1995年全国高考数学试题及答案解析

1、1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷(选择题共65分)一、选择题：本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分，第(11)(15)题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知I为全集，集合M,NulMnN=N4iJA.M3NB.MJNc.MJND.M3NKeyC1y二7一一-2 .函数x+1的图象是KeyBy=4sin(3x)3cos(3x)3 .函数44的最小正周期是_2二_二A.6二B.2二C.D.-33KeyC4 .正方体的全面积是a

2、2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是二a2_2B.C.2-：a2D.3二a22第1页共11页KeyB5.若图中的直线1112g的斜率分别为k1k2k3,则A.ki<k2<k3B.k3<ki<k2C.k3<k2<kiD.ki<k3<k2KeyD6 .在(1-x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是A.-297B.-252C.297D.207KeyD7 .使arcsinx>arccos破立的x的取值范围是.2".22A.(0B.(,1C.-1,)D.-1,0)333KeyB8.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是acr1-c-

3、3A.y=3xB.y=-xC.y=3xD.y=x33KeyC9.已知0是第三象限角，且sin40+cos405=9,那第sin28等于A.-22B.一3八2c2C.1D.一-KeyA10.已知直线l,平面a，直线m匚平面B，有下面四个命题：a/B口l_Lmcc_LP=l/mlmna_Lpl_Lmna/P其中正确的两个命题是A.与B.与C.与D.与KeyD第2页共11页11.已知y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是A.(0,1)B.(1,2)KeyBC.(0,2)D.2,+oo)团2n12.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn与Tn,若Tn3n+1anlimj：bn

4、A.1c6八2-4B.C.-D.339KeyC13 .用1,2,3,4,强五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A.24B.30C.40D.60KeyA14 .在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是A.：=c(j)B.一(2)C.：1一1-ecos1-ecose(1-ecosu)D.：二c(1-e2)e(1-ecosu)KeyD15 .如图,A1B1cl-ABC是直三棱柱,/BCA=90°，点D1F1分别是A1B1,A1C1的中点，若BC=CA=CC1,则BD1与人51所成的角的余弦值是1.x2-8J2x()3.厂16.不等式3

5、的解集是Key(2,4)兀17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3,则圆台的体积与球体积之比为.第3页共11页73Key32jiy=sin(x-)cosx18 .函数6的最小值3Key419 .直线l过抛物线yKey420.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）.Key14421.（本小题满分7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为z12223a（其中。为原点），已知Z2对应复数经Z2=1+V，3i，求Z1和Z3对应的复数。Key本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力.解:设

6、Z1,Z3对应的复数分别为z1,z3，依题设得1二二Zi-Z2cos()isin().2441.2弋2=.2(1印(万.31.3-1.二i,227.,：:Z2(cosisin-)244_12.2.、-(13i)(i)221-313.二i2222.(本小题满分10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50白值.Key第4页共11页=a（x+1）（a>0）的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4,则Z3a=.本小题主要考查三角恒等式和运算能力.解：1 .1一.原式=_(1_cos40)(1cos100)sin20cos502 2，1

7、，一1，一=1(cos100-cos40)(sin70-sin30)2 23 1=sin70sin30sin704 23-423.(本小题满分12分)如图,圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF，DE,F是垂足.E(1)求证:AF±DB;(2)如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3冗，求直线DE与平面ABCD所成的角.Key本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力证明:根据圆柱性质，DAL平面ABE.EBU平面ABE.DAXEB.AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，.AELEB,又AEAAD=A,故得EBL平面DAE.AFU平面DAE.EB

8、XAF.又AJDE,且EBADE=E,故得AF，平面DEB.DBU平面DEB.AFXDB.(2)解:过点E作EH，AB,H是垂足，连结DH.根据圆柱性质，平面ABCD，平面ABE,AB是交线.且EH匚平面ABE,所以EHL平面ABCD.第5页共11页D又DH仁平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而/EDH是DE与平面ABCD所成的角.设圆柱的底面半径为R,则DA=AB=2R,于是V圆柱=2几R3,12R2Vd-abe=3AD-Saabe=3,EH由V圆柱:VD-ABE=3Tt彳4EH=R,可知H是圆柱底面的圆心AH=R,DH=/DA2AH2uJ5R,DHZEDH=arcctg

9、j-j-二arcctg524.(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克.根据市场调查，当8&X014时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000(xt-8)(x-8,t-0),Q=50040-(x-8)2(8<x<14)当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？Key本小题主要考查运用所学数学知识和方法

