，关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据174000条，其中174000用科学记数法表示为（A. 17.4X 105B. 1.74X105C. 17.4X104D. 1.74X106273,下列各式中，不相等的是()A. (3) 2 和32B. ( 3)2 和 32C. (2) 3

2、 和23D. |-23 和 |-23|4 .下列是一元一次方程的是()A. x22x3 = 0 B. 2x+y= 5 C,告二=1 D. x+1 = 0 £ x5 .如图，下列结论正确的是()ri6A. c>a>b B.C. |a|<|b|D. abc>0D C6.下列等式变形正确的是()A,若-3x=5,则 x=-1B.若看片L1,则 2x+3 (x-1) =1J 士C.若 5x6 = 2x+8,贝U 5x+2x=8+6D.若 3 (x+1) 2x=1,贝U 3x+32x=17.下列结论正确的是（A. - 3ab2和b2a是同类项C. a比一a大n 、.B.

3、可不是单项式D. 2是方程2x+1 = 4的解8 .将一副三角板按如图所示位置摆放，其中/a与/ B一定互余的是（A.B.C.D.AB = 3, BC = 2, AC=1,则下列判断正卜面的图形分别是从正面和上面看它得到9 .已知点A, B, C在同一条直线上，若线段确的是（）A .点A在线段BC上B .点B在线段AC上C .点C在线段AB上D .点A在线段CB的延长线上10 .由m个相同的正方体组成一个立体图形， 的平面图形，则m能取到的最大值是（从正面看从上面看A. 6B. 5C. 4D. 3二、填空题（每小题2分，共16分）11 .计算：48° 37'+53°

4、 35' =.12 .小何买了 4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为 a元，圆珠笔的单价为b 元则小何共花费 元.（用含a, b的代数式表示）13 .已知 |a-2|+ （b+3） 2=0,贝U ba 的值等于.14 .北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A, B, C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西770方向，北京南站在天安门的南偏西18。方向.则15.若2是关于x的一元一次方程2 (x-1) =ax的解，则a=17 .线段AB=6,点C在直线AB上，BC = 4,则AC的长度为.18 .在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了 “正

5、方形雪花图案的形成”的演示案例：作 一个正方形，设每边长为4a,将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a的小正方 形，得到图形如图(2)所示，称为第一次变化，再对图(2)的每个边做相同的变化， 得到图形如图(3),称为第二次变化.如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的 雪花图案.如不断发展下去到第 n次变化时，图形的面积是否会变化， (填 写“会”或者“不会”)，图形的周长为 .三、解答题(本题共54分，第19, 20题每题6分，第21题4分，第2225题每题6分，第26, 27题每题7分)19 .计算：(1)(-2)X ( - 8) + ( - 6) 2;(2) -14+ (-2) +(4)

6、一|旬.020.解方程：(1) 3 (2x 1) =15;(2) 21.已知 3a-7b=-3,求代数式 2 (2a+b-1) +5 (a-4b) -3b 的值.22.作图题:如图，已知点A,点B,直线l及l上一点M .(1)连接MA,并在直线l上作出一点N,使得点N在点M的左边，且满足MN = MA；(2)请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出 画图的依据. V B(1)23 .几何计算：如图，已知/ AOB = 40,/BOC = 3/AOB, OD 平分/AOC,求/ COD 的度数.解：因为/ BOC=3/ AOB, /AOB=40°所以/ B

7、OC =所以/ AOC =因为OD平分/ AOC所以/ COD = ：24 .如图1,线段AB=10,点C, E, F在线段AB上.(1)如图2,当点E,点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长；(2)当点E,点F是线段AB和线段BC的中点时，请你写出线段 EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由.4AECF S图1 AEC F B圉2；C、备用图25 .先阅读，然后答题. 阿基米德测皇冠的故事叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠.王冠做成后，国王拿在手里觉 得有点轻.他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果 与原来的金块一样重.国王还是有些怀疑，

8、可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来， 要他来解决这个难题.回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解.一 大，他的夫人逼他洗澡.当他跳入池中时，水从池中溢了出来.阿基米德听到那哗哗 哗的流水声，灵感一下子冒了出来.他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上， 高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）夫人这回可真着急了，嘴里嘟嚷着“真疯了，真疯了 “，便随后追了出去.街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看.原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法： 相同质量的相同物 质泡在水里，溢出的水的体积应该相同.如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该 与相同质量的金块的体积相同，否则

