人教版八年级数学上拔高特色讲义

1、三角形全等之倍长中线（讲义）一、知识点睛1 .辅助线的定义：为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段 称为辅助线.辅助线通常画成虚线.2 .辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之 间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况.3.辅助线的作用： 把分散的条件转为集中；把复杂的图形转为基本图形. 4.添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试.5 . “三角形全等”辅助线： 见中线要2 之后6 .倍长中线的作法： AAbZAc BDCBDC延长AD至U E,使DE=AD延长MD至U E,使DE=MD,连接BE连接CE二、精讲精练 1.如图，AD为4ABC的中线.

2、 求证：AB+AC2AD.2.如图，在 ABC中，AD平分/ BAC 且BD=CD. 求证：AB=AC.AbFD1_E-C延长FE交BC的延长线于点GBBDCABCD3 .如图，CB是4AEC的中线，CD是 ABC的中线，且 AC=AB. 求证：CE=2CD;CB平分/ DCE4 .如图，在4ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE=AC, BE的延长 线交AC于点F.求证：/AEF/EAF5.如图，在 ABC中，AD交BC于点D,点 的延长线于点 F,交AB于点G, BG=CF. 求证：AD为 ABC的角平分线.E是BC中点，EF/ AD交CA6 .如图，在正方形ABCD中，E为AB

3、边的中点，G, F分别为AD, BC边上的点,GE! EF.求证：GF=AG+BF.7 .如图，在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E, 4FEB为等腰直角三角 形，/ FEB=90,连接FD,取FD的中点G,连接EG, CG求证：EG=CG且 EG CG三、回顾与思考【参考答案】【知识点睛】 见中线要倍长，倍长之后证全等.【精讲精练】1 .证明略（提示：延长 AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明 BE* CAD）2 .证明略（提示：延长 AD到点E,使DE=AD,连接BE,证明 BE* CAD）3 .证明略（提示：延长 CD到点F,使DF=CD,连接BF,证明 BD陷AADC, CB

4、陷 ACBFF4 .证明略（提示：延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,证明ADgAMDB）5 .证明略（提示：延长 EF到点M,使EM=EF,连接BM,证明 CF草 BME）6 .证明略（提示：延长 GE交CB延长线于点M,证明 AE& ABEM）7 .证明略（提示：延长 EG交CD延长线于点M,证明 FG草ADGM,再证明三角形EGC是等腰直角三角形） 三角形全等之倍长中线每日一题E是CD的中点.1 .已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AD+BC, 求证：AEXBE.2 .已知：如图，在 ABC中，D为BC边中点，/BDA=/BAD, E为BD中点, 连接AE.求证：

5、/ C=/BAE.EDC3 .已知：如图， ABC与4BDE均为等腰直角三角形，BAAC, EDXBD,垂 足分别为点A,点D,连接EC, F为EC中点，连接AF, DF ,猜测AF, DF 的数量关系和位置关系，并说明理由.4 .已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C （不与点A, B, D 重合），分别以AC, BC为斜边在AB同侧作等腰RQACE与等腰RtABCF, / AEC=/CFB=90 ,连接 DE, DF , EF.求证： DEF为等腰直角三角形.5 .已知：如图，在四边形 ABCD中，AB/DC, E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交

6、于点F.试探究线段AB与AF, CF之间的数 量关系，并说明理由.A2.证明：延长AE到F,使得EF=AE,连接DF.【参考答案】1 .证明：延长AE交BC的延长线于点F. AD / BC. ./D=/DCF, /DAE=/F. E是CD的中点 .DE=CE在4ADE和4FCE中2 D = / FCEIDAE =DE =CE.ADEAFCE (AAS) .AD=FC, AE=FE ,.AB=AD+BC .AB=CF+BC=BF在AABE和AFBE中AB = FBBE =BE AE = FE.ABEAFBE (SSS) ./ABE=/FBE=90即 AEXBE.E为BD中点 .BE=ED在4AB

7、E和4FDE中BE = DEBEA = / DEF、AE = FE.ABEAFDE (SAS) .AB=FD, /BAF=/F, /B=/FDE ZBDA=ZBADBD=AB.D为BC边中点 .CD=BD=AB=FDZBDA=ZBAD ./ADF = /BDA+/FDE, /ADC=/B+ /BAD 即 / ADF = /ADC在AFAD和ACAD中FD =CD上 FDA = / CDA、AD = AD.FADACAD (SAS). ./F=/C. ./C=/BAE3.解：AFXDF, AF=DF,理由如下:延长DF交AC于点P.,. BAXAC, EDXBD ./BAC=/EDA=90 .D

