2018-2019学年江苏省无锡市宜兴市普通高中高二下学期期末数学(理)试题(解析版)

1、【详解】第 1 1 页共 1616 页2018-2019 学年江苏省无锡市宜兴市普通高中高二下学期期末数学（理）试题一、填空题1 1 已知集合A 1,2,3,B x| 2 x 3，则AI B _【答案】1, ,2【解析】 分析：直接利用交集的定义求解即可 详解：因为集合A 1,2,3,B x 2 x 3,所以由交集的定义可得A B 1,2,故答案为1, ,2点睛：本题考查集合的交集的定义，意在考查对基本运算的掌握情况，属于简单题2 2已知复数z 1 2i，其中i是虚数单位，则复数z的实部为_. .【答案】【解析】 根据模长公式求出z，即可求解【详解】Q z 12i, |z| J1222腐，复数

2、; 乙的实部为 7575. .故答案为：一5. .【点睛】本题考查复数的基本概念以及模长公式，属于基础题51 “3 3 .矩阵A的逆矩阵A1为7331【答案】887588【详解】第 1 1 页共 1616 页【解【解析】通过逆矩阵的定义构建方程组即可得到答案第3 3页共 1616 页AA1I, ,设A1a b，由题意可得:c d【点睛】本题主要考查逆矩阵的相关计算，难度不大E(X)E(X) 2.2.则a b _X0 03 36 6P12ab1【答案】181【解析】通过概率和为 1 1 建立方程a b，再通过 E(X)E(X) 2 2 得到方程3a 6b 2,2从而得到答案 【详解】【点睛】本题

3、主要考查分布列与期望相关概念，难度不大1 1 个英文字母和 1 1 个数字组成，且英文字母在前，数字在 后 已知英文字母是A，B，C，D，E这 5 5 个字母中的 1 1 个，数字是 1 1，2 2，3 3, 4 4，5 5,6 6，7 7，8 8，9 9 这 9 9 个数字中的一个，则共有 _ 个不同的编号(用数字作答)【答案】4545【解【解析】通过分步乘法原理即可得到答案(5,1) (a,c)15ac1b(5,1)(b,d)05b d0，即解得(7,3) (a,c)07a3c0c(7,3) (b,d)17b3d1d3818，因此A858由逆矩阵的定义4 4 某一智力游戏玩一次所得的积分是

4、一个随机变量X，其概率分布如表，数学期望根据题意可得方程组:ab12，解得a3a6b2b5 5 已知某种新产品的编号由第4 4页共 1616 页【详解】对于英文字母来说， 共有 5 5 种可能，对于数字来说，共有 9 9 种可能，按照分步乘法原理， 即可知道共有5 945个不同的编号 【点睛】本题主要考查分步乘法原理的相关计算，难度很小6 6 .在极坐标系中，已知两点P 2, Q 23,，则线段PQ的长度为 _ . .36【答案】4 4【解析】 可将点 P P 和点 Q Q 先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解【详解】X COS5根据，可将P 2 -化为直角坐标点为P 1.3，将Q 2

5、.3,化为ysi n36直角坐标点为Q 3,、3，从而PQ, 42024. .【点睛】本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大7.7. 若指数函数y f(x)的图象过点(2,4)，则f(3)_. .1【答案】丄8【解析】设指数函数为y ax, a 0且且a 1,代入点的坐标求出a的值，再求f的值 【详解】设指数函数为y ax,a 0且且a 11 1所以4=( (a)2, a刁，刁，f(x)(?)x. .1所以f(3)-.81故答案为丄8【点睛】本题主要考查指数函数的解析式的求法和指数函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力 8.8._用反证法证明命题如果x

6、 y 0，那么jx jy”时，应假设_ . .第5 5页共 1616 页【答案】、x, , y【解析】由反证法的定义得应假设：,x, y【详解】由反证法的定义得应假设：,X, y故答案为：、一x, y【点睛】本题主要考查反证法的证明过程，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力 9 9在ABC中，若BC AC, AC b, BC a，则ABC的外接圆半径rb?，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC中，2若SA SB SC两两垂直，SA a, SB b, SC c，则四面体S ABC的外接球半径R _2722【答案】 一b乞2【解析】 通过条件三条棱两两垂直，可将其