9、王冠里肯定掺有假.阿基为德跑到王宫后立即找 来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水 比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里， 王冠溢出的水 比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假.在铁的事实面前， 金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银.烦人的王冠之谜终于解开了.小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：小明准备了一个长方体的无盖容器和 A, B两种型号的钢球若干.先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm,水足以淹没所有的钢球.探究一：小明做了两次实验，先放入 3个A型号钢球，水面的高度涨到36

10、mm；把3个 A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36mm.由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 ;探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入 A型号与B型号钢球共10个后，水 面高度涨到57mm,问放入水中的A型号与B型号钢球各几个？26 .对于任意四个有理数a, b, c, d,可以组成两个有理数对(a, b)与(c, d) .我 们规定：(a, b) ( c, d) =bc- ad.例如：(1, 2) (3, 4) =2X31X4 = 2.根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对(2, - 3) (3, -2) =;(2)若有理数对(-3, 2x-1) (1,

11、x+1) =7,则 x=;(3)当满足等式(-3, 2x-1) (k, x+k) =5+2k的x是整数时，求整数k的值.27 .如图1,在数轴上A, B两点对应的数分别是6, -6, /DCE=90。(C与O重合, D点在数轴的正半轴上)E 7F8/口月-6 -5 -4 -3 -2 -1 OrOl 2 3 4 5 6图1-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1C 2 3 4 5 6(1)如图 1,若 CF 平分/ACE,则/AOF =;(2)如图2,将/DCE沿数轴的正半轴向右平移t (0<t<3)个单位后，再绕点顶点C 逆时针旋转3a度，作CF平分/ ACE,此时记/ DCF=

12、 a.当t=1时,a=猜想/BCE和a的数量关系，并证明；(3)如图3,开始/ DiCiEi与/ DCE重合，将/ DCE沿数轴的正半轴向右平移t (0<t<3)个单位，再绕点顶点 C逆时针旋转30t度，作CF平分/ ACE,此时记/ DCF =a,与此同时，将/ DiCiEi沿数轴的负半轴向左平移t (0<t<3)个单位，再绕点 顶点Ci顺时针旋转30t度，作CiFi平分/ ACiEi,记/DiCiFi= &若a与B满足|a -d=20。，请直接写出t的值为.2017-2018学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共

13、30分）第110题均有四个选项，符合题意的选项只有 一个.1. - 5的相反数是（）A. -B. -C. 5D. - 555【分析】依据相反数的定义求解即可.【解答】解：-5的相反数是5.故选：C.【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.2. 10月18日上午9时，中国共产党第十九次全国代表大会在京开幕，网站 PC端成为 报道大会的主阵地.据统计，关键词“十九大”在 1.3万个网站中产生数据174000 条，其中174000用科学记数法表示为（）A. 17.4X 105B. 1.74X 105C. 17.4X104D. 1.74X106【分析】科学记数法的表示形式为

14、aX10n的形式，其中10|a|<10, n为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位 数相同.当原数绝对值> 1时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.【解答】解：174000用科学记数法表示为1.74X 105,故选：B.【点评】此题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为ax 10n的形式，其 中1w|a|<10, n为整数，表示时关键要正确确定 a的值以及n的值.3.下列各式中，不相等的是（）A. （ 3）2 和32B. （ 3）2 和 32C. （2） 3 和23D. |-23和 |-23|【分

15、析】根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幕的知识点进行解答，即可判断.【解答】解：A、 （3） 2=9, 32= 9,故（3） 2w 32;B、 （3） 2=9, 32 = 9,故（3） 2=32;C、 （ - 2） 3= - 8, - 23= - 8,则（-2） 3= - 23；D、| 2|3=23=8, |一23|=| 8|=8,贝U| 2|3= |23|.故选：A.【点评】此题确定底数是关键，要特别注意-32和（-3） 2的区别.4.下列是一元一次方程的是（）A x22x3 = 0 B. 2x+y= 5C. 4+=1 D. x+1 = 02 x【分析】根据只含有一个未知数（元），且未知数

16、的次数是 1,这样的方程叫一元一次 方程可得答案.【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误；B、不是一元一次方程，故此选项错误；C、不是一元一次方程，故此选项错误；D、是一元一次方程，故此选项正确；故选：D.【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数， 一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.5 .如图，下列结论正确的是（）-ri6；强 >A. c>a>bB.C. |a|<|b|D. abc>0b c【分析】A、根据数轴上的数右边的总比左边的大，可得结论；B、根据0<b<1<c,可得结论；C、根据数轴

17、上数a表示的点离原点比较远，可得|a|>|b|;D、根据a<0, b>0, c>0,可得结论.【解答】解：A、由数轴得：a<b<c,故选项A不正确；B、,/ 0< b< 1<c,1 1n，故选项B正确；C、由数轴得：|a|>|b|,故选项C不正确；D、; a<0, b>0, c>0,abc< 0,故选项D不正确;故选：B.【点评】本题考查了数轴的意义、绝对值的定义及有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的 有关性质是关键.6 .下列等式变形正确的是(3A若3X=5,则 X=YB若=1,贝U 2x+3 (x 1)二1C.

