量子力学期末复习题

1、一、填空题1 1 .玻尔-索末菲的量子化条件为：iipdqnh,(n=1,2,3，.)，y2 2 . .德布罗意关系为：Eh力；pDk。Ej1,2.A3 3 .用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：-mV2hA,24 4 . .波函数的统计解释：r,t:代表 t t 时刻，粒子在空间,处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。5 5 . .波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性。6 6 . ./=/=L L1 1 为单位矩阵，则算符 N 的本征值为：1。9 9.设

2、eg/)为归一化的动量表象下的波函数，则eg)dp的物理意义为：表示在r,t所描写的态中测量粒子动量所得结果在ppdp范围内的几率。八人11.11.如两力学量算符 1 1，万有共同本征函数完全系，则场中运动的粒子角动量守恒1313 . .量子力学中的守恒量 A A 是指：A不显含时间而且与H?对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。1414 . .隧道效应是指：量子力学中粒子在能量 E E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应7 7 . .力学量算符应满足的两个性质是实数性和正交完备性8 8 . .厄密算符的本征函数具有:ndmn或正交性，它们可以组成正交归一性。即。

3、12.12.坐标和动量的测不准关系是:2PX尼。自由粒子体系，动量守恒；中心力41515 . .眄“= =4 4“广）3 3（艮利为氢原子的波函数，弭 1111 诩的取值范围分别为：n=1,2,3,n=1,2,3,；1=0,1,1=0,1,-,n-,n；m=-l,-l+1,m=-l,-l+1,，0,1,0,1,。1 121616 . .对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为：n n 考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 2n2n2 2_,_,如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为一2j1_o1717 . .设体系的状态波函数为 I I 乎,如在该状态下测量力学量歹

4、有确定的值工,则力学量算符 F F与态矢量1中二的关系为：F?）|”1818 .力学量算符声回 T 的在态中下的平均值可写为 J J 吟滋力心的条件为：力学量算符的本征值组成分立谱，并且r是归一化波函数。1919 . .希尔伯特空间：量子力学中 Q Q 的本质函数有无限多个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。孙二！九十KU2U2113113,3 为归一化波函数，1 1 即为球谐函数，则系数 c c2424 . .孟为自旋算符，则32,0 0,：J7sz2525 . .乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是：（：（1 1）每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能是两个数值

5、：Sz,力；（2 2）每个电子具有自旋磁矩MS S, ,它和它220.20.设粒子处于态的取值为:4 4 的可能值为：工力，2?2?本征值为加出现的几率为3”2121 . .原子跃迁的选择定则为:l1;m0,12222 . .自旋角动量与自旋磁矩的关系为:是电子的电荷，是电子的质量。中式4Se-MS是自旋磁矩，S S 是自旋角动量，e eA2323 . .卡为泡利算符,则？23患%r0J/a/=2i?z的自旋角动量S的关系式是：MSS,式中e是电子的电荷,空间任意方向上的投影只能取两个数值：MSeSz22626 . .轨道磁矩与轨道角动量的关系是：ML上L22727 . .证明电子具有自旋的实

6、验有：斯特恩-革拉赫实验。2828 . .费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有反对称性,玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有对称性。叼氏广1a仁M“（已归一化），则在态卬下，自旋算GG1,2GinG121；对坐标1G21,G222和自旋同时求平均的结果可表示为：GGd的意义为：表示在 t t 时刻，在（x,y,zx,y,z）点周围单位体积内找到自旋匚1 1，一1 131、量子力学中的态是希尔伯特空间的矢量_；算符是希尔伯特空间的算符力学量算符在自身表象中的矩阵是对角的32、（x,y,z,t）2的物理意义：发现粒子的几率密度与之成正比。一.22.33、（r,）rdr表示在rr+dr单位立体角

7、的球壳内好现粒子的几率34、在量子力学中，微观体系的状态被一个波函数完全描述;力学量用厄密算符表TNo是电子的质量。29.29.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为符E 对自旋的平均可表示为：30.30.考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为攻鬃力 3 化,，则口“2Sz1方的电子的几率2二、问答题1 1 . .你认为 BohrBohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。（简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？）答：BohrBohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，BohrB

8、ohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氯原子光谱，BohrBohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在 BohrBohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，BohrBohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，BohrBohr理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。2 2 .什么是光电效应？光电

9、效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率,当照射光频率0时,无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.c.当入射光频率0时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻109s观测到光电子。爱因斯坦认为：（1 1）电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完成的。（2 2）所有同频率光子具有相

