无穷级数总结

1、无穷级数总结、概念与性质1 1 . .定义：对数列U1,U2,，Un，Un称为无穷级数，上称为一般项;若部分和n1数列Sn有极限S,即 limSlimSnS,称级数收敛，否则称为发散. .n2 2 .性质设常数C0,则Un与CUn有相同的敛散性；n1n1设有两个级数Un与Vn,若UnS,Vn，则（UnVn）S；n1n1n1n1n1若Un收敛，Vn发散，则（4%）发散；n1n1n1若Un,Vn均发散，则（UnVn）敛散性不确定；n1n1n1添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；设级数Un收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.n1注：一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发

2、散；一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定.级数Un收敛的必要条件：limUn0；n1n注：级数收敛的必要条件，常用判别级数发散；若1而Un0,则Un未必收敛;nn1若Un发散，则limUn0未必成立.n1n二、常数项级数审敛法1.1.正项级数及其审敛法定义：若Un0,则Un称为正项级数.n1审敛法：（D充要条件：正项级数Un收敛的充分必要条件是其部分和数列有界n1(ii)比较审敛法：设Un与Vn都是正项级数，且UnVn(A1,2,),n1n1则若收敛则收敛；若发散则发散.A.A.若收敛，且存在自然数 N N, ,使得当 nNnN 时有Unkvn(k0)成立，则收敛；若发散，且存在自然数 N

3、 N, ,使得当 nNnN 时有Unkvn(k0)成立，则发散；B.B.设Un为正项级数，若有p1使彳#un；(n1,2,)，则Un收敛；若n1nn11Un一(n1,2,),则Un发目攵.nn1C.C.极限形式：设Un与Vn都是正项级数，若lim丛l(0l),则n1n1nVn注：常用的比较级数:调和级数：1111发散.n1n2n(iii)(iii)比值判别法(达郎贝尔判别法)设an是正项级数，若n1limanr1,则an收敛；lim亘r1,则an发散.nnann1ann1注：若lima，1,或 limJO_1,limJO_1,推不出级数的敛散.例工与4,虽然nann,n1nn1nlima口1,

4、lim向1,但二发散，而三收敛.nann,n1nn1nn,(iV)(iV)根值判别法(柯西判别法)设an是正项级数，limlim后后Unn1Vnn1有相同的敛散性.几何级数：arn1n11r 发散p p 级数:1 收敛n1np发散n1n级数收敛，若1则级数发散.(v)极限审敛法：设Un0且 limnlimnpU Unl l, ,则limnpunl0且p1,则级nn数Un发散；如果p1,而limnpunl(0l),则其收n1n敛.(书上 P317-2-(1)P317-2-(1)注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法.正项级数的比(根)值判别法不能当作收敛与发散的充要条

5、件，是充分非必要条件.2 2 .交错级数及其审敛法定义:设Un0(n1,2,)，则(1)n1Un称为交错级数.n1则(1)n1Un收敛.n1注：比较Un与Un1的大小的方法有三种：比值法，即考察员是否小于 1 1；Un差值法，即考察UnUn1是否大于0；由Un找出一个连续可导函数f(x),使Unf(n),(n1,2,)考察f(x)是否小于0.3 3 . .一般项级数的判别法：若Un绝对收敛，则Un收敛.n1n1若用比值法或根值法判定|Un|发散，则Un必发散.n1n1三、幕级数1 1 . .定义：anXn称为幕级数.n02 2 . .收敛性阿贝尔定理：设幕级数anXn在X。0处收敛，则其在满足

6、Ix|Ix0|的所审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数(1)nU,若UnUnn1NlimUNlimUn0,0,nx且可逐项积分，即Sdt0X(antn)dt0n0antndt(xn00(R,R),收敛半径不有X处绝对收敛.反之，若幕级数anxn在X1处发散，则其在满足|x|X1n0的所有X处发散.收敛半径(i)定义：若幕级数在xX0点收敛，但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数R,使得当|XX0R时，幕级数收敛；当XX0R时，幕级数发散；R R 称为幕级数的收敛半径(ii)(ii)求法：设幕级数anXn的收敛半径为 R R, ,其系数满足条件limn0n或严：；两l,则当0l时，R1;当l0时，

7、R,当l时，R0.注：求收敛半径的方法却有很大的差异.前一个可直接用公式，后一个则须分奇、偶项(有时会出现更复杂的情况)分别来求.在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法.(iii)(iii)收敛半径的类型A.A.R0,此时收敛域仅为一点；B.B.R,此时收敛域为(，)；C.C.R= =某定常数，此时收敛域为一个有限区间.3 3 .幕级数的运算(略)4 4 .幕级数的性质若幕级数的收敛半径R0,则和函数S(x)anxn在收敛区间(R,R)内连续.n0若幕级数的收敛半径R0,则和函数S(x)anXn在收敛区间(R,R)内可导,n0且可逐项

