2020年新高考数题型详解：8.1离散型随机变量及分布列(教师版)人教选修

1、高考数学选修系列题型详解8.1离散型随机变量及分布列提升突破战胜高考陵机要吊/表小.在随机证途中，可以踊定一个对应关牙，便需用一个试猿结 睾都用一个确定的做字表示，触字随着试脸结晕的变化而变 化，像这那破看试聆结果变化而变化的兖蚩和为圜机变量常用字母x,y,i q表示定义所有改便可以-一列出的喳机变显都为阍敝型随M变旧»晒受高型机三劫可用敲字表示.力试胎之匍可以利断其出现的所有馆13）在试的N前不建蹄定取'可的.l4向眼唁里展一一列出喷机变量&、R布列两点分布L若屈机变量用的分布列具有上表的形式,则称月第从新点分布, 并林户幻为成功柢睾.一般地，在含有M件次品的“伸产

2、品中.任取”件，其中恰有身怦r X* = 0.L2 .*"».其中。1工 mMM,起几何分布冏，且EM AftM凡M.心N杯分布到为趋几何分布列.如果胞机变量月的分布列为超几何分布列,则I城机变虽*服从超II何分布.题里讲解题型一概念辨析【例1】(1) (2019 林芝市第二高级中学高二期末(理)先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是()A.出现7点的次数B.出现偶数点的次数C.出现2点的次数D.出现的点数大于 2小于6的次数(2) (2020 全国高三专题练习)袋中有 3个白球、5个黑球，从中任取2个,可以作为离散型随机变量的是( )A.至少取到1个白球

3、B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到的球的个数(3) (2017 湖北省松滋市第一中学高二课时练习)从标 110的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上 的数字之和为E ,那么随机变量E可能取的值有()A. 17 个B. 18 个C. 19 个D. 20 个【答案】(1)A(2)C(3)A【解析】(1) Q抛掷一枚骰子不可能出现7点，出现7点为不可能事件出现7点的次数不能作为随机变量本题正确选项：A(2)根据离散型随机变量的定义可得选项C是离散型随机变量，其可以一一列出，其中随机变量X的取值0,1,2,3,故选C.(3)2支竹签上的数字是110中的两个，若其中一个为1,另一个可取21

4、0，相应X可取得311，同理一个为2,另一个可取310，相应X可取得512,以此类推，可看到X可取得319间的所有整数，共17个.【举一反三】1. (2018 海林市朝鲜族中学高二课时练习)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A.取到产品的件数B.取到正品的概率C.取到次品的件数D.取到次品的概率【答案】C【解析】逐一考查所给的选项：A中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B,D中的量也是一个定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.本题选择C选项.2. （2019 江西南昌二中高二期末）下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是 （）A.将一枚均匀

5、正方体骰子掷两次，所得点数之和B.某篮球运动员 6次罚球中投进的球数C.电视机的使用寿命D.从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数【答案】C【解析】随机取值的变量就是随机变量 ，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中A,B, D都属于离散型随机变量，而C电视机的使用寿命属于连续型随机变 量,故选C.3.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果.（1）袋中有大小相同的红球 10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，

6、取后不放回，直到取出的球是白球为止， 所需要的取球次数；（2） 一个袋中装有8个红球,3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为 X.【答案】见解析【解析】（1）设所需的取球次数为 X,则X= 1,2,3,4, ,10,11, X=i表示前（i 1）次取到的均是红球，第i次 取到白球，这里i =1,2,3,4, ,11.（2） X的所有可能取值为0,1,2,3.X= 0表示取5个球全是红球；X= 1表示取1个白球,4个红球；X= 2表示取2个白球,3个红球；X= 3表示取3个白球,2个红球.题型二两点分布【例2】袋中有红球10个，白球5个，从中摸出2个球，如果只关心摸出两个红球的情形 ，问

7、如何定义随机变 量X才能使X满足两点分布，并求分布列.【答案】见解析【解析】从含有10个红球，5个白球的袋中摸出2个球，其结果是随机的，可能是一红一白、两红、两白三种 情况，为此我们定义随机变量如下：0,两球非全红，小，一C20 3X=曲曲人5则X显然服从两点分布,且P(X= 1) = -T=-,1,两球全红，05 7_3 4p(x= o)= 1-7=7, X的分布列为X01P4737【思路总结】两步法判断一个分布是否为两点分布(i)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检3经P(X= 0) + P(X= 1) = 1是否成立.如果一个分布满足以上两点 ，则该分布是两点分布，否则不