7、补为长方体，从而求得半径【详解】若SA SB SC两两垂直，可将四面体S ABC补成一长方体，从而长方体的外接球即r2 b2r22 2为四面体的外接球，于是半径R一b一-，故答案为一b一乞.22【点睛】本题主要考查外接球的半径，将四面体转化为长方体求解是解决本题的关键n1*1010 若2x nN的展开式中所有项的二项式系数之和为6464,则展开式中的x常数项是_ . .【答案】240240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项.n详解：2x 4的展开式中所有二项式系数和为2n64,，则n 6；x第6 6页共 1616 页则2x 2x

8、Jr展开式的通项公式为xxrr6 r 2rrr 6 r 6 3rTr 1C6(1) (2x)xC6(1 2 x,令6 3r 0，求得r = 2，可得展开式中的常数项是C； (1)24240,故答案为 240240.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质,属于基础题.1111.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为x cos ,参数方程是，(为参数)，直线I与圆C交于两个不同的点A、B，当点Py sin在圆C上运动时，PAB面积的最大值为_ . .【答案】2 12【解析】通过将PAB面积转化为以 ABAB 为底，P P 到 ABAB 的距离为高即可求解

9、【详解】直线I的直角坐标方程为：x y 1 0，圆C的直角坐标方程为:SPABmaxt 5,(t为参数)，圆C的4 t1，即圆第7 7页共 1616 页1AB hmax2【点睛】心为坐标原点，半径为1 1 因此圆心到直线的距离为因此AB 2.r2d22，设 P P 到线段 ABAB 的高为h，则hmax1，因此本题主要考查直线与圆的位置关系，面积最值问题 意在考查学生的转化能计算能力，难度中等 1212.已知函数f(x) x | x| 3x 1，若f(a)a222，则实数a的取值范围【答案】(2,1)第8 8页共 1616 页由题得f(a) 1 f a2所以x23x( (x【解析】设F (x)

10、 f (x) 1 x x 3x=2x23x (x0），再求函数的奇偶性和单0）调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解【详2I Ix设F(x) f3x( (x3x (x0）0），F（x）是奇函数，其函数的图像所以F(a) F a220, ,所以2F(a) F a 2a22, ,所以a22, a20, (a 2)(a 1) 0,第9 9页共 1616 页【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性及其应用，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力1313 已知直线- -1（a,b是非零常数）与圆x2y2100有公共点，且公共点a b的横坐标和纵坐标均为整数，那么这

11、样的直线共有 _ 条（用数字作答） 【答案】6060【解析】直线是截距式方程，因而不平行坐标轴，不过原点，考察圆上横坐标和纵坐标故答案为:(2,1)第1010页共 1616 页均为整数的点的个数，结合组合知识分类解答【详解】依题意直线x, y截距均不为 0 0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点,圆x2y2100上的横坐标和纵坐标均为整数的点有1212 个，分别为(6, 8),( 6, 8),(8,6),( 8, 6),(10,0),(0,10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；21212 个点过任意两点，构成C1266条直线，有4条垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条直线过原点(

12、圆上点的对称性)，满足条件的直线有52条. .综上可知满足条件的直线共有52 860条 故答案为：60. .【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，利用组合知识是解题的关键，注意直线截距式方程的限制条件，属于中档题 1414 在如图三角形数阵中，从第3 3 行开始，每一行除 1 1 以外，其它每一个数字是它上一行的左右两个数字之和 已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4:5:6，则这一行是第 _行(填行数) 【详解】第第2行行第第3行行第第5行行 第第術術15104110511561【答9898【解通过杨辉三角于是可得方程组，求出行数第111

