不定积分与定积分的运算

1、不定积分与定积分的计算1.不定积分1.1 不定积分的概念原函数：若在区间F(x)f(x),则称F(x)是原函数.的一个原函数的个数：若是在区间上的一个原函数，则对都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有的全体原函数所成集合为R.原函数的存在性：连续函数必有原函数.不定积分:的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作 f(x)dx一个重要的原函数：若f(x)在区间x上连续，aI,则 f(t)dt 是的一个a原函数。1.2 不定积分的计算(1)裂项积分法x412x21dx例2:dx22cosxsinx22cosxsinx,22dxcosxsinx,22(cscxsecx)dx(2)第

2、一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出22arctantd(arctant)(arctgt)(3)第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下:被积函数包含laxb,处理方法是令n/axbt,x-(tnb);a被积函数包含 Va2x2(a0),处理方法是令xsint或xcost;dxxdx1x21,八一arctanxCx积分。例如，求不定积分cos2xdx,如果凑上一个常数因子2,使成为1-cos2xdx一cosx?2xdx2cos2xd2x1sin2x2例 4:3dxx1xd.xTT2arctan、x例 5:dxx21x2

3、,ddlx例 6:arctanx,x(1x)dxarctan、xarctant,dt1t2(arctgx)2c.1例 7：计算aax2dx2a一xarcsin一被积函数包含.a2x2(a0),处理方法是令 xtant;被积函数包含,x2a2(a0),处理方法是令 xsect;由图 2.1 知.xsint一a2a一x-arcsin一xa2x2ln1分部积分法当积分 f(x)dg(x)不好计算，但 g(x)df(x)容易计算时，使用分部积分公式：f(x)dg(x)f(x)g(x)g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型：解：令xasint,-t一，则t2一一x一arcsin一,aaa2x2a

4、costa2x2dxacost,dxacostdt,从而acost.acostdt2cos tdtcos2tdt例 8:dx6(1t)dtdtt1tsin2t222,axcost所以a22.xdx2a.sintcost2(1) xnexdx,xnsinxdx,xncosxdx 等， 方法是把ex,sinx,cosx移至 Ud 后面,分部积分的目的是降低 x 的次数(2)xn1nmxdx,xnarcsinmxdx,xnarctanmxdx 等，方法是把xn移至 Ud 后面,分部几分的目的是化去1nx,arcsinx,arctanx.例9:x2exdxx2dexx2exex2xdx一lnx111例

5、 10:2-dxlnxd-lnx-dlnxxxxx1.dx1/1-lnx-(lnx1)Cxxx3，x2xarctanx3,212x2xarctanxx-ln1xC2例 12:cos2xdxcosxdsinxcosxsinxsin2xdx=1x2ex2xdxx2ex2(xexexdx)ex(x22x2)C例11:(16x2)arctanxdx3、arctanxd(x2x)3，x2xarctanxx2x3dx1xcosxsinxx2.cosxdx,解得2.cosxdxsin2xc.4例 13:secxdxsecxsecxdxsecxdtgxsecxtgxtgxsecxtgxdx23secxtgx(

6、secx1)secxdxsecxtgxsecxdxsecxdx3.secxtgxln|secxtgx|secxdx,311.解得 secxdxsecxtgxln|secxtgx|c.22以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧例 14 设函数f(x)的一个原函数是也x,求 xf(x)dx。x1arctanx1e2dx1x21x2arctanx-rdx(1xV解:sinxf(x)xcosxsinx2xxf(x)dxxd(f(x)xf(x)f(x)dxxcosxsinxx2xsinxcx2sinxcosxcx评:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法arctanx例

7、15计算Berdx(1x，说明涉及到arcsinx,arctanx的积分一般有两种处理方法.(1)用分部积分法；(2)作变量替换令 arcsinxt 或 arctanx解法arctanxxe(1x2dx.arctanx231x2)arctanx1arctanxed21x1arctanxTx2e评:分部积分后，后面的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法解法二:令 arctanxy,xtanyarctanxy2xetanyesecyy1yrdx3dysinyedy-e(sinycosy)C(ix23)2secy227d(2sint)-2301(2sint)1arctanx-e2C评:变量替换后

8、几分的难度大大降低，sinyeydy 是每种教材上都有的积分2.定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算(1)基本积分法3例 16 计算T-0(1解：令 xtant,则dx(15x2),1x22.sectdt，一2、(15tant)sect6cOstdt0cos215sin21一 arctan(2sint)6(2)分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小信函数3例17计算0 xx2dxa32解：0 xx2dxx(2x)dxdx5x2)138x(x2)dx一23,3-3例 17 计算Qmaxx,1xdx1IV1.4角牛：0maxx,1xdx=。2(1x)dx1xdx

9、-(3)利用函数的奇偶性化简定积分a0f(x)dxaa0f(x)dx1cc例 18 计算 1(x1x)dx111解：(x,1x)dx=1dx2x1xdx=2+0=21111例 19 计算(xx)edx1n,1一1j解：(xx)eIdx=xedxxedxIVx102xedx24e0当 f(x)是奇函数当 f(x)是偶函数例 20 计算一x27esinx.4dx41ex分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。所以解:dx-x24esinx：dx01exx-20esinx,dx71ex2sinx,-dxe0eysin2(y)d(y)27siny.4dy01ey2%sinx.47dx01exx2x2x2_彳 esinx74esinx.0esinx.4.24-dx4-dx-dx4sinxdx-171ex01ex41ex08一类定积分问题1例 21 已知