18、若 5x6 = 2x+8,贝U 5x+2x=8+6D.若 3 (x+1) - 2x=1,则 3x+3-2x=1【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式， 所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)， 所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决.【解答】解：A、若-3x=5,则x=-得，错误；B、若看吟二1, M 2x+3 (x-1) =6,错误；C、若 5x-6=2x+8,贝5x- 2x=8+6, 错误；D、若 3 (x+1) - 2x=1,则 3x+3-2x=1,正确；故选：D.【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是

19、熟练掌握等式的性质定理.7 .下列结论正确的是()A. - 3ab2和b2a是同类项B. ?不是单项式C. a比a大D. 2是方程2x+1 = 4的解【分析】根据同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解逐个判断即可.【解答】解：A、- 3ab2和b2a是同类项，故本选项符合题意；冗 8 、.是单项式，故本选项不付合题息；C、当a = 0时，a=-a,故本选项不符合题意；D、1.5是方程2x+1 = 4的解，2不是方程的解，故本选项不符合题意;故选：A.【点评】本题考查了同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解，能熟记 知识点的内容是解此题的关键.8 .将一副三角板按如图所示

20、位置摆放，其中/ a与/ B一定互余的是（）D.A.【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可.【解答】解：A、/ a与/ B不互余，故本选项错误；B、/ a与/ B不互余，故本选项错误；C、/ a与/ B互余，故本选项正确；D、/ a与/ B不互余，/ a和/ B互补，故本选项错误；故选：C.【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力.9 .已知点A, B, C在同一条直线上，若线段 AB = 3, BC = 2, AC=1,则下列判断正 确的是（）A .点A在线段BC上B .点B在线段AC上C .点C在线段AB上D .点A在线段CB的延长线上【分析】依据点A

21、, B, C在同一条直线上，线段AB = 3, BC = 2, AC=1,即可得到点 C在线段AB上.【解答】解：如图，;点A, B, C在同一条直线上，线段 AB=3, BC=2, AC= 1,点A在线段BC的延长线上，故A错误；点B在线段AC延长线上，故B错误；点C在线段AB上，故C正确；点A在线段CB的反向延长线上，故D错误;故选：C.【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是判段点C的位置在线段AB上.10.由m个相同的正方体组成一个立体图形， 下面的图形分别是从正面和上面看它得到 的平面图形，则m能取到的最大值是（）从正面看从上面看A. 6B. 5C. 4D. 3【分析】从

22、俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层 小正方体的层数和个数，从而算出总的个数.【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高 两层；由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能 是一行单层一行两层，出可能两行都是两层.所以图中的小正方体最少4块，最多5块.故选：B.【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想 象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章” 就更容易得到答案.二、填空题（每小题2分，共16分）11 .计算：48° 37

23、'+53° 35'= 102° 12'.【分析】1度=60分，即1。=60' , 1分=60秒，即1' =60，依据度分秒的换算 即可得到结果.【解答】 解：480 37'+53° 35'= 101° 72'= 102° 12',故答案为：102° 12'.【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进 位的方法.12 .小何买了 4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为 a元，圆珠笔的单价为b 元则小何共花费(4a+10b

24、) 元.(用含a, b的代数式表示)【分析】根据单价x数量=总费用进行解答.【解答】解：依题意得：4a+10b；故答案是：(4a+10b).【点评】本题考查列代数式.解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系.13 .已知 |a-2|+ (b+3) 2=0,贝U ba 的值等于 9 .【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为 0,这两个非负数的值都为 0”解出a、b的值，再代入原式中即可.【解答】解：依题意得：a-2=0, b+3 = 0,a= 2, b= - 3.ba= ( - 3) 2=9.【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：(1)绝对值；(2)

25、偶次方；(3)二次根式(算术平方根).当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于 0.根据这个结论可以求解这类题 目.14 .北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A, B, C分别表示天安门、北京西站、北京南站， 经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向.则/BAC= 59 0 . «C【分析】根据题意可得/ CAS= 18° , /BAS= 77。，然后利用角的和差关系可得答案.【解答】解：/BAC=77° 18° =59° ,C【点评】此题主要考查了方向角，方向角是