10、解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.解:(1)依题设有1000(xt-8)=50040-(x-8)2化简得5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式=800-16t20时，x=8-4t±2-50-t2可得55由0,t0,80x&14彳马不等式组:第6页共11页0EtE同4 2（争<8t+-V50-t2<145 50MtM508<8-4t-2.50-t2<1455解不等式组，得仁二加，不等式组无解.故所求的函数关系式为x=8-3250-t255函数的定义域为0,而为使xW10,应有8-3+气50

11、-t2<1055化简得t2+4t-5>0.解得t学1或t0-5,由t0知t>1.从而政府补贴至少为每千克1元.25.（本小题满分12分）设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.lgSnlgSn2o"1gsn1(1)证明2；(2)是否存在常数c>0,使得lg(Sn-C)lg(Sn2_c)；lg(Sn.1-C)成立？并证明你的结论.Key本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力.证明:设an的公比为q,由题设a1>0,q>0.(i)当q=1时,Sn=na1,从而SnSn嚏-S2书na1(n2)a1

12、-(n1)2a2-a；:0S(ii)当q*1时，_a1(1-qn)1-q从而第7页共11页SnSn2Sn12nn22n1x2(1-q)2ai(1-q)(1-q)ai(1-q)(1-q)22n=-a1q<0由(i)和(ii"Ssnsn+2<s2n+1.根据对数函数的单调性，知21g(SnSn)lgSn1lgSnlgSn.21c：lgSn1即2解:不存在.证明一:要使lg(Sn-c)lg(Sn2-c)2二lg(Sn1-c)成立，则有22,(Snc)(Sn电c)=(Sn4c)(1)=(Sn-C)0分两种情况讨论：(i)当q=1时，(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+i-c)2

13、=(nai-c)(n+2)ai-c-(n+1)ai-c2二-a12<0.可知,不满足条件，即不存在常数c>0,使结论成立.(ii)当qwi时,若条件成立，因为(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2nni2n1ai(1q)ai(1q)ai(1q)2=-c-c-c1-q1-q1-q=-aiqnai-c(1-q),且aiqnw0,故只能有ai-c(1-q)=0即c=ai/(1-q)此时，因为c>0,ai>0所以0<q<1.S但0Vq<1时，na1a1qn1-q1-q:二0,不满足条件(2),即不存在常数c>0,使结论成立。综合(i)、(ii)

14、,同时满足条件、的常数c>0不存在，即不存在常数c>0,使lg(Snc)lg(Sn2c)=lg(Sn1-c)第8页共11页证法二:用反证法，假设存在常数c>0,使lg(Sn-c)lg(Sn2-c)2=lg(Sn1-c)则有Sn-O0(1)Sn+-O0(2)Sn2-c0(3)2，一(Snc)(Sn2.一c)=(Sn1-1c)(4)由得SnSn+2-S2n+1=c(Sn+Sn+2-2Sn+i).根据平均值不等式及、知Sn+Sn+2-2Sn+1二(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)2.(Sn-c)(Sn2-2ai=0因为c>0,故式右端非负，而由(1)知，式左端

15、小于零，矛盾.故不存在常数c>0,使26.(本小题满分12分)已知椭圆2416,直线l:128,P是l上一点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上月满足|OQ|-|OP|=|ORI2当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.Key本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力解法一：由题设知点Q不在原点.设P、R、Q的坐标分别为(xP,yP),(xR,yR),(x,y),其中x,y不同时为零.当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组第9页共11页22xryr

16、2416yr_yXrX解得48x.(2x3y)2-2x23y2因x与xp同号或丫与同号，以及、知2x+3y>0,故点Q的轨迹方程为化1）十1）=1（其中x、y不同时为零）5531015所以点Q的轨迹是以（1,1）为中心，长、短半轴分别为2和3且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.解法二：由题设知点Q不在原点.设P,R,Q勺坐标分别为（Xp,yp）,（xR,yR）,（x,y）,其中x,y不同时为设OP与x轴正方向的夹角为a,则有第10页共11页2x23y2(2)248y2yR=T2222x3y由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组=112ypXpx解得24xxp二2x3y24y2x3y(4)当点P在y轴上时，经验证一式也成立.y2-y2=(.xRyR)2由题设IOQ|-|OP|=|OR|2彳马x2将一代入上式，化简整理得242(x2y2)248(x2y