13、1页共 1616 页答案为 98.98.【点睛】三角形数阵中，每一行的数由二项式系数Cn,k0,1,2,L n,组成. .如多第n行中有C：1k 4C：n k 15k 1Cn5，那么69k 4n 4，解得5n 11k 698，因此44本题主要考查杨辉三角,二项式定理,意在考第1212页共 1616 页难度中等. .二、解答题111515 .已知矩阵Mo1. .(1 1)求直线y =3x +1在M对应的变换作用下所得的曲线方程;(2(2)求矩阵 M M 的特征值与特征向量【答案】(1 1)3x 2y 1 0； (2 2)属于特征值1的一个特征向量为1，属于特征2值1的一个特征向量为【解【解析】(

14、1)设(xo,y)是直线y= 3x+ 1上任一点，在用矩阵变换关系，将xo, yo用x, y表示，代入y = 3x +(2(2)由特征多项式求出特征值，进而求出对应的特征向量【详解】(1)设(xo, yo)是直线y= 3x+ 1上任一点,f( ) o，得1或1，1时，对应的特征向量应满足2x y o，所以对应的一个特征向量为M变换作用下变为(x,y)，利1,即可求解;在矩阵M变换作用下变为(x,y)，则xoyoxoyoxxoxyoy，Q yo3xoy 3x 3y 1，3x 2y所以变3x 2y(2)矩阵M的特征多项式为f(21,第1313页共 1616 页1时，对应的特征向量应满足1矩阵M属于

15、特征值1的一个特征向量为2属于特征值1的一个特征向量为【点睛】属于基础题占八、(1) 当k 3时，求M,N两点的直角坐标；(2) 当k变化时，求线段MN中点P的轨迹的极坐标方程y26y 0,解得y 0，或y 6,当y 0时，x 0，当yM,N两点的直角坐标分别为(0,0),(23,6)；(2 2)直线I与曲线C有一交点为极点，不妨为M,y2y00，得y0，所以对应的一个特征向量为本题考矩阵的特征值和特征向量， 考查计算求解能力,1616 .在平面直角坐标系xOy中，直线I: y y kxkx，以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为8sin 设直线I与曲线C交于M,

16、N两【答案】(1 1)(0,0),(2 . 3,6); (2 2)【解析】(1 1)根据2x2y2, sin程，与直线I方程联立，即可求解(2 2)设P(,)，根据已知可得(2【详解】(1 1)由8sin得28 sin2 2x y 8y 0，联立4sin (0). .y，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方)在曲线C上，即可求解.3x2小y 8y0，消去x得，6时，x 23,第1414页共 1616 页设P(,)，则N(2 ,)在曲线C上,所以2 8sin，即4sin,因为M,N不重合，所以0所以线段MN中点P的轨迹的极坐标方程4sin (0)【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、轨迹方程，意在考

17、查逻辑推理、数学计算能力，属于基 础题. .21717.已知函数f x ax 2a 1 x lnx,a R. .(1) 若 a a 1 1，求函数y f x的图像在点1,f 1处的切线方程；(2) 讨论f x的单调性. .【答案】(1 1)6x y 20； (2 2)当a 0时，f f (x)(x)的递增区间是(0,)，当 a a 0 0 时,11f(x)f(x)的递增区间是(0,)，递减区间是(，). .2a2a【解析】(1 1)求出f (x)，当 a a 1 1 时，求出f (1),f (1)，写出切线的点斜式方程，整理 即可；(2 2)求出 f f (x)(x)的定义域，f (x) 0(

18、或f (x) 0)是否恒成立对a分类讨论，若恒成立，得到 f(x)f(x)单调区间，若不恒成立，求解f (x) 0, f (x) 0，即可得到结论. .【详解】1(1 1)f (x) 2ax (2a 1),x1当 a a 1 1 时，f (x) 2x丄3,f (1)6, f (1)4,x函数y f x的图像在点1,4处的切线方程为y 46(x 1),),即6x y 20；(2 2) f f (x)(x)的定义域为(0,1f (x) 2ax -(2 a 1)x当a 0时，f (x)0在(0,第1515页共 1616 页2ax2(2 a 1)x 1(2 ax 1)(x 1)x x，)恒成立，f(x