26、从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.15 .若2是关于x的一元一次方程2 (x-1) =ax的解，则a= 1 .【分析】根据一元一次方程的解的定义列出方程，解方程即可.【解答】解：:2是关于x的一元一次方程2 (x-1) = ax的解，. 2a=2,解得，a=1,故答案为：1.【点评】本题考查的是方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫 做一元一次方程的解.【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值.【解答】解：根据题中的新定义得：原式=(1-2-3) +(4-6-7+5) = -4-4=-8, 故答案为：-8【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握

27、运算法则是解本题的关键.17 .线段AB=6,点C在直线AB上，BC = 4,则AC的长度为 2或10 .【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得 答案.【解答】解：当C在线段AB上时，AC=1B-BC=6-4=2;当C在线段AB的延长线上时，AC = AB+BC= 10.综上所述：AC的长度为2或10.故选：2或10.【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗 漏.18 .在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了 “正方形雪花图案的形成”的演示案例：作 一个正方形，设每边长为4a,将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为 a的小正

28、方 形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化， 得到图形如图（3）,称为第二次变化.如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的 雪花图案.如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积是否会变化，不会 （填写“会”或者“不会”），图形的周长为2n+4a .【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方 形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变.【解答】解：周长依次为16a, 32a, 64a, 128a,2n+4a,即无限增加，所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4a；图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的

29、小正方形，即面积不变，是一个定值16a2.故答案为：不会、2n+4a.【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一 个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度.三、解答题（本题共54分，第19, 20题每题6分，第21题4分，第2225题每题6 分，第26, 27题每题7分）19 .计算：(1) （ - 77） X （ - 8） + （ - 6） 2;(2) - 14+ (-2) +(4a|9|.3【分析】(1)根据有理数的乘法和加法可以解答本题；(2)根据幕的乘方、有理数的除法和减法可以解答本题.【解答】解：(1) ( 一) X( 8) +

30、( - 6) 2= 4+36=40;(3) T4+ (-2) ”号|旬3=-1+2X3-9=-1+6-9=4.【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方 法.20 .解方程：(1) 3 (2x- 1) =15；x-7 1+x(2)【分析】(1)根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1即 可；(2)这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1,从而得到方程的解.【解答】解：(1)去括号得，6x- 3=15,移项得，6x = 15+3,合并同类项得，6x=18,系数化为1得，x=3;(2)去分母得，2 (x

31、-7) -3 (1+x) =6,去括号得，2x - 14 - 3 - 3x= 6,移项得，2x-3x= 6+14+3,合并同类项得，-x= 23, 系数化为1得，x= - 23.【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最 小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子(如果是一个多项式)作为一个 整体加上括号.21 .已知 3a-7b=-3,求代数式 2 (2a+b-1) +5 (a-4b) -3b 的值.【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.【解答】解：当3a7b= -3时，原式=4a+2b- 2+5a - 20b - 3b= 9a-21b-2=3 (3a

32、-7b) - 2=-9- 2=-11【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于 基础题型.22 .作图题：如图，已知点A,点B,直线l及l上一点M .(1)连接MA,并在直线l上作出一点N,使得点N在点M的左边，且满足MN = MA； (2)请在直线l上确定一点O,使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出 画图的依据. 【分析】(1)连接AM,以M为圆心，MA为半径画弧交直线l于N,点N即为所求;(2)连接AB交直线l于点。，点O即为所求；【解答】解：(1)作图如图1所示：(2)作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短.Q)【点评】本题考查作图-复杂

33、作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.23.几何计算:如图，已知 / AOB = 40。，/BOC = 3/AOB, OD 平分/AOC,求 / COD 的度数.解：因为/ BOC=3/ AOB, /AOB=40°所以/ BOC= 120所以/ AOC= /AOB + / BOC = 40+ 120 ° =160因为OD平分/ AOC/AOC = 80所以/ COD = ±【分析】先求出/ BOC的度数，再求出/ AOC的度数，根据角平分线定义求出即可.【解答】 解：BOC=3/AOB, /AOB=40° , ./

34、BOC=120° , ./AOC=/AOB+/BOC=40° +120°=160° ,. OD 平分/ AOC, ./ COD = £/AOC=.M16O” 乙U= 80°故答案为：120, /AOB, / BOC, 40,120, 160, / AOC, 80.【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算， 能求出/ AOC的度数和得出/ CODAOC是解此题的关键.24.如图1,线段AB=10,点C, E, F在线段AB上.(1)如图2,当点E,点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长;(2)当点E,点F是线段AB和线段B