8、是两点分布.II【举一反三】1.已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽 取的2件产品中的次品数，求X的分布列.【答案】见解析【解析】由题意知，X服从两点分布，RX= 0) =-99 = 49, PX= 1) = 1覆=上.所以随机变量X的分布列为00 5050 50X01P4950150题型三超几何分布【例3】(2020 浙江高三专题练习)袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出 2个球，至少得到1个白球的概率是 7.9(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出 3个球，记得到白球的个数为 X求随机变量X的分布列.【

9、答案】(1) 5个；(2)见解析.【解析】(1)设白球的个数为 x,则黑球的个数为10-x,记“从袋中任意摸出 2个球，至少得到1个白球”为事件A,则P A1CI7石，解得x 5.故白球有5个.9(2) X服从以10,5,3为参数的超几何分布k 3 kC5 C5C3o,k 0,1,2,3.于是可得其分布列为X0123P112512512112【举一反三】1. (2020 浙江高三专题练习)四川省阚中中学某部根据运动场地的影响，但为尽大可能让学生都参与到运动会中来，在2018春季运动会中设置了五个项目，其中属于跑步类的两项，分别是200米和400米，另外三项分别为跳绳、跳远、跳高.学校要求每位学

10、生必须参加，且只参加其中一项，学校780名同学参加各运动项目 人数统计如下条形图:Wn180 1L20n“上屋鬲跳球跳总跳V目,用分层抽样的其中参加跑步类的人数所占频率为,为了了解学生身体健康与参加运动项目之间的关系13方法从这780名学生中抽取13人进行分析.(1)求条形图中 m和n的值以及抽取的13人中参加200米的学生人数;4人，记其中参加400米跑的学生人数为 X,求离散(2)现从抽取的参加 400米和跳绳两个项目中随机抽取型随机变量X的分布列.【答案】（1） m 240, n 60； 3人（2）见解析【解析】（1）由题意得参加跑步类的有：780 420 （人）,13m 420 180

11、 240,n 780 420 180 120 60,根据分层抽样法知：抽取的13人中参加200米的学生人数为13 180 3.780240（2）由题意，抽取的13人中参加400米的学生人数有13 4,780参加跳绳的学生人数有 3人，所以X的所有可能取值为 1、2、3、4,PX1PX2PX3PX4c4c34c435c2c218c435C4c312C435c41c735,所以离散型随机变量X的分布列为:X1234P41812135353535题型四分布列性质【例4-1】（2020 浙江高三专题练习）设随机变量X的概率分布列为则 P XX1234P13m1416A.工12C. 14D. 112【解

12、析】5 .故选DA. 0.5B. 0.24C. 0.1D. 0.76【解析】据题意得0.2 0.3 0.4 c 1,所以c 0.1，故选C.X的分布列如图，则常数c为（）X01Pc 29c c3 8c【例4-3】（2020 浙江高三专题练习）已知离散型随机变量A. 13C.【解析】由随机变量的分布列知0,38c0,9c23 8c 1,12X0123P0.20.30.4c【例4-2】（2020 浙江高三专题练习）已知离散型随机变量X的概率分布列如下:则实数C等于（）1' c -,故选 A.3【举一反三】X011 . （2020 浙江高三专题练习）若离散型随机变量的分布列如下，贝 U a

13、=a2 aP2-2【解析】由概率的性质可得:P(X 0) P(X 1)1,2由题意则a a_ 1,解得a22又概率介于01之间，所以a1.故答案为12. （2020 浙江高三专题练习）设随机变量X的分布列P(X k)k1，一1 (其中 k 1,2,3),则 a2【解析】依题意31 ，一1,斛得a28 .故填83. （2020 浙江高三专题练习）邮局工作人员整理邮件,从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为 X（单位：克),如果 P X 100.3, P 10X 300.4，那么P X 30等于【答案】0.3【解析】根据随机变量的概率分布的性质可知 P X 10 P 10 X30 P301故 P

