2019年3月根源杯数学奥林匹克邀请赛试题含解析

1、“根源杯”数学奥林匹克邀请赛2019年03月一填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1.连续掷骰子两次得到的点数分别为以几，作向量。=（见”），则Q与向量8=（2019-2019）的夹角成为直角三角形内角的概率是.r(0x,y22.已知点4(2,2),/北,0)，0旦宴,满足1+1/工2,则川的取值范围是.3 .EIJQIIxr.W卮+LLy/a/a+z-1则*+2,2不2大什l为.4 .抛物线卜2的准线与轴交尸点力，过人作直线交抛物线户点M,N,点/?在抛物线对称轴上,且（而+乎）_!_立比则币的取值范国是.个.5 .三号实效T两足-1.则2“一12，一:，2,，一：这三个数中，入J

2、-1的数取公有6 .关于x的方程|12sinx+cos+2sint+1=cos2工的解集是.7 .助。1,02,，。100是1922,1923,，2021的任意排列，部分和数列S1=Sz=+。2，$3=+（12+。3，一,5100=+。2+,+。100若数列Sj（1J100）中的每一项都不能被3整除，则这样的排列有种.cc八8 .如图，设圆台的轴截面为等腰梯形48C。，其中/1B=18,CD=6.若圆台的高为8,PQ是卜底面与夹角为90。的苴径，则异面直线尸QOQ所成角的余弦值为.二解答题（本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9 .（本题满分16分）试确定是否存

3、在2019个实数满足:20192019(T)ElV1,i=1,2,，2019;川-川*=i=1=201810 .（本题满分20分）设数列%,/）满足:。0=M=1,fln+1=5fln+7bn,bn+l=7an+10fen证明:对任意的m,几N,Qyn+n+bm+n=amn+brnbn.11 .（本即满分20分）4,8是椭圆长轴的端点，过A作椭圆的切线人在，上任取一点夕，自。作椭圆的切线PC（。为切点），COJ力3于。.证明：线段P3过。的中点证明：如下图.“根源杯”数学奥林匹克邀请赛2019年03月-填空题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)1 .连续掷骰子两次得到的点数分别为m,m作向

4、量a=(m,n),则a与向量6=(2019,-2019)的夹角成为直角三角形内角的概率是.7解析：注意到8=2019(1,-1),故只需考虑q与向量(1,-1)的夹角。即可.由于均可取1,2,，6,故向量。有6x6=36个可能的位置.cos0=/7J7=0.1)0m-n/2m2+nvm2+n2-v2o(m-n)20上式显然恒成立，而不等式m-n0的解的个数为6+5+4+3+2+1=21.217所以，。与f的夹角成为直角三角形内角的概率是2=501/(0x,；y0,沙0,由：+-22,得(22)4在平面直角坐标系中，格出约束条件下的平面区域如下图所示阴影部分，其中不包括点M(2.0),N(0.2

5、).显然，火川取得最小值，p应在曲线c：a-;)卜-;)=上.下面求I。川的最小值：PA2=(x-2)2+(y-2)2=(_芍+(?/_；_?)+(v1)=1时，上式等号成立.1212+2)=9!A1VI2，解得y-2)=4l=经检验知，这两组解符合题意，因此，|。川min=等.又显然。在点八/或N时，|P川取得最大值2,但A1,N两点不在区域内.联立方程5-/5-4-5+/5r综上，归川的取值范围是3 .己知工,nWIR+,且+02+z=1,则g/+2zz的最大值为答案:今x2(y+2z)2=解析：由12+/=(12-，知汽2=(1z+一z-)，故(1一z+3/)(33z3y)(y+2z|(

6、y+2z)(1-z+y)+(3-3n-3g)+(0+2z)+(y+2z)=3因此，x/3叫+2x20,贝心21,皿+效=8k.设点3(0,b),MN中点为。(一4k,一共2+2),由IMA-oBC1MN=b=一4d一2V-6则|潟|的取值范围是(6,+oo).5 .已知实数满足abc=l,贝Ij2a-；,2b-这三个数中，大于1的数最多有个.bca答案：2.解析：假设2a-Qb-；,2c-：都大于1.由q机:=1,知a,b,c中至为有一本是正数，不妨设。0,则2c2c-l=c0a从而2626-1=60c因此a,Ac均为正数.由2b得由2a：l,得?一:1,即所以c2c/bbebc得c1.同理，