35、C的中点时，请你写出线段 EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由.«4«AECF S图1AEC F B丈；C、备用图【分析】(1)根据线段的中点得出AE=CE=AC, CF=FB = CB,求出EF=2AB, 昌昌乙代入求出即可；(2)根据线段的中点得出 AE=CEAC, CF=FBCB,即可求出EF=2AC.【解答】解：(1)二.当点E、点F是线段AC和线段BC的中点， . AE=CE = XAC, CF = FBCB, 22AB=10, . EF = CE+CF = LaC+4CB =(AC+CB) =AB=L><10= 5; 22222(2) 如图：

36、EF - -AC, *Ec7理由是：当点E、点F是线段AB和线段BC的中点， . AE=EB = AB, CF = FB = CB, .EF=EBFB = 5AB 28(ABCB) =5AC.111【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出AE= eb=/ab和CF=FB=2CB是解此题的关键.25 .先阅读，然后答题.阿基米德测皇冠的故事叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠.王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻.他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重.国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来,

37、要他来解决这个难题.回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解.一 大，他的夫人逼他洗澡.当他跳入池中时，水从池中溢了出来.阿基米德听到那哗哗 哗的流水声，灵感一下子冒了出来.他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）夫人这回可真着急了，嘴里嘟嚷着 “真疯了，真疯了 “，便随后追了出去.街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看.原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法： 相同质量的相同物 质泡在水里，溢出的水的体积应该相同.如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该 与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假.阿基为德跑到王宫后立即

38、找 来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水 比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里， 王冠溢出的水 比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假.在铁的事实面前， 金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银.烦人的王冠之谜终于解开了.小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：小明准备了一个长方体的无盖容器和 A, B两种型号的钢球若干.先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm,水足以淹没所有的钢球.探究一：小明做了两次实验，先放入 3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个 A型号钢球捞出，再放入2个

39、B型号钢球，水面的高度恰好也涨到 36mm.由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 2： 3 ；探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入 A型号与B型号钢球共10个后，水 面高度涨到57mm,问放入水中的A型号与B型号钢球各几个？【分析】探究一：依据3个A型号钢球与2个B型号钢球的体积相等，即可得到 A型 号与B型号钢球的体积比为2： 3；探究二：设放入水中的 A型号钢球为x个，则B型号钢球为（10- x）个，则由放入A 型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm,可得方程，进而得出结论.【解答】解：探究一：由题可得,3个A型号钢球与2个B型号钢球的体积相等, . A型号与B型号钢球的

40、体积比为2: 3;故答案为：2: 3;探究二：每个A型号钢球使得水面上升 工(36 - 30) =2 mm, ij每个B型号钢球使得水面上升(36-30) =3mm,设放入水中的A型号钢球为x个，则B型号钢球为(10-x)个，则由题意列方程：2x+3 (10-x) =57- 30,解得：x = 3,所以 10-x= 7,答：放入水中的A型号钢球3个，B型号钢球7个.【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是依据等量关系列方程求解.26 .对于任意四个有理数a, b, c, d,可以组成两个有理数对(a, b)与(c, d) .我 们规定：(a, b) ( c, d) = bc-

41、 ad.例如：(1, 2) (3, 4) =2X31X4 = 2.根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对(2, - 3) (3, -2) =- 5 ;(2)若有理数对(-3, 2x-1) ( 1, x+1) =7,则 x= 1 ;(3)当满足等式(-3, 2x-1) (k, x+k) =5+2k的x是整数时，求整数k的值.【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；(2)原式利用题中的新定义计算即可求出 x的值；(3)原式利用题中的新定义计算，求出整数 k的值即可.【解答】解：(1)根据题意得：原式=-9+4= - 5；故答案为：-5；(2)根据题意化简得：2x - 1+3x+3 = 7,移项合并得：5x= 5,解得：x = 1;故答案为：1;(3)二等式(-3, 2x- 1) (k, x+k) =5+2k的 x是整数,(2x- 1) k- (- 3) (x+k) =5+2k,(2k+3) x= 5,x 5 x2k+3: k是整数， .2k+3=± 1 或 ±5,k= 1, - 1, 2, 4.【点评】此题考查了解次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数.27.如图1,在数轴上A, B两点对应的数分别是6, -6, /DCE=90。