10、同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。（3 3）光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。3 3 . .简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答：对于一般情况，如果i和2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：C11C22（G,C2G,C2 是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1和2的线性叠加态时，粒子是既处于态1,又处于态2。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在

11、叠加态下观测结果的不确定性。4 4 .什么是定态？定态有什么性质？答：体系处于某个波函数,tdexpiEt/1所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1 1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2 2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3 3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。5 5 . .简述力学量与力学量算符的关系?答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量 F F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符F由经典表示式

12、 F F（,p,p）中将p 换为算符？而得出的，即：F?F F（M M）=F=F（ 方）。量子力学中的一个基本假定：如果算符P表示力学量F,那么当体系处于F的本征态时，力学量F F 有确定值，这个值就是F?在中的本征值。6 6 . .经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1 1）经典波描述某物理量在空间分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2 2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成另一状态，而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子状态并不改变

13、；7 7 . .能量的本征态的叠加一定还是能量本征态答：不一定，如果1,2对应的能量本征值相等，则G1C22还是能量的本征态，否则，如果122对应的能量本征值不相等，则C11c22不是能量的本征态8 8 . .什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？答：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的和。9 9.简述量子力学的五个基本假设。答：（1 1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件

14、；（2 2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量心换为算符力得出。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3 3）将体系的状态波函数用算符F?的本征函数展开（pmmm,F?）:CmmCd,则在态中测量力学量 F Fm得到结果为m的几率为|Cm2,得到结果在dd范围内的几率是|c|2d;（4）体系的状态波函数满足薛定调方程：i1H?,彳是体系的哈密顿算符。（5 5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。1010 . .波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？答：粒子既不产生也不

15、湮灭。根据波函数的统计解释，在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等于 1 1。因而粒子在整个空间中出2,2一，、一现的概率即对整个空间的积分应该等于 1 1.即x,y,z,td1式中积分表示对整个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一旦归一化，归一化常数将不随时间变化。1111 . .量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是否有量子化现象？答：所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有离散

16、谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子力学特有的效应。1212 . .什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理意义？答：含有算符声的方程声mFmm称为P的本质方程，Fm为P的一个本质值。而m则为P的属于本征值Fm的本征函数。如果算符多代表一个力学量，上述概念的物理意义如下：当体系处于卢的本征态m时，测量 F F 的数值时确定的，恒等于Fm。当体系处于任意态时，单次测量 F F的值必等于它的本征值之一。1313 . .算符运算与一般代数运算有什么异同之处？答：（1 1）相同点：都满足加法运算

17、中的加法交换律和加法结合律。（2 2）不同点：a.a.算符乘积一般不满足代数乘法运算的交换律，即FGfG?；b.b.算符乘积定义FGE?P&白，运算次序由后至前，不能随意变换。1414 . .什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？答：定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场T1定0,则体系可以处于定t态。当粒子被外力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠加

18、是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束缚态，当定态也可能有非束缚态。1515 . .（1 1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描写粒子的量子状态？（2 2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态是否改变？（3 3）归一化波函数是否可以含有任意相因子ei（是实常数）？（4 4）已知 F F 为一个算符，当 F F 满足如下的两式时，a.a.FF,b.,b.F1F, ,问何为厄米算符，何为幺正算符？（5 5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算符？答：（1 1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐标

19、和动量不可能同时具有确定值。（2 2）不改变；根据 BornBorn 对波函数的统计解释，描写体系量子状态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于 1,1,因而粒子在空间.22各点出现概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。（3 3）可以；因为ei1,如果对整*、一一一一，一,i2i个空间积分等于 1,1,则e对整个空间积分也等于 1 1.即用任意相因子e（是头常数）去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4 4）满足关系式 a a 的为厄密算符，满足关系式 b b 的为幺正算符；（5 5）证明：以表示 F F 的本征值

20、，表示所属的本征函数，则F?因为 F F 是厄密算符，于是有dxdx,由此可得，即为实数。1616 .薛定调方程应该满足哪些条件？答：（1 1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2 2）方程是线性的，即如果 1 1 和2都是方程的姐，那么1和2的线性叠加C11C22也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果1和2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：C11C22（G,C2是复数）也是这个体系的一个可能状态；（3 3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。1717 . .量子

21、力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符，它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。1818 . .简述力学量算符的性质？答：（1 1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2 2）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即mndmn；（3 3）完备性：力学量算符的本征态的全体构成一完备集，即xcnnx。n1919 . .在什么情况下两个算符相互对易？答：如果两个算符 P P 和（?