8、E / AC ./DEC=/ECA.F为EC中点 .EF=FC在AEDF和ACPF中DEF =CF EFD =Z CFP EF =CF.EDFACPF (AAS) .DE=CP, DF=PFv ABC与八BDE均为等腰直角三角形 .AB=AC, DE=BD.AB-BD=AB-DE=AC -CP 即 AD=AP在ADAF和APAF中DF = PF AF = AF、AD =AP.DAFAPAF (SSS) ./DFA = /PFA=90 , /DAF = /PAF=45.AFXDF, AF=DF4.证明：延长ED到点G,使得DG=DE,连接BG, FG.D为线段AB的中点 .AD=BD在4EDA和

9、4GDB中ED =GDEDA =/ GDBDA =DB.EDAAGDB (SAS) .EA=GB, /A=/GBDv ACE与八BCF是等腰直角三角形 .AE=CE=BG, CF=FB, Z A=ZECA=Z FCB=ZFBC=45 ./ECF=90 , / FBG=/FBD + /GBD=90在AECF和AGBF中EC =BG! 上 ECF =/ GBFPF =BF.ECFAGBF (SAS) .EF=GF, /EFC=/GFBvZ CFB=/ CFG+ZGFB=90丁. / EFG = / EFC+ZCFG=90在AEFD和AGFD中，EF =GFFD = FDED =GD.EFDAGFD

10、 (SSS) ./EDF = /GDF=90 , Z EFD = ZGFD=45 .ED=DF.DEF为等腰直角三角形5.解：AB=AF+CF,理由如下：延长AE交DF的延长线于点G.E为BC边的中点 .BE=CE. AB/ DC. ./B=/BCG, /BAG=/GftAABEffiAGCE 中V B=/GCEI /BAE =Z G、BE =CE.ABEAGCE (AAS) .AB=GC ./BAE=/EAF. ./G=/EAF .AF=GF. GC= GF+FC .AB=AF+CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1 .在 ABC中，AC=5,中线AD=4，则边AB的取值范围是2 .已知：如

11、图，在 ABC中，AB%C, D, E在BC上，且 DE=EC 过D作DF/BA交 AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分/ BAC【参考答案】1 . 3ABAC, E为BC边的中点，AD为/BAC的平分线，过E 作AD的平行线，交 AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG.7.如图，在正方形 的中点G,连接ABCD的边AB上任取一点E,彳EF AB交BD于点F,取FD EG CG求证：EG=CGH EG CG.8 .已知：如图，/ ACB=90, AC=BC, D为 AB上一点，连接 CD, AECD于 E,BF CD交CD的延长线于F.求证： BCFi ACAE9 .多项式9x2

12、+1加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可 以加上的单项式共有 个，分别是【参考答案】1 . 1ADAC, /1 = /2, P为AD上任意一点.求证: AB-ACPB-PC.3.已知：如图，/1 = /2, P 为 BN 上一点，且 PDLBC 于点 D, /A+/C=180.求证：BD=AB+CD.4.ADCE在正方形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在DC延长线上，/ EAF=45. 求证：DF=EF+BE.5.如图，在正方形 ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分/DAE.求证:AE=BE+DF.【参考答案】1 .证明：如图，在线段 DC上截取DE,使DE=BD,

13、连接AE. ,.ADXBC ./ADB=/ADE=90ftAABDffiAAED 中AD = ADI2ADB =/ADE、DB =DE.ABDAAED (SAS). B=/1, AB=AE / B=2/C / 1=2/C / 1 MAAEC的一个外角 ./ 1 = /C+/2 C=/2 .AE=CE.CD=CE+ED .CD=AE+BD .CD=AB+BD2.（如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明） 证明：如图，在线段 AB上截取AE=AC,连接PE.贝U AB-AC=AB-AE=EBftAAEPffiAACP 中AE = AC，4 =22AP = AP .AEP0 ACP

14、(SAS) .PE=PC在APEB 中，PB-PEEB .PB-PCPB-PC(延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论)3 .证明：如图，在 BC上截取BE=BA,连接PE.ftAABPffiAEBP 中BA = BE I 上1 2BP = BP .ABP0 EBP (SAS) A=/3./A+/C=180 , / 3+/4=180 ./4=/C PDXBC ./ PDE=/PDC=90ftAPDEffiAPDC 中4CI PDE = PDCPD = PD.-.PDEAPDC (AAS) .DE=DC .BD=BE+ED；BD=AB+CD (过点P作PF，BA于F,也可进行证明)

15、4 .证明：如图，在 DF上截取DG=BE,连接AG.二.四边形ABCD为正方形 / D= / BAD= / ABC=90, AB=AD ./ABE=/D=90ftAABEffiAADG 中AB = AD2ABE =DBE = DG .ABE0 ADG (SAS) .AG=AE, /1 = /2EAB34DCGv j EAF=45 ,F. / 2+/3=45/ 1 + /3=45 ./ GAF=45 =/EAF在4EAF和4GAF中AE = AGI：ZEAF =/4 AF =AF.EAFAGAF (SAS) .EF=GF .DF=GF+DG .DF=EF+BE5.证明：如图，延长 EB到点G,