19、)f(x)的递增区间是(0,),1第1616页共 1616 页当 a a 0 0 时，f (x)10,0 X ,f(x)0,x丄2a2af(x)f(x)的递增区间是1(0,)，递减区间是(1,),2a2a综上，当a 0时，f(x)f(x)的递增区间是(0,),11当 a a 0 0 时，f f (x)(x)的递增区间是(0,)，递减区间是(,). .2a2a【点睛】本题考查导数几何意义，利用导数求函数的单调性，考查分类讨论思想，以及计算求解能力，属于中档题 1818 新高考方案的考试科目简称3 3 1 1 2 2 ”， “ 3 3 是指统考科目语数外，“1 1 指在首选科目物理、历史”中任选

20、1 1 门，“2 2 指在再选科目 化学、生物、政治和地理”中任选 2 2 门 组成每位同学的 6 6 门高考科目 假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选 择每门再选科目的机会相等 (I)求某同学选修物理、化学和生物”的概率；4(H)若选科完毕后的某次会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再53选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立 用表示该同学所选的 3 3 门课程4在这次会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望 【答案】(I) ； (n)详见解析 121 2【解析】(I)显然各类别中，一共有C2C412种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通过古

21、典概率公式即可得到答案；(n)找出的所有可能取值有 0 0, 1 1, 2 2, 3 3,依次求得概率，从而得到分布列和数学 期望 【详解】解：(I)记某同学选修物理、化学和生物 ”为事件A,因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等1第1717页共 1616 页则P(A)112，答：该同学选修物理、化学和生物的概率为112第1818页共 1616 页(D)随机变量的所有可能取值有 0 0, 1 1, 2 2, 3.3.所以的分布列为0 01 12 23 311339P8088020所以数学期望E()0801 10 2 33 3鲁盖【点睛】(i)求a2,a3的值;(n)当n 1时和n2时，可得到

22、一组a、b的值，于是假设该式成立，用数学归纳法证明即可8 81 - 003 3 - - 4 41 1 - - 4 41 1 - - 5 53 33 3一23 3 - - 4 41 1 - - 5 53 3 - - 4 41 1 - - 4 42)2)2 2本题主要考查分布列和数学期望的相关计算,生的分析能力和计算能力要求较高意在考查学生处理实际问题的能力，对学1919 已知数列an满足anan 114 2an 1n N*，(n)是否存在实数a,b，使得an1， 对任存在，求出实数a、b的值并证明你的结论；若不存在，请说明理由17【答案】(1)a2,a3； (n)存在实数a2541,b符合题意.

23、 .55【解i)由题意可整理为an 14 a.2 an，从而代入a12，即可求a2,a3的值;第1919页共 1616 页【详解】因为anan 1142an 1，整理得4岂an，ai2，代入得a2rla312122假设存在实数a、b,使得1时,2时,由解得:5F面用数学归纳法证明：1对任意正整数n恒成立. .存在实数a(1)1时,(2)k时,那么,ak 14ak2 aan结论显然成立假设存在k 1时,1k43152511对任意正整数n恒成立. .12512352使得ak1k32-11成立,5第2020页共 1616 页n13n对任意正整数n恒成立. .ab2【点睛】本题主要考查数学归纳法在数列

24、中的应用，意在考查学生的计算能力，分析能力，逻辑 推理能力，比较综合，难度较大 m2020 .已知fm(x)cmxkn Nk 12019(I)计算fk( 1)的值;k 1(n)若g(x) f4(x) 2fs(x) 3f6(x) 4f7(x)，求g(x)中含x4项的系数;(川)证明：採1 223Cm 3LnCm n(m 2)n 1pm 2Cm n 1m 3【答案】(I)-2019-2019； ( n )196196;(川)详见解析. .【解析】(I)由于fn(x)nc；xkcnx1Lk 1C：xn(1nx)1，代入-1-1 即可求得答案；(n)由于g(x) f/x)2fs(x) 3f6(x) 4f7(x)(1 x)42(1 x)53(1x)64(1 x)710，利用二项式定理即可得到x4项的系数;(川)可设h(x) (1 x)m 12(1 x)m 2L L简即可得证【详解】即当n k 1时，存在a111成立4,b1*k 143k 155525由( 1 1) (2 2)得:存在实数aann(1 x)m n，找出含xm 1项的系数,利用错(1