22、?有一组共同本征函数m,而且m组成完全系，则算符 F F 和 G?G?对易。2020 .请写出测不准关系？答：设算符F?和G?的对易关系为：F?,（?必，则测不准关系式为：F?2|G?2,4如果k不为零，则F和（?的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数。2121 . .量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同，并举例说明？答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同，实质上是不确定度

23、关系的反映。a.a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一般情况下是一个波包；b.b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，l的三个分量都守恒，但由于|x、|y、|z不对易，一般说来它们并不能同时取确定值（角动量l0的态除外）。2222 . .定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是：（0）Hnm1,式中mn0）。mn2323 . .什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？答：在不受外界影响的情况

24、下，体系由高能级跃迁到低能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场）作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃迁。2424 . .什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择定则是什么？答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数的选择定则是：l1;m0,1。2525 . .谁提出了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？答：乌伦贝克和高斯密特提出了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和反常的 ZeemanZeeman 效应。他们假设的主要内容为：a.a.每个电子具有自旋角动量它在空1间任

25、何万向上的投影只能是两个数值：sz3/3/; ;b.b.每个电子具有自旋磁矩MS S, ,它和它的自旋I,白工一ee4角动量S的关系式是：MS-S,式中e是电子的电荷，是电子的质量。表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其现象：K K 射出的处于 S S 态的氢原子束通过狭缝 BBBB 和不均匀磁场，最后射到照相片 PPPP 上，实验结果是照片上出现两条分立线。解释：氢原子具有磁矩，设白沿 Z Z 方向：U=-MS=-MB；fx五-而如设在空间可取任何方向，日应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条，说明应是空间量子化的，只有两个取向 c c 宜 E E= =1,1,对S态，

26、/三0,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特点：（1 1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2 2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为h-I-I-r rxpxp, ,它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。（3 3）电子自旋值是 2 2, ,而不是电的整数倍。（4 4）与，而工一两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足4nA同样的对易关系：SH*=呢。1它是个内禀的物理量，不能用

27、坐标、动量、时间等变量表示；2它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当力0时，自旋效应消失。3它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取机两个值。2626 . .什么是斯塔克效应？答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂，这称为 StarkStark 效应。2727 .什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？答：由于电子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的1精细结卞当 n n 和 l l 给TE后，j j 可以取jl,（l0除外），即具有相同的量子数 n,ln,

28、l 的能级有两个，它们的差别很小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级的简并度为（2j+1）2828 .什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？答：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条，我们把这称为正常的塞曼效应。而反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为三条。2929 .什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的

29、或反对称的，它们的对称性不随时间改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。3030 . .写出泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动1112n2m13232 .请简述微扰论的基本思想。量对易关系。答：泡利矩阵为：？2i?；自旋算符0110?;对易关系为0i10i001S?巾？验证过程如下：；对易关系邑号*段段卷即:3131.请写出两个电子体系的波函数。答：按空间态和自旋态组合可有四种反对称态:空间态对称？自旋态反对称空间态反对称？自旋态对称m2n2m1其中H?1n1Enn1；Em答：将复杂的体系的哈密顿量育分成龙口与百两部分。豆“是

30、可求出精确解的，而方可看成a口的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代，逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定必时，先确定杂，再用白二方白确定户。3333 . .什么是玻色子和费米子？答：由电子，质子，中子这些自旋为万的粒子以及自旋为万的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米（FermiFermi）狄拉克（DiracDirac）统计，称为费米子，由光子（自旋为 1 1）以及其它自旋为零，或电整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色（BoseBose）-爱因斯坦统计，称为玻色子。3434 . .什么是隧道效应？请举例说明

31、隧道效应的应用。答：粒子在其能量E小于势垒高度U0时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道效应的应用：1 1.扫描隧道显微镜（STMSTM）是电子隧道效应的重要应用之一。扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。2 2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。由于隧道效应而使其伏安特性曲线出现负阳区，因而隧道二级管具有高频、低噪声的特点。隧道二级管是低频放大器、低频噪声振荡器和超高速开关电路中的重要器件。3535 . .厄米算符具有哪些性质

32、？厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有哪些性质？答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为厄米算符；b.当且仅当两厄米算符A和?对易时，它们之积才为厄米算符。因为AB?B?A?B?。只有在A,包0时，B?A 邑才有，AB?.AB?,即A?仍为厄米算符；c.无论厄米算符A、B?是否对易,11算符一A?BA及一RB?B?必为厄米算符，因为22i11d.任何算符总可分解为？i?令？?、？一？，则？和？均22i为厄米算符。*工 A?B?2i我 AB?iA?B?B?A?2iA?嵌；厄米算符的平均值、本征值、本征函数具有下列性质：厄米算符的平均值是实数；在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符