14、(X 30) 1 0.3 0.40.3.4. （2020 全国高三专题练习）随机变量的概率分布列规律为 P（Xn)后(n L, ，一 一 1 为常数，则P（，2A 2A.一35 .一X 5)的值为(2B. 34C.-5D.【解析】根据题意，由于P（X n）n(n 1),那么可知，（n 1,2,3,4）时，则可得概率和为1,即a aaa1.26 12 2051551515aP（X-）P（X 1） P（X 2）+二故选D.42242 46 6强化练国1 . （2019 宁夏银川一中高二期中（理）袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，有放回地依次取出2个球，设两个球号码之和

15、为随机变量X ,则X所有可能值的个数是（）A. 25B. 10C. 9D. 5【答案】C【解析】依据题意，分析可得，这是有放回的抽样，号码之和可能的情况有：2,3,4,5,678,9,10共9种情况故选C2. （ 2018 海林市朝鲜族中学高三课时练习）先后抛掷一枚质地均匀的骰子5次，那么不能作为随机变量的是（）A.出现2点的次数B.出现偶数点的次数C.出现7点的次数D.出现的点数大于 2小于6的次数【答案】C【解析】抛掷骰子点数只可能为1,2,3,4,5,6,不可能出现7.故出现7点的次数为0,不能作为随机变量.故选C.3. （2020 浙江高三专题练习）袋中有大小相同的红球6个，白球5个，

16、从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X,则X的可能取值为（）A. 1,2,6 B . 1,2,7 C . 1,2,11 D , 1,2,3 【答案】B【解析】从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X,则有可能第一次取出球，也有可能取完6个红球后才取出白球.4. （2019 江苏高二期末（理）引入随机变量后，下列说法正确的有： （填写出所有正确的序 号）.随机事件个数与随机变量一一对应；随机变量与自然数一一对应；随机变量的取值是实数.【答案】【解析】引入随机变量，使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量

17、的取值是实数，故正确.5.（2020 浙江高三专题练习）随机变量工服从两点分布，且P（ E =1）=0.8, Y =3七-2,则P（刀=-2）=【答案】0.2【解析】当刀=-2时，E =0,所以 P(刀=-2)=P( E=0)=1-P( E =1)=0.2.6. （2011 江苏高二期中（理）在01分布中，设P X103,则 E X1【解析】由题意得：P X 1 1 - 3，-八一2本题正确结果：一37. （2020 全国高三专题练习）随机变量X101PabcX的分布列如下:其中a, b, c成等差数列，则R| X = 1） =,公差d的取值范围是33【解析】由于a,b,c成等差数列，故2b

18、a c,由于aP X 1 a c 2. 3，一1.1. 八1.2八1.由于 ad,c-d,且 0d ,0一d33333,一一，,12bc 1,所以 3b1,b- ,ac 一.所以33211 口一,解得一d-，所以d的取值范围是3333, 38. （2017 湖北省松滋市第一中学高二课时练习）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛制”.用己表示需要比赛的局数，写出“己=6”时表示的试验结果.【答案】见解析，规定采用“七局四胜【解析】“己=6”表示：甲在前5局比赛中胜3局并胜第6局，或乙在前5局比赛中胜3局并胜第6局.9.( 2017 湖北省松滋市第一中学高二课时练习)写出下列随机变量可能取的值，并说明随

19、机变量取值所表示的随机试验的结果.(1)在10件产品中有2件是次品，8件是正品，任取三件，取到正品的个数 己；(2)在10件产品中有2件次品,8件正品，每次取一件，取后不放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数己；(3)在10件产品中有8件正品,2件次品，每次取一件，取后放回，直到取到两件次品为止，抽取的次数己；(4)在10件产品中有8件正品,2件次品，每次取一件，取后放回，共取5次，取到正品的件数 己.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)见解析.【解析】(1) E =1,2,3, E=k ( k= 1,2,3)表示取到k个正品；(2) =2,3,4,10, E=k ( k=

20、 2,3，,10)表示取了 k次，第k次取得次品，前k1次只取得一件次品.(3) =2,3,4,，己=k(k= 2,3,4,)表示取了 k次，前k1次取得一件次品，第k次取得次品.(4)己=0,1,2,3,4,5, E=k ( k=0,1,2,3,4,5) 表示抽取5次共取得的正品数.10. (2020 浙江高三专题练习)在 10件产品中，有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10件产品中任取3件.求:(1)取出的3件产品中一等品件数 X的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.31【答案】(1)详见解析；(2) 81.120【解析】(1)题意知 X的所有可能取值为

