第6章离散信号与系统的频域分析ppt课件

1、第6章 离散信号与系统的频域分析 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数周期信号的离散时间傅里叶级数6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换 6.4 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质 6.5 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 6.6 DFT的性质的性质 6.7 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)简介简介 6.8 离散系统的频域分析离散系统的频域分析 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数周期信号的离散时间傅里叶级

2、数 kNjnnekNkfkf2)()()(, 2, 1, 0nkNjnkNrNnjee22)(第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1.1 离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数 一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有 tjnnTTtjnenFtfdtetfTnF)()()(1)(22第6章 离散信号与系统的频域分析 式中， 为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。 若设其基波频率为，将积分区间由 移到0T，则上式可写为 T2Tf1122TTtTjnnTtTjnenfFtfdtetfTnfF21021)()()(1)(第6章 离散信号与系统的频域分析 DFS的输入是一个数列，而

3、不是时间连续函数。数列通常是以周期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1 - 4)的符号作如下的演变： 100,NkTNNNTdtkTtNTT于是得到 102102)(1)(1NkknNjNkNTkNTjnNnekfNTekfNTFNN第6章 离散信号与系统的频域分析 NkknNjnekfNF2)(1NnknNjneFkf2)(6.1-7

4、)第6章 离散信号与系统的频域分析 与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足 nnFF*第6章 离散信号与系统的频域分析 6.1.2 离散时间周期信号的频谱离散时间周期信号的频谱 图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列 第6章 离散信号与系统的频域分析 01)(kf211NkNNk应用式(6.1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1 - 7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的， 因而，

5、宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为 第6章 离散信号与系统的频域分析 NNnNnNNNeeeNeNFnNjNnNjnNNjNNkkNjnn12sin212sin111111212221111）（n0, N, 2N, n=0, N, 2N, (6.1-11)第6章 离散信号与系统的频域分析 据式(6.1 - 11)就可画出f(k)的频谱图，但此频谱图的绘制比较困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图，我们采用与连续时间矩形脉冲信号频谱绘制相似的方法， 先分析Fn的包络。 为此，将(6.1 - 11)式中的 用连续变量来代换， 即有 nN2nNnNNF212/sin2/) 1

6、2sin(1n0, N, 2N, 第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.1-2 周期矩形脉冲序列的频谱 第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.1-3 N=10, N1=1时矩形脉冲序列的频谱 o22N112N2N10N11N2N11第6章 离散信号与系统的频域分析 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.2.1 离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 图 6.2-1 离散时间信号 Nk N10N1(b)k N10N1(a)fN(k)Nf (k)第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.2 - 1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷

7、大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。 0)()(kfkfN|k|N1|k|N1 据DFS的定义，图 6.2 -1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数表示式为 NnknNjnNNnnkNjnNekfNFeFkf22)(1)(第6章 离散信号与系统的频域分析 由图 6.2-1(a)可知，当 时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为 21NkN112)(1NNkknNjNnekfNF又由于当|k|N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为 112)(1NNkknNjnekfNF第6章 离散信号与系统的频域分析 则有 112)(NNkknNjnekfNFkkjjek

8、feF)()(NjnneFNF200)(1第6章 离散信号与系统的频域分析 nkjjnNnNeeFNkf00)(1)(000)(21)(nkjjnNnNeeFkf2)(21)(deeFkfkjj第6章 离散信号与系统的频域分析 kjkjkjjekfeFdeeFkf)()()(21)(2kkf)()()()(jjjeeFeF第6章 离散信号与系统的频域分析 6.2.2 常用信号的离散时间傅里叶变换常用信号的离散时间傅里叶变换 1. f(k)=ak(k)， |a|1 指数序列指数序列ak(k)示于图示于图 6.2 - 2，其频谱函数应用式，其频谱函数应用式(6.2 - 11)可直接求得：可直接求得

9、： jaeaeekaefkkjkjkkj11)()(）（其幅度谱和相位谱示于图 6.2 - 2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2为周期的周期函数。因而一般只要画出02或-的谱线即可。 第6章 离散信号与系统的频域分析 2. kkaakf0)(000kkk(0a1)此信号为双边指数序列，并且是k的奇函数。由式(6.2 - 11)可得 21111cos21sin211)(aanjaaeaeaeaeeaaeeaeaeFjjjjkkjkkkjkkjkkjkkj（第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.2-2 ak(k)及其频谱 (a)0a1;(b)-1a0oak(k)0 a1oak(k)1 a011