33、；厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平均值就是本征值。厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；厄米算符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一化；厄米算符的本征函数系具有完备性；厄米算符的本征函数系具有封闭型。3636 . .简单讨论一下相对论情形和非相对论情形下的德布洛意关系式。2P2m0相对论情形：E2p2c2m：c4;所以当kc时，即得到非相对论情形下的公式：-2224oooEPcm0cmoc2d1p2c21hhh2mc0由于能量只有相对变化E才有意义（即能量的绝对值在物理上是没有意义的，它依赖于“零能量2值”的选取），hEE2Ei可将常数项mc抵消，此时相对论形式的关系退

34、化为非相对论情形：,k就是非相对论粒子的动能。德布洛意频率本身不是一个可观测量，因此只有h德布洛意波长具有物理意义。3737 . .为什么物质的波动性在宏观尺度不显现?答：由于h/p,原因是普朗克常数太小（h6.61034J.s）,而宏观尺度的运动动量太大，导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为pj2mE,要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动能 E,E,但从物理上考虑 E E 不可能减小到比热运动能量kBT更小，所以必须减小质量。质量的减小对应于尺度的减小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能出现较大的物质波波长。从而引起可以观察到的物理效应。答：对于非相对论情形:17224pc*Em

35、0c.,2m。k12mcch2P2mo2kdx3838 .相对论粒子德布洛意波对应的相速度，群速度分别是多少？（相速度vp一，代表相位pdtk3939 . .自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多少?4040 . .什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关系?答：希尔伯特空间是定义在复数域上的一个有限维或无限维的完备矢量空间。特空间中的态矢。4141 . .试举例有哪些实验揭示了光的粒子性质？哪些实验揭示了粒子的波动性质?答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给出了能量分立、光场量子化的概念，从实验上揭示了电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、中子在晶体上的衍射实验从实验上揭示

36、了微粒的波动性质。答:；k2m，后，则群速度：vg2mgdk一（对应的才是粒子运动的速度）。而m相速度：vDp一山一（不是粒子运动速度）。k2m传播的速度。波包是指波动在有限空间中分布。群速度vgdk对应波包运动的速度）答：由德布洛意关系:h.1vc2所以：波矢则相速度:又因为:m0V2m0vh、1vc22mc2m0ch11vc2mc2vcvp22m0c2mov232vc2m0v，dkdv所以，群速度：vgdkddvdkdv2J。v2mt232h1vcv,即在相对论情形下粒子运动速度也对应于波包的群速度。波函数对应于希尔伯光的粒子性质。三、证明题目匕星。1 1.试证明（x）1222x(2x）是

37、线性谐振子的波函数， 并求此波函数对应的证：线性谐振子的 S-S-方程为:ddx(x)2x2(x)E(x)d把（x）代入上式，有：一dx(x)ddx3.；x2(2x)3.-2x(23x)(6122x.)e23小2x2(2(22x22x右边93x183x)把正把2dx72)小X3x)2)(x)（x）代入式左边，得左边(x)722x2tl2(x)(x)22x(x)(x)72E(x)(x)(x)当E时，左边=右边2(x)3x),是线性谐振子的波函数，其对应的能量为2.2.证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是JerJe0；Je证:rsin电子的电流密度为:JeeJer(在球极坐标中

38、为:err1-errsin式中er、e、e为单位矢量JeeJe-2nm(errrsinieer(可见,*.nm(errrsinnm中的r和部分是实数。ie2rsinimJerJe0Je3.3.试以基态氢原子为例证明:解：1005(ab3/22ersinim2)ersinrsin不是做U?的本征函数，而是r/a0rsinnm)U?的本征函数。所以：100不是 T 的本征函数2由于旨100包100；可见，100不是 U?的本征函数r可见，100是（T?4）的本征函数LJ6,L的电子，其中2,m121522152lW21(,)Ymsincossin28321545 和 135时：W21为最大值。即在

39、32T?T?100常数100r(r2)100ar_er/a0)rij丫21(,)cose1;丫21(,)cose14 4.证明：L6,L的氢原子中的电子在45和135的方向上被发现的几率最大。解：Wm(,)dYm|2d2Wm(,)Ym45,135方向发现电子的几率而(T?U?)1002esr100100一150上之间325 5.试证明：处于 1s,2P1s,2P 和 3d3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为a。、4a0禾口92。的球壳内被发现的几率最大（a0为第一玻尔轨道半径）1O证：对 isis 态，n1,0,R10()3e0ao42.一，八W10（a0）e为最大值，所以处于 1s1

