人教版高数选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)

1、定积分的概念与微积分基本定理15掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积、定积分的概念:从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、 求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，nn inn IS = lim v f i x = lim f i S = lim，v ； ：t = lim v x niiw nTynT：y n事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 1定积分的概念一般地，设函数f (x)在区间a,b上连续，用分点a = XoXiX2 IIIxix 1H Xn = b将区间a,b等分成n

2、个小区间，在每个小区间xi，x】上取一点与(i = 1,2,用，n ),作和式：nn" f i ='、b-f i i 1i 1 n当nT + g)时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间a,b上的定积分。nbbb - a记为：f f (x)dx 即f (x)dx = lim Z f('i )aan tim n其中函数f(x)叫做, x叫做 变量，区间a,b为 区间，b积分, a积分。b说明：(1)定积分f f(x)dx是一个常数 a(2)用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间a, bl；近似代替：取点匕w Ixi,，x】;n b af (x

3、)dx = lim % f i 二i n求和：b ba f(，)；取极限:i 1 nt2S = , vdtt1b(3)曲边图形面积：S = J f (x dx ;变速运动路程2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间a,b上的函数f(x)连续且恒有财)bf(x)之0。那么定积分 f f (x)dx表示由直线x = a , x = b(arb), y=0和曲线y = f(x)所围成的曲边梯形的面积。o3定积分的性质性质bidx = b -a性质bkf (x)dx = kabf(x)dxa(其中k是不为0的常数)(定积分的线性性质)性质bfi (x)二 ab(x)d次 ab1 f ( x) d x

4、2f(定积分的线性性质)性质bf ( x) d xab(x dxc(f )xM说明：推广:(定积分对积分区间的可加性)bfl(x) . f2(x) IM fm(x)dx = afi(x)dx_f2(x)dx IMfm(x) a aciC2推广：f(x)dx = j f(x)dx，I f (x)dx HI f (x)dxaa。ckCk根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:性质解释:性质1y=1SM梯形 AMNB =SW边梯形 AMPC , SY边梯形 CPNB二、微积分基本定理：变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为 S(t),速度为v

5、(v(t)之0 ),T2.则物体在时间间隔Ti,T2内经过的路程可用速度函数表示为v v(t)dt °Ti另一方面，这段路程还可以通过位置函数S (t)在Ti,T2上的增量S(Ti)-S(T2)来表达，即T2T v(t)dt = S(Ti) -S(T2)Ti而 S'(t) =v(t)。对于一般函数f (x),设F '(x) = f (x),是否也有ba f(x)dx f b f a若上式成立，我们就找到了用f(x)的原函数(即满足F'(x)=f(x)的数值差F(b)-F(a)来 计算f(x)在a,b上的定积分的方法。注：1：定理 如果函数F(x)是a,b上的连

6、续函数f(x)的任意一个原函数，则ba f(x)dx = F(b)-F(a)ax证明：因为 (x)=f f (t)dt与F(x)都是f(x)的原函数，故 aF (x)-6(x) =C( a E x £ b) 其中C为某一常数。a令 x = a得 F (a)-(a) =C,且(a)= f f(t)dt=0 a即有 C=F(a),故 F(x)=6(x) + F(a)x：D(x)=F(x)-F(a)= f(t)dt ab令 x = b,有 J f(x)dx = F (b) - F(a) a藏例亚百)313(2x7dx。类型一：定积分的概念： 例1计算下列定积分1 . f(2x-4)dx 0

7、= 9-4 =55解：1.0(2x4)dx2 .因为(ln x)=,所以 f -dx =ln x |2= In 2 Tn1 = In 2。x 1 x，2、八，1、,1，3 1、，3 3 1 .3. 因为(x ) = 2x,( )= 一一2 ,所以(2 x - -2_)dx =12xdx 一1一2dx x x1 x 11 x2 3 1 3122= x2|3 T = (9-1) (1 -1)=。x33例2.计算由两条抛物线 y2 =x和y =x2所围成的图形的面积【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。解:!y =次=x=0&x=1,所以两曲线