7、a1,6L2b=21b2c6 .关于x的方程|12sinx+cos+2sinx+1=cos2n的解集是.答案:xx=2A,兀+凡ArWZ.解析：由原方程得|1-2sinx+cos=cos2x2sini-1=-2sin2x-2sinx=2sinrr(sinx+1)0=1sinx1-2sinx+cosr0=1-2sinx+cost=-2sin2一2sinx=2cos2x-cosi-3=0=COS=:(舍去)，或cosz=1因此，所求方程的解集为/x=2kn+n1keZ.7 .设1,。2,-，。10。是1922,1923,-.2021的任意排列，部分和数列Si=+。2，$3=+。2+,Sioo=+。

8、2HF1()()若数列Sj（1wjw100）中的每一项都不能被3整除，则这样的排列有种.*099!x33!x34!答案：66!一一解析：令1922,1923,，2021=4（）U解U2,其中4内的元素模3与“，=0J2）同余,则也|=Ai|=33,1.A2I=34.设.除以3的余数为4（=1,2,，100）,则排列S=a1,如，aioo的部分和能否被3整除由排列S=用,心，aloo来决定,由于S中有33个0,33个1和34个2,于是,欲使S的任何部分和数列不能被3整除，则S中67个1和2组成的数列应为1,1,2,1,2,，1,2或2,2,1,2,1,，2.1,但也|=MJ+1,故只有第二种情况

9、才有可能.33个0除了研/0外，可放在其它任何位置，这样有C哥种放法.故满足要求的排列共有嗡X33!X33!x34!=99!x33!x34!66!8 .如图.设圆台的轴截面为等腰梯形A4。，其中小？=18,。=6.若圆台的高为8,PQ是下底面与43夹隹为60。的直径，则异面直线PC,OQ所成角的余弦值为.答案：.解析：M3析图，设异面直线PGOQ所成角为a,向量PC0Q的夹角为仇以下底面中心O为原点，所在直线为了轴建立空间直角坐标系，则于是。(3,0,8),。(一3,0,8),PQ99v/3nPC=髀竽,8）,QD=乙乙1郦析国避困2019i=l因此O-QD=1,而=/127JQ|=二解答题（

10、本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9 .（本题满分16分）试确定是否存在2019个实数回,2，。2。】9满足:20192019|q|V1,-1,2,，2019;I叫一生-2018i=li=l解析：假设存在满足题设条件的2019个实数包,做，曲02019设Z如=t09去掉绝对值符号，并分开其正负部，可记为t=ik2019左=q一jj=ti=lj=l其中，纵;如,92)，3/2019-*是，|。2019|的某个排列.从而，由条件得k2019-Jtg+Ei/j=2018+tt=ij=i故k2019-k修=1009+,yj=1009i=lj=l由于0w与1,OJ/Jg

11、=1009+t,2019-kyj=1009t=ij=i10 .（本题满分20分）设数列Qn,心满足:。=b（）=1,ttn-j-i=5。八+76n,6n+】=ian+106n证明：对任意的m/WN+bm+n=aman+bmbn.证明：固定m+n,下面证明:对任意的kwN,0WkWm+，有m+n+m+n=m+n+bm-nkk对k用数学归纳：当k=0时，结论显然:设卜=7、时，式成立,。什匕+rn+n=rn+nrr+rnnrr当k=r+1（rm+几）时,7/1+n-rl）brQm+n+m+nrr=（5n7n-Fnr1+7fem-f-nri）Qr+（7fl7n+nr1+lb-=a?.+nr】（5。/+76r）+r1（7。）、+10，、）=Q7.+nr1Qr+1+bmlr+l由式得,m+n+b”，+n=m+nrlr+1+rn-nrlr+1所以式得证.在式中取足=，得Qi+n+m+n=tnQn+616n11 .（本题满分20分）48是椭圆长轴的端点，过力作椭圆的切线/,在/上任取一点P,自产作椭圆的切线产。（C为切点），CDL46于。.证明：线段尸