40、s 态的电子在ra0处被发现的几率最大。a0易见，当r10,r2时，W210为最小值22号六产(121)er/a0r24a0a0a0最大。在其它方向发现电子的几率密度均在W106r试(94r2，WI0/1322、2r/a0(一)4(2rr)era0a0W10rr10,2,r3a0易见，当r10,r2时，W0不是最大值。对 2P2P 态的电子n2,1,R21(1)3/2r2a03a0r/2a0MO门前（方W21r3(4r/a0W21rr10,r2,r34a02W212rr4a0124a516a2(123216)e4Me。03a3r4a0为几率最大位置，即在4a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。

41、对于 3d3d 态的电子n3,2,2R32(一)a03/21r81.15(a0)2r/3a0eW32(r)r2|R322116rea781215r/3a0.W32r81215a：(62r.)e3a02r/3a0ri0,%9a0易见，当ri0,时,W320为几率最小位置22W322-r162781215a：(15r24r5a。2r.2r/3a0嬴)2W32一27r9ao8115a0436a0(9a0)(150aO81a0、6Q2)e9a016633e5a0r9a0为几率最大位置，即在9a0的球壳内发现球态的电子的几率最大。6 6.指出下列算符哪个是线性的，说明其理由4x2：dx解：4x2-d-2

42、是线性算符;dx4x2工(C1U1C2U2)dxd2C14x2。dxC24x22dx42d24x-2u2dx(CiUi)4x2/(C2U2)dxn是线性算符;K17.7.指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由d241是厄米算符dx-22不是线性算符;C1U1c2u222222ClUi2C1C2U1U2C2U222CiUiC2Md.d,d11),I,41),I,42dxdxdx那x，邠x?x?)d解：dx*dxd.,*dx；dx当 x,0,0dx*dxdxdxdd()*dx()*dxdxdx9 不是厄米算符。dxd*IdxI*dxd(I 一)*dxdxi 且是厄米算符dx*4dxdx2ddxd*

43、ddxdxdx4gdxI*ddxdxdx2d2*,kdxdx2d2dx2dxd2(4册)*dx(2)(2)*.i(xpx)2d1欠(仅2)d(欠i)*?x2d(%?1)*2d因为?x）?x；?x不是厄米算符。111_2(px21)2d2(型1)2d万(?阿？xM)12d1*2(?x父邠x)12d1,(x?x?x?)是厄米算符。2d2-的本征函数,dx23cosx,sinxcosx丘cd22解：J(x2)dxd2一2的本征函数。dxZexdx2x一 Ie不是d2-的本征函数，其对应的本征值为 1 1。dx2d2一2(sinx)dxd,、(cosx)dxsinx；d2可见，sinx是表的本征函数，

44、其对应的本征值为1 1d21l(3cosx)dx(3sinx)3cosx(3cosx)dxd23cosx是气的本征函数，其对应的本征值为1 1dx*1，12(邠x?x初2d1*121(邠x)2d2*一一一1（?x父）2d9 9.下列函数哪些是算符其本征值是什么?2;d2.d.一2(sinxcosx)(cosxsinx)sinxcosx(sinxcosx)dxdxd2sinxcosx是2的本征函数，其对应的本征值为一 i idxio.io.说明：如果算符A和它都是厄米的，那么（A+E?）也是厄米的。及+E?也是厄米的。定的宇称。比较、式可知，（x）和（x）都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函

45、数。由于它们描写的是同一个状态，因此（x）和（x）之间只能相差一个常数c。方程、可相互进行空间反演（xx）而得其对方，由经xx反演，可得，证:i*(AI)2di*A2di*l?2d2俏i)*d2(1?i)*d2(及 I?)i*d11.11.在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称:U（x）U（x）,证明粒子的定态波函数具有确证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-S-方程为:U(x)(x)E(x)将式中的乂以（x）代换，得:2dx2(x)U(x)(x)E(x)利用U(x)U(x),得:x)U(x)(x)E(x)（x）c（x）由再经xx反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。(x)c(x)