8、求导，即S(x)(anXn)(anXn)nanXn1,收敛半径不变.n0n0n1若幕级数的收敛半径R0,则和函数S(x)anxn在收敛区间(R,R)内可积,n0an1ann/no%(，In2n(iii)(iii)cosx(J：,x(no(2n)!/、(1)(n1)n(v)(1X)17-Xn,x(1,1),(R);n1n!11(vi)4Xn,X1;4(1)nxn,X1.1Xno1Xno6.级数求和幕级数求和函数解题程序(i)(i)求出给定级数的收敛域;(ii)通过逐项积分或微分将给定的幕级数化为常见函数展开式的形式(或易看出其假设和函数s(x)与其导数s(x)的关系),从而得到新级数的和函数；注

9、：系数为立壬项代数和犯！级数2一求和函数时应先将级数写成各个幕级数的代数和，然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和，即得所求级数的和函数.数项级数求和利用级数和的定义求和，即limSns,则Uns,其中nn1nsnU1U2UnUk.根据$n的求法又可分为：直接法、拆项法、递/nn、(ancosxbnsinx).变.5 5.函数展开成幕级数若f(x)在含有点X。的某个区间I内有任意阶导数,f(x)在Xo点的n阶泰勒公式为f(X)f(Xo)f(Xo)(XXo)f(n1)()-一号(XXo)(n1),记Rn(x)(n1)!f(Xo)-2f(n1)2(XXo)f(n)(Xo)n!(xXo)(n

10、1)!(n1)(XXo)介于X,Xo之间，则f(x)在I内能展开成为泰勒级数的充要条件为limRn(x)n0,初等函数的泰勒级数(xo0)(ii)sinxn12n1(1)Xn1(2n1)!(iv)ln(1x)nn(1)X(1,1;推法.A.A.直接法：适用于uk为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列；k1B.B.拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求n项和时，除首尾两项外其余各项对消掉.(ii)(ii)阿贝尔法(构造幕级数法)anlimanxn,其中幕级数anXn,可通_X1_n0n0n0过逐项微分或积分求得和函数S(x).因此anlims(x).X1n0四、傅里叶级数1.1.定义定义

11、1 1：设f(x)是以2为周期的函数，且在,或0,2上可积，则1一、，1*2、，C、an一f(x)cosnxdx一0f(x)cosnxdx,(n0,1,2),112bn-f(x)sinnxdx。f(x)sinnxdx,(n1,2,),称为函数f(x)的傅立叶系数.定义 2:2:以f(x)的傅立叶系数为系数的三角级数-a0(ancosnxbnsinnx).2n1称为函数f(x)的傅立叶级数，表示为(ancosnxbnsinnx).n1定义3:设f(x)是以2l为周期的函数，且在l,l上可积，则以1l一、nan一f(x)cosxdx,(n0,1,2),lllbn1f(x)sinnxdx,(n1,2

12、)为系数的三角级数1ao(ancosxbnsinx)称为f(x)的傅立叶级数，表示为2n1lln1ll2 2.收敛定理(狄里赫莱的充分条件)设函数f(x)在区间,上满足条件除有限个第一类间断点外都是连续的；只有有限个极值点,1f(x)a021f(x)a。2则f(x)的傅立叶级数在,上收敛，且有3.3.函数展开成傅氏级数周期函数注：若f(x)为奇函数，则f(x)bnsinnx(正弦级数),n1l,2lnbn-0f(x)sin丁xdx(n1,2,)；若f(x)为偶函数，则f(x)包ancosx,(余弦级数)2n1l2lnan-0f(x)cosxdx(n0,1,2,),bn0(n1,2,). .非周

13、期函数(i)奇延拓：f(x),0 xA.A.f(x)为0,上的非周期函数，令F(x)I，,则F(x)除x0外在f(x),x0a0(ancosnxbnsinnx)2n1f(x),x 是 f(x)的连续点;1f(xo0)f(xo0),2x0是 f(x)的第一类间断点；1_2f(0)f(0),x(i)以2为周期的函数f(x):f(x)a1anf(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnxn1、,1),bnbnsinnxf(x)sinnxdx(n1,2,);注：若f(x)为奇函数，则f(x)bnsinnx(正弦级数),n12bn0f(x)sinnxdx(n1,2,);0(n0,1,2,)若f(x

14、)为偶函数，则f(x)与2an0f(x)cosnxdx(n0,1,2,ancosnx(余弦级数),n1),bn0(n1,2,). .(ii)以2l为周期的函数f(x)?11anl1n、，f(x)cosxdx(n0,1,2,n.n、ancosx+ +bnsinx)n1ll1ln),bn-f(x)sinxdx(n1,2,)；lllan0(n0,1,2,)在,上为奇函数，f(x)bnsinn1(n1,2,). .(ii)(ii)偶延拓：A.A.f(x)为0,上的非周期函数，令F(x)则F(x)除x0外在,上为偶函数，f(x尸a_ancosnx(余2n12弦级数),anof(x)cosnxdx(n0,1,2,). .B.B.f(x)为0,l上的非周期函数，令F(x)f：)：则f(x)曳ancosnx(余弦级数)，an2f(x)cosxdx(n0