一元线性回归

1、一元线性回归模型及其在经济生活中的应用中文摘要：本文回顾了描述变量相关关系和回归分析方面的基本知识，系统阐述了一元线性回归模型的基本原理，并将其应用于濮阳市国内生产总值预测中，取得了较好的效果。英文摘要：Thispaperreviewstherelationshipbetweenvariablesanddescribethebasicknowledgeofregressionanalysis,thesystemdescribesalinearregressionmodelofthebasicprinciples,andappliedtoforecastgrossdomesticproduct,

2、PuyangCity,andachievedgoodeffect.引言：随着科技的迅速发展，数学的应用不仅在它的传统领域一一经济建设、工程技术等方面发挥着越来越重要的作用，而且不断向一些新的领域渗透，形成了许多交叉科学，如计量经济学、人口控制论、生物数学等。数学模型成为人们认识和研究这些学科的一种重要的工具，如何利用所学知识，建立与实际生活背景更贴切的数学模型来解决我们经济生活中存在的问题是摆在人们面前的重要课题！本文回顾了描述变量相关关系和回归分析方面的基本知识，系统阐述了一元线性回归模型的基本原理，并将其应用于实际生活中。相关关系基本知识回顾：在生产实践和科学实验中，经常会遇到一些相互关联

3、、相互制约的变量，它们之间客观上存在着一定的关系，为了揭示其内在联系，往往需要确定这些变量的关系程度。变量之间的关系大致可分为两类，一类是确定性的关系，变量之间按照确定的函数关系发生关联，也称函数关系，如物理学中速度与加速度之间的关系；另一类是不确定性的关系，这种关系无法用一个数学公式来精确描述。当一个变量（称因变量或可控变量）的取值确定后，若另一个变量（称因变量或依变量）的取值虽无确定值，但以一确定的条件概率分布与之对应，这种变量间的不确定性关系称为相关关系，如人的血压与年龄，身高与体重之间的关系，存在相关关系的变量称为相关变量。统计学中研究相关关系的理论模型有相关模型和回归模型两种；相关模

4、型指的是变量间具有平行变化关系，相应的统计分析方法称为相关分析，研究的是多个变量在数量关系上的密切程度和性质；回归模型指的是变量间具有因果变化关系，相关的统计分析方法称为回归分析，研究的是一个随机变量与一个或多个可控变量之间的变化关系。相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度；相关分析研究变量之间相关的方向和程度，不能推断变量之间相互关系的具体形式，也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况；回归分析可以推断变量之间相互关系的具体形式，能够从一个

5、变量的变化来推测另一个变量的变化情况。回归分析基本知识回顾:1.回归分析的定义在研究某一社会经济现象的发展变化规律时，所研究的现象或对象称为被解释变量，它是分析的对象；把引起这一现象变化的因素称为解释变量，它是引起这一现象变化的原因，被解释变量反映了解释变量变化的结果。回归分析是研究某一被解释变量(因变量)与另一个或多个解释变量(自变量)间的依存关系，其目的在于根据已知的解释变量值或固定的解释变量值(重复抽样)来估计和预测被解释变量的总体平均值。2 .回归模型的分类(1)按模型中自变量的多少，分为一元回归模型和多元回归模型；(2)按模型中参数与被解释变量之间是否线性，分为线性回归模型和非线性回

6、归模型；(3)按模型中方程数目的多少，分为单一方程模型和联立方程模型；3.回归分析的步骤(1)数据的收集与选取；(2)回归模型参数的估计、模型的确定检验与修正；(3)回归模型应用与推广。4.回归分析的任务找出相关变量间的回归方程，并利用其进行预测和控制。(1)依据一组实验数据，判断变量间是否存在相关关系，若有则建立相关变量间的数学关系式(回归方程)，并对所获得的回归方程的可信度作统计检验；(2)判断各变标考核变量(随机变量)影响的显著性，并做出统计选择；(3)利用最终获得的回归方程对生产和试验进行预测和控制。回归分析是一种传统意义上的应用性较强的科学方法之一，在各个领域都得到了广泛的应用，它不

7、仅可以提取大量数据中的重要信息，掌握这些数据的特点及规律，进而得出变量间相关关系的数学表达式，对这些关系进行分析；还可以利用这些关系式，有一些变量去预测和控制另一个因变量的取值，进而知道这种预测和控制所到达的程度，并分析得出结论。一元线性回归模型的基本原理1.一元线性关系的判断一元线性回归模型的使用条件是两个变量之间存在线性关系，通过相关系数的来判定两个变量之间存在线性相关。ninn、XiYi-、X：V_izini-ii-innnnCX2-Xi)2,Yi2-CYi)2，i丑ni,iiny占1,卜越大，线性相关越密切；当0.5ErM1为线性相关，可以用一元线性回归分析预测。2 .模型的建立设随机