46、2乘，得：(x)(x)c(x)(x)2可见，c1；即c1当c1时，(x)(x),(x)具有偶宇称；当c1时，(x)(x),(x)具有奇宇称，所以，当势场满足U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。12.证明以下诸式成立：为了求证该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x分量。ij壬=tLL=产，内力尸?也)+上(/j-。#)力TAxy2看到,+一，1、.；,I.-(证明)根据坐标分角动量对易式:s=叫一滔)以及由于轮换对称性，得到特征的公式。产卢；一为可(证明)证法与(1)类似，但需先证分量与总分量的对易律&，巧=如%4，巧=品-P由=p式:yp厂PR）=初对同理可证明其他轮

47、换式，由此得普通式L=hi*电取待证的公式等号左方的 x x 分量，并用前一式加以变形：（I5+方*T）”，心&PF-PMP工、=出声工-丹=2加八根据轮换对称性，证明待证式成立。氏滤=花（齐及-（后）/（证明）产工一一=（+,+）工一工值+4）=+匕）犬-式目十）=天-齐，44月yE：=式犷-，、斗（产-%）4+/5-，4）+0-短工）4=-hilyZ-ikzly+=hi（yls-zly-hilyz-lsy）=h认行网h-Q吁）-注息“与 x x 没有共同坐标。产=而遁4。可 a（证明）根据，必=A=Fpp=（4+弓+目况/。廿月+彳）人=Hr与胃=（PL卯JJyA召忑 W%=Q注意

48、没有共同坐标，因此可以对易即两边取平均值，设Ym是lz本征态波函数,用标乘积运算符号（Ym的？用 Yim）i（Ym12Ym）,.9.9w_9.9w.9.9.9.922222222(lylz)PxPx(lylz)1yPxPx1ylxPxPxlxlyQyPxPxly)(lyPxPxlyHylz(lzPxPxlz)(lzPxPxlzz1yly，Pxly,PxlylzUz,Pxlz,PxlzhilyPzPzlylzPyPylzhi(PylzPzly)(lyPzlzPy)hi(PP)x1313 .设算符 A,BA,B 与它们的对易式A,BA,B都对易。证明：4歹三麓人儿网.田=超4人儿司（甲法）递推法，

49、对第一公式左方，先将原来两项设法分裂成四项，分解出一个因式，再次分裂成六项，依次类推，可得待证式右方，步骤如下：为=A-A=1-3*门为3+以*“月月=M瓦十&刃=X炉北中上炉十炉二月炉-*一5十对从例=力炉，严一”+丸儿33+歹,引按题目假设重复运算 n-1n-1 次以后，得4夕*=且犷方+（M-1）皮 T月田=十-刃3*/+5-1）长,4见=卷歹】4 见1414 . .求证在1n的本征态下lxly0（证明）角动量分量算符满足对易关系:A利用对易关系：EEEREEERH?。可以类似的证明o o附带指出，虽然l2,l?在l2本征态中平均值是零，但乘积l?l2的平均值不为零，能够证明:入

50、y入入ylxly1m2ilxly,说明R2不是厄密的。l22,片的平均值见下题。22122移项整理：l2(Ym,lX)-l(l1)m222l(l1)m222.21515.设粒子处于Ym（,）状态，求lx,ly。（解）Yim（，）是算符l?,后的共同本征状态，在此态中，算符|X,匕具有对称性，因而可假设2-22.TT/lxly,又已知lxly0利用算符恒等式：l2222222xyz计算这个式子的各量在态Yim中的平均值，用标积符号：(Ym,Rl2Ym肥 Ym)(Ym,mlqYml?lqYim)m(YimJ9Ym)(Ym,RRYm)m(Ym,l：Ym)(l?Ym,?Yim)m(Yim,lX)m(Y

51、m,ljYm)前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符2的厄密性，这样证明lx0(YimPYim)(Yim,(lk 佟l?)Ym)(Ym,(2 胃22)Ym)因Yim满足本征方程式l?Yml(l1)ml?YmmYim2l(l1)(Ym,Yim)2(Yim,l%m)22m(Yim,Yim)0(SAS1SBS1)(SBS1SAS1)16.16.求证在 l?l?的本征态下，角动量沿着与的分量的平均值是：mcos。（解）角动量沿着与z成解的方向因由方位角给定），有一投影z轴成的角度的方向上（此方向用单位矢S表示,sin计算在lz式中dsincosjsinsinkcosjljcoslXsin?z,它的解析k?z)(isincossinlycosl 彳g的本征态Ym中角动量投影E的平均值:Ym(sincossindd个积分无贡献，由于:jsinsinkcos)(1)(1)K)YmdYm(sinsiniy)YmdYm(sin|Z)Ymd(2