8、的交点为 2y =x(0,0)、(1,1),面积S= = 0 xdx 一_122 m xS= ( ,x- x )dx = -x" -一 03311=3 ,0BC0.4y - x2 y = x【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤:1.作图象；2.求交点; 定理求定积分。3 .用定积分表示所求的面积;4.O一D. A微积分基本练习: 2 14 .若 f (x) =x2 2 0f (x)dx,则1L f (x)dx =(A. -11C.一3D.1答案旧15 .定积分3 (2 x + ex )dx的值为(Ae 2B.e 1C.eD.e -1答案：C2 22 13.若 S1 = x

9、dx,S2 = dx, S311 x2 y(exdx,则S1S2s3的大小关系为(A.S1： S2 ： S3B. S2 < S1 < S3C. S2 二 S3 二 S1D, S3 < S2 < S1答案：B4.已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数，如果f(x)与g(x)仅当x = 0时的函数值为0,f (x) > g(x),那么下列情形不可能 出现的是()A. 0是f(x)的极大值，也是 g(x)的极大值B. 0是f(x)的极小值，也是 g(x)的极小值C. 0是f(x)的极大值，但不是 g(x)的极值D. 0是f(x)的极小值，但不是 g(x)的极值答案

10、：C25：已知二次函数f(x)=ax +bx+c的导数为 f'(x), f'(0) > 0 ,对于任意实数x都有C. 23D.2f (x) _ 0,贝U -f-(1)的最小值为( f'(0)A. 3答案：C二、定积分求面积1 .直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A. 2,2B. 4.2C. 2D.4答案：D22 .直线l过抛物线C : x =4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B. 2C.D.Com16 2答案：C1 一 ，3 .已知函数y = f (x)的图象是折线段 ABC ,其中A(0,0)、B(,5)

11、、C(1,0),函数y = xf (x)2(0<x<1)的图象与x轴围成的 图形的面积为 .5答案：54一、选择题(共4小题，每小题10分，共40分)1 .下列各定积分的值等于 1的是()A. °xdxB.。他 1)dx C. 01dxD. q- dx【答案】C【解析】理解定积分符号表示的几何意义，我们结合图象可以得解。1p - 2p - 3p - . - np2 .将和式的极限 limp(p > 0)表不成te积分 ()nnA. 01dxB. 0 xpdxC. _0(1)PdxD. 0(-) pdxxxn【答案】B1 p 2P , 3p +n p,【解析】由求和式

12、极限lim 1-2一3八.n (pA0),我们知道求和式可以表示为 nf ：nP 111c 2 cn c c(一)p十(一)p十 +(一)p,故可以知道被积函数为f(x)=xp,积分区间为0, 1n n nn3 .求由y=ex,x=2, y=1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为（）2_A. 0, e2B. 0, 2C. 1, 2D. 0, 1【答案】B【解析】根据作图来判定积分区间。4 .如下图，阴影部分的面积为（）bA. af(x)-g(x)dxB.ag(x) -f(x)dx cf(x) -g(x)dxbbC af (x) -g(x)dx c g(x) - f (x)d

13、xbD. ag(x) f(x)dx【答案】B【解析】利用定积分的几何意义和定积分的运算性质可以得到。二、填空题（每题10分，共40分）5 .由定积分的几何意义分析，则第：9-x2dx=【答案】" 2【解析】理解积分表示的几何意义，由x=3,x=-3,y=0和函数y=J9_x2围成的面积,结合图形我们知道，所求的面积是圆面积的一半。1116 .将和式lim (十+十)表木为te积分 n 1 n 22n一 1 1【答案】dx01 x【解析】根据和式变形我们可以得到1111 n n一=(n 1 n 22n n n 1 n 21这样我们就可以找到原来的函数f (x)= 1 x7.按万有引力定

14、律，两质点间的吸引力mm2 2"" rk为常数,两质点间距离，若两质点起始距离为a,质点R沿直线移动至离m1，m2为两质点的质量，r为m2的距离为b处，试求所做的功是（ba） .11、【答案】km1m2 （）a b【解析】运用以不变代变的思想，将区间a,b分割为n等分，然后取近似值求和，取极限可以得到解。8.由y =cosx及x轴围成的介于 0与2兀之间的平面图形的面积，利用定积分形式应表达为2 【答案】0 cos x dx【解析】作出余弦函数图象，我们可以发现，在区间0二与|史,2冗1上，cosx之0,2_ 2 二3而在区间n与 冗上 cosx <0 ,这样我们结合