21、0,1, 2, 3，且 X服从参数为 N 10, M 3, n 3的超几何分布，因此P Xk所以P X0c3c3 kC；0k 0,1,2,3C0C3357C3012024C3C2C306321120 40C3C；217C30120 401120故X的分布列为：X0123P72421407401120(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A, “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A,“恰好取出2件一等品”为事件 A2,“恰好取出等品”为事件由于事件A, A, A彼此互斥，且A所以取出的c3c23A2 , p A2 pC3040740P A3P X31203件产品中一等品件

22、数多于二等品件数的概率为:A1P A2P A313140 4011. (2020 浙江高三专题练习)在心理学研究中120 120,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者 A, A,A, A,A5, A和4名女志愿者Bi, B2, B3, B,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

23、5【答案】(1) & ;( 2)分布列见解析18【解析】(1)接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的事件数为4C；，总的事件数为一 5C10 ,所以接受甲种心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的概率为C84C；070252g18(2) X的所有可能取值为0,1,2,3,4.c0c5P X 0 7A Cw1P X 1 42,C4C4a5。521C：C；C；010P X 3 21C4C2 _5C5021c：c；1Ci50,故X的分布列为:42X01234P1425211021521142，某大学学生实践中心积极参与12. （2020 全国高三专题练习） 某项大型赛事，需要从高校选拔青年

24、志愿者.若所选3名学生中的女生人数从8名学生会干部（其中男生5名，女生3名）中选3名参加志愿者服务活动为X求X的分布列.【答案】详见解析C05【解析】X的可能取值为0,1,2,3, P X 01一，PX 1C828C3C52C；1528-v cC32C515 cxzcP X 2-v5 , P X 3C356C3C501 一，所以X的分布列为:56X0123P5281528155615613. （2020 天津高三期末）每年的 12月4日为我国“法制宣传日”.天津市某高中团委在 2019年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动.已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480人、

25、360人、360人.为检查该学校组织学生学习的效果，现采用分层抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试.具体要求：每位被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行彳答，所抽取的4个问题全部答对的学生将在全校给予表彰.求各个年级应选取的学生人数；若从被选取的10名学生中任选3人，求这3名学生分别来自三个年级的概率；若被选取的10人中的某学生能答对 10道题中的7道题，另外3道题回答不对，记X表示该名学生答对问题的个数，求随机变量X的分布列及数学期望.3【答案】（1）高一年级应选取 4人，高二年级应选取3人，高三年级应选取3人.（2） 一（3）详见解析10【解析】（

26、1）由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为 4:3:3 ，由于采用分层抽样方法从中选取10人,因此，高一年级应选取 4人，高二年级应选取 3人，高三年级应选取 3人.（2）由（1）知，被选取的10名学生高一、高二、高三年级分别有4人、3人、3人，所以，从这10名学生任选3名，且3名学生分别来自三个年级的概率为(3)由题意知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,且X服从超几何分布，P X kc7kc4 kCi4ok 123,4).所以，随机变量X的分布列为X12341311P301026所以，随机变量X的数学期望为1302101414. (2019 辽宁高二期末(理)某高校在2018年

27、的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，折合成标准分后，最高分是10分.按成绩共分成五组：第一组 0,2 )，第二组2,4 )，第三组4,6 )，第四组 6,8 ),第五组8,10 ),得到的频率分布直方图如图所示：顿率(1)分别求第三，四，五组的频率；(2)该学校在第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取 6名同学.已知甲同学和乙同学均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率若在这6名同学中随机抽取 2名，设第4组中有X名同学，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）第三组的频率是 0.3,第四组的频率是0.2,第五组的频率是【解析】（1）第三组的频率是 0.150X2=0.3,1 0.1 (2)一详见解析145第四组的频率是 0.100 X 2= 0.2,（2）由（I ）可知，第三，四，五组所占的比例为3: 2: 1,在分层抽样的过程中第三组应抽到6X 0.5 =3 个,而第三组共