2002年高考全国卷理科数学试题及答案

1、2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(理科)及答案本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.第1卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.(1)圆(x1)2+y2=1的圆心到直线y=，3x的距离是3(A)1(B)(C)1(D)<3221 .33(2)复数(一十i)3的值是22(A)-i(B)i(C)-1

2、(D)1(3)不等式(1+x)(1|x|)A0的解集是(A)x|0Mx<1(B)x|x<x¥1(C)x|-1<x<1(D)x|x<Ex#1(4)在(0,2元)内，使sinxcosx成立的x的取值范围是二二5二二二5二二5二3二、(A)(二,二)(/7)(B)(,H)(C)(-,-)(D)(二，n)U(7,7T)424444442k1.k1(5)设集合M=x|x=一+,k=Z,N=x|x=一+,k=Z,则2442(A)M=N(B)MuN(C)MnN(D)MN=0一八x=t2j一一一，一,(6)点P(1,0)到曲线,(其中参数twR)上的点的最短距离为J=2

3、t(A)0(B)1(C)42(D)2(7) 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是(A)3(B)-(C)3(D)-4555(8)正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为四,则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是(A)90°(B)60°(C)45°(D)30s(9)函数y=x2+bx+c(w0,y)是单调函数的充要条件是(A)b至0(B)b<0(C)b>0(D)b<0(A)8种(B)12种(C)16种(D)20种(12)据2002年3月5日九届人大五次会

4、议政府工作报告：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十？五”期间(2001年2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十？五”末我国国内年生产总值约为(A)115000亿元(B)120000亿元(C)127000亿元(D)135000亿元第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线.(13)函数y=ax在0,1上的最大值与最小值这和为3,则a=(14)椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=273(15)(x+1)(x2)展开式中x3的系数是x2111(16)已知f(x)=那么

5、f(1)+f(2)+f(-)+f(3)+f(-)+f(4)+f(-)=1 x234、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2 -(17)已知sin2a+sin2acosacos2a=1,口w(0,)，求since、tga的值.E(18)如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0<a<隹)(1)求MN的长；(2) a为何值时，MN的长最小；(3)当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角«的大小*(19)设点P到点(1,0)、(1,0)距离

6、之差为2m,到x、y轴的距离之比为2,求m的取值范围.(20)某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？(21)设a为实数，函数f(x)=x2+|xa|+1,xwR(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值.2(22)仅数列an满足：an+=annan+1,n=1,2,3，(I)当a1=2时，求a2,a3,a4并由此猜测an的一个通项公式;(II)当a1主3时，证明对所的n1,有an之n+2(ii)1a11a21a31an<1

7、2参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACDCBBCBABBC二、填空题(13)2(14)1(15)1008(16)72三、解答题(17)解：由sin22a+sin2ctcosot-cos2a=1,得22224sin二cos'：，2sin二cos二一2cos：-0222cos：(2sin二"sin：-1)=022cos：(2sin：-1)(sin：-1)=0、(0，5)sina十1#0,cos2a0=01，2sina-1=0,即sinot=2冗ot=6.一世,tg-(18)解(I)作MP/AB交BC于点P,NQ/AB交BE于点Q,连结PQ,依题意可得MP/

8、NQ,且MP=NQ,即MNQP是平行四边形.MN=PQ由已知CM=BN=a,CB=AB=BE=1.AC=BF=2,CPBQ=a2MN=PQ=.(1-CP)2BQ2=I®-号"I(0<a<行)(II)由(I)MN;322)22所以，当a=二时，MN2即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为2(III)取MN的中点G,连结AG、BG,AM=AN,BM=BN,G为MN的中点AG_LMN,BG_LMN,即/AGB即为二面角的平面角a又AG,6=BG=,所以,4由余弦定理有cos工二J62.62()()-14426644故所求二面角为=二1一arccos

9、一3(19)解：设点P的坐标为(x,y),依题设得山=2,即y=±2x,x#0|x|因此，点P(x,y)、M(-1,0)>N(1,0)三点不共线，得|PM|-|PN|卜：|MNt2|PM|-|PN|=2|m|0因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故22=12/21m1-m,x将y=±2x代入一士m_22、2m(1-m)2x=2，因1-m>01-5m所以1-5m20.-.5解得0：二|m|<5即m的取值范围为（_史_0）1）（0理）5'，5（20）解：设2001年末汽车保有量为bi万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆

10、，每年新增汽车x万辆，则b1=30,b2=b1x0.94+xbn1=bn0.94x2=bn0.942(10.94)x所以bn1=b10.94nx(1-0.940.942-0.94n)0.94n1-0.94x0.06自（30一0.06)0.94nx一一当30->0,即xE1.8时0.06bn1<bn-b1=30,x一当30-<0,即x>1.8时0.06数列>逐项增加，可以任意靠近x0.06)0.94n4=-0.06xxn1m二n-nim0.06(.0.06因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bnW60(n=1,2,3，)x一一一则<60,即xM3.6万辆

11、0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.(21)解：(I)当a=0时，函数f(x)=(x)由a3=4,得a4=a33a3+1=5+|x|+1=f(x)此时，f(x)为偶函数当a#0时，f(a)=a2+1,f(a)=a2十2|a|十1,f(a);f(-a),f(a);-f(-a)此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数一2123(11) (|)当xEa时，f(x)=xx+a+1=(x一)+a+24-1.则函数f(x)在(ia上单倜递减，从而函数f(x)在Sa上的取小值为-2f(a)=a+1.1 一13一1一右aA3,则函数f(x)在(-,a上的最小值为f(万)=z+a,且f(3)Mf(a).

12、2123(ii)当x之a时，函数f(x)=x+xa+1=(x+)a+24_1-一一1、3.1、.、右aW2,则函数f(x)在(-°0,a上的最小值为f(万)=%a,且f(万)<f(a)1.右一-2,则函数f(x)在上单倜递增，从而函数f(x)在a，F上的最小值为.2f(a)=a+1.13综上，当aE时，函数f(x)的最小值为a24.11一一2当一一<aW一时，函数f(x)的最小值为a+122.13当a>2时，函数f(x)的最小值为-+a.2.(22)斛(1)由a1=2,得a2=aa+1=32由a2=由此猜想an的一个通项公式：an=n+1(n>1),付a3=a2-2a21=4ak4=ak(akk)+1至(k+2)(k+2k)+1=2k+5至k+3也就是说，当n=k+1时，ak书之(k十1)十2据和，对于所有n±1,有an之n+2.(