2022年高考数学考前热身题及答案

1、2022年高考数学考前热身题1 .如图，三棱锥4-8CZ)中，C£>_L平面ABC,AC=CB=CD,N4c8=90°，点E,F分别是AB,4。的中点.(1)求证：ACL平面8CQ；(H)求直线AO与平面CE尸所成角的正弦值.【分析】(I)证明ACJ_C，ACYCB.然后证明AC,平面BCD(H)以点C为坐标原点，分别以直线CB,CD,CA为x,y,z轴建立空间直角坐标系C-xyz.求出平面CEF的法向量，设宜线AO与平面CEF所成角为6.利用空间向量的数量积求解直线4。与平面CE尸所成角的正弦值即可.【解答】(I)证明：因为。C,平面ABC,ACu平面A8C,所以A

2、C_LC£).因为NACB=90°,所以AC_LCB.因为COCCB=C,COu平面BCD,C8u平面BCD,所以AC_L平面BCD(5分)(H)解：因为CD_L平面ABC,所以CBLCD.6分以点C为坐标原点，分别以直线C8,CD,。为x,y,z轴建立空间直角坐标系C-xyz.设AC=BC=2,则DC=4.因为点E,尸分别是AB,AO的中点，所以A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,4,0),E(1,0,1),F(0,2,1).所以4。=(0,4,-2),CE=(1,0,1),CF=(0,2,1).设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),令y=l

3、,贝！Iz=-2,x=2.所以n=(2,1,-2).83x2后4店 iy-设直线AO与平面CEF所成角为e.所以sin。=|cos(n,AD)=”nAD所以直线与平面CE尸所成角的正弦值=.(13 分)【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.2 .如图1,在直角梯形A8CD中，AB/CD,ZB=90°,AB=3,CD=2,BC=yf3,E在AB上，且AO=AE.将ACE沿£>E折起，使得点A到点P的位置，且P8=PC,如图2.(1)证明：平面PDE1.平面BCDE；(2)求二面角C-PB

4、-E的正弦值.DEB图2【分析】(1)取DE的中点O,连接PO,取BC的中点M,连接MO,连接PM,利用线面垂直的判定定理证明平面PMO,从而得到BCLPO,则由线面垂直的判定定理可证明P。，平面8CDE,由面面垂直的判定定理证明即可；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可.【解答】(1)证明：如图，取OE的中点O,连接尸O,则P3=PE,故PO_LOE,取8c的中点M,连接M。，则MOBE,故MO_LBC,连接PM，因为PB=PC,M为BC的中点，所以尸M_LBC,又尸MCOM=M,PM,

5、OMu平面尸MO,所以8CJ_平面PMO,又POu平面尸MO,则BC1PO,在平面BCOE内，8c与QE相交，因此平面BCDE,又POu平面PDE,故平面平面BCDE；(2)解：由(1)可知，POliSBCDE,连接CE,则BC=V3,BE=1,故CE=>JCB2+BE2=2=CD,连接CO,则COLDE,则CO=V3,以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,V3),E(l,0,0),C(0,V3,0),孚，0),所以PB=(,，孚>-V3)>CB=(,，亭，0)>EB=&，苧，0),设平面PBC的法向量为蔡=(x,y,z),o = zV3。

6、- - y y V32V32 + -X X3-2 3-2rml即o » o = 尾后 Tm Tm rl<IK则故m=(1,y/3,V3),设平面PBE的法向量为7=(a,b,c),故 71 =(遍，-1, 1),> >所以cosVm, n> =|m-n| _ 73 _ /3丽=77!=南故二面角C-PB-E的正弦值为1【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.3 .如图，在六面体ABC。-AiBiCiO

7、i中，底面A8C。为菱形.(1)求证：80不垂直于平面4。|。4；(2)若AAi_L平面4BC。，且40=3,AAi=4,ZDABe|-,求平面Ai£>8与平面48。夹角的正切值的取值范围.【分析】（1）建立空间直角坐标系，设ND4B=e,求得各点坐标，假设出灶平面4C1D4,则BC4O,通过向量运算可知0=0,即NDAB=0,这与四边形ABC。为菱形矛盾,从而得证;13c谒再通过换J16+9cos2|（2）根据。的范围可得sin?6g,亭,cos161,瞪，再求出平面ABO及平面408的一个法向量，利用向量的夹角公式可得cosa=cosvU,n>=元及三角函数的有界性，

8、结合函数的性质可得cosa的取值范围，由此得到tana的取值范围，从而得出答案.【解答】解：（1）证明：连接AC,设ACABZ）=O,四边形A8CQ为菱形，：.ACLBD,以AC,8。所在直线分别为x轴，y轴，以过O且垂直于平面4BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设NZM8=e,则=/.OAD=!7X )o O9128_2,( 8-2 D S， C 38 -2 = »siT4D 。-235/8 -2 OA171 ， 8-2 O - S ，C 8-2 O 3 S ( =co= o(3TD 4 4 B*/JJ.BDAD=0,BP18sin21=0,a：.sin2=0,则8

9、=0,即NZM8=0,这与四边形ABC。为菱形矛盾,：.BD不垂直于平面AiDiDA；(2),：66G，韵,0nn.方叱，"Asin161,给,cose1,易知，平面A8/)的一个法向量为m=(0,0,1),；AAi_L平面ABCD,n，4i(3cos2，0,4),.t,88、*AB=(-3cos2f3sin),4),设平面ADB的一个法向量为n=(x,y,z),则(t-0n-BD=-6sin-y=00t-qq，则可取n=(4,0,-3cos2),nArB=-3cos2,x+3sin2y-4z=0TT设平面ADB与平面ABD夹角大小为a,则cosa=cos<薪，n>=TI=|m|n|-3cos1|3cos|J16+