8、变量y与变量x之间存在着直线相关关系，(X，y)可用模型表示为：yi=P0+限+露(i=1,2,.,n),P。与Pi为未知参数，%(i=1,2,.n)相互独立且服从N(0,I)的正态分布，求得瓦与良的估计值bo和，对于x,E(y)的估计值bo+b,记为y则方程=b十x称为y对x的一元线性回归模型。3,模型回归效果的显著性检验对于一元线性回归模型来说，我们常用的检验方法有以下几种:t检验、F检验、相关系数的显著性检验、拟合优度利用最小二乘法估计参数：若能使回归直线y=b0+bix尽可能地靠近散点(xyi),即应使总的离回归平方和:.2一，.2Q(b0,b1)=(yi-丫。=(yi-b0-bixi

9、)达到最小，欲使二元函数Q(bo,H)最小,：QF值）=p值总和n-1SST2、F检验统计量定义从方差分析的角度进行的回归模型整体性检验所采用的检验统计量是F统计量。 检验统计量F反映平均回归平方和与平均剩余平方和的比较。SSRFLSSEn-2且F服从自由度为1和n-2的F分布。即：F干（1,n-2）可以推导，F与可决系数r2有以下关系2rF=-2（n-2）1-r利用检验统计量是F可以对回归方程进行显著性检验，即F检验。3、F检验的步骤1提出假设原假设H0：Pi=0备择假设Hi:：i-02给定显著性水平a,查F分l布表获得临界值Fa(1,n-2),例如： 在显著性水平3=0.05,n-2=8时

10、，查F分布表,可以得至U：F0.05(1,8)=5.323据由下式可以利用样本数据计算检验统计量F的值4进行比较，做出判断若FFa(1,n-2),差异显著，拒绝原假设，接受备择假设;若Fx,记为； ， 则方程y=b0+13迷称为y对x的一元线性回归模型。利用最小二乘法估计参数：若能使回归直线y=b0+x尽可能地靠近散点(x-yj,即应使总的离回归平方和：nnQM,)=(yi-yi)2=Z(yi-b-bixj2达至最小值。ii4若要函数Q(b0,bi)值达到最小， 那么则要函数Q(b0,bi)分别对a,b所求的一阶偏导数均为零，也即是：工Q,2=一2乙(yibobixi)=0cbo日Q二一2乙(

11、yi-bo-bixi)xi=0cbiid对上式进行整理可得:bo=51.。7bL=2.65有了一元线性回归方程，我们将今后每年的固定资产投资额带入回归预测模型中，便可以预测今后每年的国内生产总值。设：濮阳市2。5念得固定资产投资额为5oo百万元，则国内生产总值的预测值为:nboXi=Vi二i三.)nnnboxi-bi=x2=，XYiJiA,i_1i_1其解bo,bi称为Bo与Bi的最小二乘估计，从中求解出bo,bi：、Yi、X1ibo二一一-bi一一nnbi=nnnnyXYi-XiqYii-Li三i三2:2n%XiIXiTTn其中n=i07Xj=i482i提出假设原假设H。：年0备择假设H1：

12、Z=02给定显著性水平a,查F分l布表获得临界值Fa(1,n-2),例如：在显著性水平a=0.05,n-2=8时，查F分布表，可以得至口：F0.05(1,8)=5.323据由下式可以利用样本数据计算检验统计量F的值SSR1_一SSEn-2=533.9244进行比较，做出判断若FAFM1,n-2),差异显著，拒绝原假设，接受备择假设;若FFM1,n-2),差异显著，拒绝原假设，接受备择假设；2、下面我们也可以采用SPSS软件来处理这个问题，结果如下:模型综合分析表n2|yi-yiW.J二!yi-yiiw.-4bModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd

13、.ErroroftheEstimateChangeStatisticsDurbin-WatsonRSquareChangeFChangedf1df2Sig.FChange1.993a.985.98330.85068.985533.92418.0002.350a.Predictors:(Constant),固定资产投资b.DependentVariable:国内生产总值由模型综合分析表可得出F值为533.924,SIG=0.000小于P=0.05,结合方差分析表，可知,回归效果显著。SiaFChanaeSig.FChange.000方差分析表ANOVAbModelSumofSquaresdfMe

14、anSquareFSig.1Regression508169.4871508169.487533.924.000aResidual7614.1138951.764Total515783.6009a.Predictors:(Constant),固定资产投资b.DependentVariable:国内生产总值F=533.924这个F值比较大，sig=0.000小于P=0.05由上可知：F=533.924F00(51,8m5.320.05FFa(1,n-2),因此差异显著。结束语论文回顾了描述变量相关关系和回归分析方面的基本知识，系统阐述了一元线性回归模型的基本原理，并将其应用于濮阳市国内生产总值预测中，结果表明所建模型可行、有效