与圆有关的最值范围问题

1、与圆有关的最值(范围)问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质.由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解.当然，根据教学要求的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等.本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结，希望能为学生在处理此类问题时提供帮助.类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆0：(x-3)2+y2=1上任一点，则PQ的最小值为.【分析】：这是求

2、解“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用.解：如图1,圆心C到直线y=x+1的距离d=2衣，圆半径r=1，故Q期r=221变题1:已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x3)2十y2=1上任一点，则Svqab的最小值为.【分析】本题要求SVqab的最大值，因为线段AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q至111AB的最小值”，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1.一一、一.一一一.1LLLL解：如图2,设hQ为Q至Mab的距离，则Svqab=-AB。=衣卜=亚(2j2+1)=4+j2

3、2变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解.因为PA2=PC2r2,故即求PC的最小值，即例1.解：如图3,PA2=PC2r2=PC2-1，:PCmin=2亚，.一PAnin变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x3)2+y2=1的切线PA,PB,A、B为切点，则当PC=时，/APB最大.【分析】/APB=/APC,故即求角/APC的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC的最小值，即例1.1=272时，解：如图4,./APB=/APC,sin/APC=,PCmi

4、n=2应，PCPCNAPC最大，即/APB最大.y变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x3)2+y2=1的切线PA,PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为.PA的最小值，问题又【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为转化为求切线段的最小值问题.1.斛：如图4,5g边形PACB=SAC+S左AB=2S出AB=2父3PAAC=PA,由式2可知,PAnin=J7,故四边形PACB面积的最小值为J7【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆

5、心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用.另：和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点，构造直销三角形“进行求解.也即将“两个动点的问题转化为一个动点的问题”.如下例.例2已知圆C：x2+y2+2x4y+3=0,从圆C外一点P(xyi)向该圆引一条切线，切点为M,0为坐标原点，且有PM=P0，求使得PM取得最小值的点P坐标.【分析】本题中，由于点P和点M均在动，故直接做很难求解.联系到PM是切线段，因此可利用PM2=PC2-r2将条件PM=P0转化为只含有一个变量P的式子即可求解.解：由题意，令P(x,y)，=pm2=PC22,.P

6、C22=PO2,即(x+1)2+(y2)2_2=x2+y2,化简得：2x4y+3=0.PM=PO,即求直线2x4y+3=0到原点0(0,0)的最小距离.2父04父0+3磊后易得PM的最小值为35.类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x、y满足x2+y2+2x-4y=0,求x-2y的最大值.【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值.22x-1+。5cos二解：(x+1)2+(y2)2=5,令0),则(11)(12t)PAPB=t=2t1-3_2、5-3t(当且仅当t=2,即2sin2:=-i时取等号)2

7、【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解.将几何问题代数化，利用函数思想求解.同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题.类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：(x+2)2+y2=4,过点A(1,0)做两条互相垂直的直线1l2,1i交圆C与E、F两点，L交圆C与G、H两点，(1) EF+GH的最大值.(2)求四边形EGFH面积的最大值.【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用半径2=半弦长2+弦心距2将EF+GH转化，难点是转化后要利用基本不等式的相关知识点.解：（1）令圆心C到弦EF的距离为di,到弦GH的距离为d2,则EF+GH=2(4-d12+J4_d22),又d；+d?2=CA2=1,由4J2,4d：8(d；d；)_81142一12一2一2(当且仅当d1=d2=2取等号)2故EF+GH2/8-=714(2) .EF_LGH,。72人力2一S四边形EFGH=2EFGH=2.4-d12,4-d2228(-2=7（当且仅当d1=d2=2取等号）2【解题回顾】本题（1）是利用albJa+b2,（2）是利用TabM-b,基本不等式2；22是求最值的基本方法.在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中，应把握两个“思想”：几