15、定积分的运算性质可以把其合并为2 一 22 二0 | cosx dx三、解答题（共20分）1 29.利用定义求定积分 x2dx的值。1【答案】 .求由曲线y=-豉，直线y = -x+2及y轴所围成的图形的面积错误的为（310,1】分成n等份，每份长一， n各分点是:x0 = 0,12x1 = , x2 = nn,xn =n -1n【解析】解：因为x2在区间0,1】上连续，所以jx2dx存在把区间lim -i-x +1+ 1)=-押，6J 3当堂总，必家居作一、选择题基础巩固A-o&x、x）dxB.22c.(2 - y -y )dy-2【答案】C.D.、.xdx002j4 - y )dy

16、二 3 ,3A. 一 2331 C.3【答案】C.B.A.3【答案】C.1- x2,(x < . 3),(V3 < x < 2),则.(x-2)21f (x) +xdx 的值为(B.D.-：5.332二5.3十23=x"的图像过点P(2,4),则图中阴影部分的面积等于(2D.一34 .已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(A 红B. 4C. 3D.-5322【答案】 解析：根据图像可得：y = f (x) =-x2 +1 ,再由定积分的几何意义 ，可求得面积为一 121 314S =(-x 1)dx =( x x) =-.4335 .如

17、图所示，在边长为1的正方形OAB阱任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()1 A4【答案】【解析】x2)1_2 3:* S阴影=0 ( . x - x)dx = (- x2 31 一 1=S正=1 ,故P =,答案C66%+L(T Vx <0). 开的图象与cos k,(Q£5)x轴所围成的封闭图形的面积为（3A 2【答案】AB. 1C. 2【解析】根据积分的应用可求面积为S = 2f (x)dx = (x 1)dx-2 cosxdx1 20413=(x +x)匕 +sinx 0 = +1 =一,选 a.2221 o7.若 /x?+mx)dx = 0 ,则实数m的值为()

18、A.1B.2C- -1D. _2【答案】B.2 ,8 .抛物线丫=乂（-20乂02）绕丫轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的体积是A. 1B. 8C. 8 2D. 16.2【答案】B9 .（陕西省西安中学2012届高三下学期第三次月考试题 ）如图，设D是图中边长为4的正方形 区域,E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域.向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为.1A5【答案】C.41若 j (2x+)dx=3+1n2(a >1),则 a 的值是(1 xB. 3D. 6A. 2C. 425，以速度v(

19、t )=7 3t +5( t的单1 t【答案】A.1 1 . 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车位：s, v的单位：m / s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位；m ）是（）A. 1251n511B. 8 251n 一3C. 4 251n5D. 4 501n 2【答案】C解：令v（t ） = 73t25 一 、一+，5-=0 ,则t=4 .汽车刹车的距离是1 t。7-3t 含=4 +251n5 ,故选C.过抛物线C: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则1与C所围成的图形的面积等于（B. 2C. 83C 1的方程是y=1,所求面积相当于个矩形面积减去一个积分2值:SM-2

20、.022cx ./ /x 28dx =4 -( o)=一.412312二、填空题1exdx 二【答案】e-114.由曲线y=JX,直线y = x2及y轴所围成的图形的面积为【答案】16【解析】3由fy=x -2一 x 二 4，解得，即B(4, 2)，所以所求面积为y=242 30 .x -(x -2)dx=(3x1 2-x 2x)2162【答案】e1 5 .计算广(2x+1)d 1 x能力提升16若/"=9,则常数丁的值为17【答案】3解:T 2 x3 x dx = 03T3八C=9 = T =312计算te积分 (x sin x)dx =2【答案】2【解析】本题考查有关多项式函数，三角函数定积分的应用.3J , 2 一 、, x/( (x +sinx)dx= -cosx | i3rcos1 -cos13321 _1 8 .设函数 f (x) = ax +c(a * 0),若(f (x)dx = f (x0),其中 0 < x0 < 1,则 x0 =19.设a A0.若曲线y=Vx与直线x = a, y = 0所围成封闭图形