16、使BG=DF,连接AG.二.四边形ABCD为正方形 .AB=AD, / D=/ABC=/BAD=90 ./ABG=/D=90在AABG和AADF中AB = ADI ABG = ADFBG = DF .ABG0AADF (SAS)/ 1 = /2, / 5=/G. AF 平分 / DAE / 1 = /31 + /5=90. / 3+/G=90 / 1 + /3+/4=90 / 2+/3+/4=90 / 2+/4=/G .AE=EG=BE+BG .AE =BE+DF三角形全等之截长补短随堂测试题姓名6.已知：如图，在梯形 ABCD中，AD/BC, / DAB的平分线 AE交CD于E,连接BE,且

17、BE平分/ ABC.求证：AB=AD+BC.【参考答案】证明略提示方法一：在 AB上截取 AF=AD,连接EF,证明 ADEAFE,再证明 BFE BCE;方法二：延长 AE交BC的延长线于点 F,证明ABEFBE,再证明 ADE FCE）三角形全等之截长补短（作业）1 .如图，在 ABC中，/ BAC=60, /ABC=80, AD是/BAC的平分线.求证: AC=AB+BD.AE2 .如图，AC 平分 / BAD, CEL AB, /B+/D=180. 求证：AE=AD+BE3 .如图，在 ABC中，/A=100, /ABC=40, BD是/ABC的平分线，延长 BD 至 E,使 DE=A

18、D.求证：BOAB+CE4 .如图，在等边三角形 ABC中，点E, F分别在AB, AC上，/ EDF=60, DB=DC, .BDC=120.求证：EF=BE+CF.5 .多项式16x2+4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的完全平方式，则可以加上的单项式共有 个，分别是6 .如图，在 ABC中，ADLBC于点 D, BE=ED=DC, /1=/2,则：AD是4ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是 ABE的边上的高；AD既是的边上的中线,又是边上的高，还是 的角平分线.7 .已知：如图，AD/EF, BF/DG, / A=/B= / G=35.求/ EFG的度数.8.计算下列各式：(

19、1) -(3a3b-2ab3)+ab)(q-2b)(a+2b)(2a)2;1 A0 ,J 2 2 1 0 1 _22(一2)5一3 3 )3 【参考答案】1 .证明略提示：方法一：在AC上截取AE=AB,连接DE,证明4AB庐 AAED,再证明CE=BD;方法二:延长 AB至ij E,使BE=BD,证明AADAADC2 .证明略提示：在AE上截取AF=AD,证明 CDAzCFA再证明BE=FE3 .证明略提示：在BC上截取BF=BA,连接DF,证明 AB庐 FBD,再证明 DF8 DEC4 .证明略提示：延长 FC到 G,使 CG=BE,证明 BE* CGD 彳导 ED=GD, / BDE=Z

20、CDG 再证明 EFDAGFL 彳3 EF=GF5 . 5;16x4, 16, -4, 16x2;6 . BC, AABD, BE;AAEC EC, EC / EAC7 .略；一，、_ 2 _ 288 . (1) 2a2+2b2;(2) -119动点问题(讲义)一、知识点睛由点()的运动产生的几何问题称为动点问题.动点问题的解决方法：1 .研究,;2 .分析3 .表达,建等式.二、精讲精练1 .已知：如图，线段AB的长为12cm,动点P从点A出发，沿AB以每秒2cm 的速度运动，动点Q从点B出发，沿BA以每秒1cm的速度运动.P, Q两 点同时出发，当点P到达点B时，点P, Q同时停止运动.设

21、点P运动的时 间为t秒.(1)求出t的取值范围；(2)请用t分别表示P, Q相遇前，相遇后线段PQ的长度；(3)若某时刻线段PQ的长度为9cm,求此时t的值.A PQ B2 .已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4, AD=10,点E为边AD上一点，且AE=7.动 点P从点B出发，沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动，连接AP, DP.设 点P运动时间为t秒.(1)当t=1.5时， ABP与4CDE是否全等，请说明理由；(2)当t为何值时， DC国ACDE3 .已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC, / ABC=90 , AD=12, BC=24,动 点P从点A出发沿AD向点D以每秒1

22、个单位的速度运动，动点Q从点C出 发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动，P, Q同时出发，当点P停止运 动时，点Q也随之停止，连接PQ, DQ.设点P运动时间为x秒，当x为何 值时， PDCACQD.4 .已知：如图，在 ABC中，AB=AC=10cm, BC=8cm,点D为AB的中点.点P 在线段BC上以每秒3cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上 由点C向点A运动.设点P运动时间为t秒，若某一时刻 BPD与4CQP全 等，求此时t的值及点Q的运动速度.5 .已知：如图，正方形 ABCD的边长为10cm,点E在边AB上，且AE=4cm, 如果点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动.设点P运动时间为t秒，若某一时刻 BPE与4CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度.