随机变量及其分布列几类典型的随机分布

1、随机变量及其分布列.几类典型的随机分布1.离散型随机变量及其分布列离散型随机变量如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母X,Y,表示.如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.离散型随机变量的分布列将离散型随机变量X所有可能的取值Xi与该取值对应的概率Pi(i1,2,，n)列2.几类典型的随机分布两点分布其中0p1,q1p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布.二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,

2、随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布.两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布.超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(nwN),这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为mnmP(Xm)CM：NM(0Wmwl,l为n和M中较小的一个).Cn我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N,M,n的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N,M和n,就可以根据公式求出X取不同值时的概率P(Xm),从而列出X的分布列.二项分

3、布1 .独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A,并且事件A发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为用(k)Cnpk(1p)nk(k0,1,2，n).2 .二项分布若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q1p,那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(Xk)C：pkqnk,其中k0,1,2,，n.于是得到X的分布列X01knP八00nCnpq71n1CnpqkknkCnpqznn0Cnpq由于表中的第二行恰好是二项展开式n00n11n1kkn

4、knn0(qp)CnpqCnpqCnpqCnpq各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记作XB(n,p).二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)np,D(x)npq(q1p).正态分布1.概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线.在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X,则这条曲线称为X的概率密度曲线.曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X落在指定的两个数a,b之间的概率就是对应的曲边梯形的面积.定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所

5、引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布.正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)(X)2e22是参数，且服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量.式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差.期望为、标准差为的正态分布通常记作N(,2).正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.标准正态分布：我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分重要结论：正态变量在区间(,),(2,2),(3,3)内，取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.正态变量在(，)内的取值的概率为1,在区间

6、(3,3)之外的取值的概率是0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原则.x右N(,),f(x)为其概率餐'度函数，则称F(x)P(wx)f(t)dt为概率x1f分布函数，特别的，N(0,1),称(x)-eN(N1)dt为标准正态分布函数.2兀xP(x)().标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得.分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可.3.离散型随机变量的期望与方差1 .离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是Xi,x2,，xn,这些值对应的概率是*P2,，Pn,则E(X)XiPiX2P2X

7、nPn,叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.2 .离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是X1,X2,，4,这些值对应的概率是Pi,P2,，Pn,则D(X)(X1E(x)2pl(X2E(x)2P2(XnE(x)2Pn叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度).D(X)的算术平方根jD(x)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量.3 .X为随机变量，a,b为常数，则E(aXb)aE(X)

8、b,D(aXb)a2D(X);4 .典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为P,在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np.二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)np,D(x)npq(q1p).超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,nME(X),D(X)Nn(Nn)(NM)M5 .事件的独立性如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P（B|A）P（B）,这时，我们称两个事件A,B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件A,4,，A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等

9、于每个事件发生的概率的积，即p（AnA2n门入）p（a）p（a2）p（aj,并且上式中任意多个事件a换成其对立事件后等式仍成立.6 .条件概率对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）”来表示.把由事件A与B的交（或积），记做DAQB（或DAB）.典例分析正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）【例1】卜列函数是正态分布密度函数的是（A.f(x)C.f(x)B.D.f(x)f(x)x222%e2兀x21”,2兀【例2】若正态分布密度函数f(x)(x1)2-2（xR）,下列判断正确的是（A.有最大值，也有最小值C.有最大值，但没最大值B.有最

10、大值，但没最小值D.无最大值和最小值【例3】对于标准正态分布N0,1的概率密度函数fxx2"2,下列说法不正确的是（）B.C.D.fx在x0时是单调减函数，在fx关于x1对称x40时是单调增函数【例4】设的概率密度函数为f(x)A.P(1)P(1)C. f(x)的渐近线是x0.(x1)2二e一，则下列结论错误的是(2兀8. P(1<<1)P(1D. 1-N(0,1)1)x22x1【例5】设XN(,2),且总体密度曲线的函数表达式为：f(x)1e2j兀xR.求，；求P(|x1|72)及P(1夜x12衣)的值.【例6】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布

11、，其密度函数为f(x)(x80)21 e-00"10-2则下列命题中不正确的是(A.该市这次考试的数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学标准差为10正态分布的性质及概率计算【例7】设随机变量服从正态分布N(0,1),a0,则下列结论正确的个数是P(|a)P(|a)P(|a)P(|a)2P(a)1P(|a)12P(a)P(|a)1P(|a)【例8】已知随机变量X服从正态分布N(3,a2),则P(X3)A.1B.1C.1D.-5432【例9】在某项测量中，测量结果X服从正态

12、分布N1,20,若X在0,1内取值的概率为0.4,则X在0,2内取值的概率为.【例10】已知随机变量X服从正态分布N(2,2),P(X<4)0.84,则P(X<0)()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84【例11】已知Xr，N(1,2),若P(3WXw-1)0.4,则P(3WXw1)()A.0.4B.0.8C.0.6D.无法计算【例12】设随机变量服从正态分布N(2,9),若P(c2)P(c2),则【例14】正态变量XN(1,2),c为常数，c0,若(用【例13】设N(0,1),且P(|b)a(0a1,b0),则P(>b)的值是P(cX2c)P(2cX3c)0.4

13、,求P(Xw0.5)的值.【例15】某种零件的尺寸服从正态分布N(0,4),则不属于区间(4,4)这个尺寸范围的零件约占总数的.【例16】某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布N(70,102).若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名；若及格(60分及其以上)的学生有101人，求第20名的物理成绩.已知标准正态分布表(0.97)0.833.【例17】在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.试问此次参赛学生总数约为多少人？若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设

14、奖的分数线约为多少分？附：标准正态分布表(1.30)0.9032,(1.31)0.9049,(1.32)0.9066.正态分布的数学期望及方差【例18】如果随机变量N(,2),ED1,求P(11)的值.正态分布的3原则【例19】灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：h）,已知N（1000,302）,要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7%,则灯泡的最低使用寿命应控制在小时以上.【例20】一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少？【例21】某班有48名同学，一次考试后的数学成绩

15、服从正态分布，平均分为80,标准差为10,理论上说在80分到90分的人数是.杂题(拓展相关：概率密度，分布函数及其他)0xW1【例22】已知连续型随机变量的概率密度函数f(x)xa1<x2,0x>2求常数a的值；求P(13).2【例23】已知连续型随机变量的概率密度函数f(x)0x<1ax21wx2,求a的值及0x>2P(1【例24】3x设随机变量X具有概率密度f(x)ke0x>0,求k的值及P(X0.1).x0【例25】美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽100|x|一的距离X的密度函数为f(x)碱联|x|<100,若炸弹落在目标40米以(X)0|x|100内时，将导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，