10、kkF (ej)11 a2F (ej)11 a11 a2oo2oarctan1 a2a(a)2oarctan1 a2a(b)arctan1 a2aarctan1 a2a11 a第6章 离散信号与系统的频域分析 3. 矩形脉冲信号矩形脉冲信号f(k) 01)(kf11NkNk2sin21sin1)(111NeejFNNkkj第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.2-3 矩形脉冲信号及其频谱 f (k)ok1N1N122oF(ej)(a)(b)5第6章 离散信号与系统的频域分析 4. 单位脉冲序列单位脉冲序列(k) kkjjekeF1)()(图 6.2-4 单位脉冲信号(k)及其频谱 (k)o

11、k1o1F(ej)2 2第6章 离散信号与系统的频域分析 5. f(k)=1 21)(21)2(212dedenkjkjn由此可见， 对应的离散时间傅里叶变换为 ，因此可得，1的频谱为 ，即 21nn)2(nn)2(2)2(2 1 nFn第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.2-5 序列1及其频谱 f (k)ok1oF(ej)22( 2)2()22( 2)(a)(b)第6章 离散信号与系统的频域分析 6. 正负号函数正负号函数Sgn(k) 101)(kSgn000kkk第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.2-6 正负号序列Sgn(k) Sgn(k)ok11cos1sincos2sin

12、2lim)sgn(21jaajakFa第6章 离散信号与系统的频域分析 7. 单位阶跃序列单位阶跃序列(k) 01)(k00kk对照连续信号(t)频谱的求法， 我们将(k)表示为下面的形式： )()sgn(1 21)(kkk由前面的讨论已经知道： cos1sin)(1)()2(21jkSgnknn第6章 离散信号与系统的频域分析 于是有njnjjjnjnneneeenenjkF)2(11)2(111)2()cos1 (21)2(cos1sin121)(）（第6章 离散信号与系统的频域分析 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换周期序列的离散时间傅里叶变换 )(2)(nFjFnnknNjNnneF

13、kf2)(knNjNknekfNF2)(1第6章 离散信号与系统的频域分析 我们已经知道，f(k)=1是一个周期信号，其对应的离散时间傅里叶变换为 )2(2 1 nFn 图 6.3-1 所示的频谱可表示为 )2(2)(0meFnj第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.3-1 f(k)=e j0k的频谱 oF(ej)4 20 4 400 2(220第6章 离散信号与系统的频域分析 将F(ej)代入式(6.2 - 10)可求得 kjkjedekf0200)()(从而得到复指数序列e j0k的离散时间傅里叶变换为 )2(20mm对于复指数序列 ，若设 ，则有 的离散时间傅里叶变换为 nkNje2

14、02N)2(2)(00mneFmnkj第6章 离散信号与系统的频域分析 NmmnjmnFeF)2(2)(0N20如果将n的取值范围选为n=0N-1， mNMmjmNFmFmFeF)2) 1(2)2(2)2(2)(01010N20第6章 离散信号与系统的频域分析 式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式： )(2)(0nFeFnnjN20)2(2)(nNFeFnnj离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)，即有 第6章 离散信号与系统的频域分析 例例 6.3-1 求求f(k)=cos0k的离散时间傅里叶变换。的离散时间傅里叶变换。 解解由于由于 kjkjeekkf0021cos)

15、(0)2()2()(00mmeFnj同样可得 mmmjk)2()2(sin000第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.3-2 cos0k的频谱 oF(ej)200220200220第6章 离散信号与系统的频域分析 例例 6.3-2 f(k)为图为图 6.1 - 1 所示的周期性矩形脉冲序列，它所示的周期性矩形脉冲序列，它在在 的一个周期中可表示为的一个周期中可表示为 22NN01)(kf211NkNNk求其离散时间傅里叶变换。 解解 周期序列周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数的离散时间傅里叶级数系数Fn如式如式(6.1-11)所示，即所示，即 NNnNNNNFn12sin212sin

16、111n=0, N, 2N, n0, N, 2N, 第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.3-3 周期矩形脉冲序列的频谱(N=10, N1=2) o22N112N2N2N11第6章 离散信号与系统的频域分析 6.4 离散时间傅里叶变换的性质离散时间傅里叶变换的性质 1. 周期性周期性 离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)对来说总是周期性的，其周期为2。这是它与连续时间傅里叶变换的根本区别。 第6章 离散信号与系统的频域分析 2. 线性线性 假设 ,)(,)(2211jjeFkfeFkf则有 )()()()(2121jjebFeaFkbfkaf第6章 离散信号与系统的频域分析 3.

17、 的奇偶性)(jeF,)(jeFkf假设 则据定义式(6.2 - 11)有 )(*)(jkeFf若f(k)为实序列，则f(k)=f*(k), 于是有 ,*)(jeFkf此式可进一步表述如下。假设 )()()()()(jjjjjejXeReeFeF第6章 离散信号与系统的频域分析 4. 时移和频移时移和频移 如果f(k) F(ej)，对f(k-k0)直接应用式(6.2 - 11)求离散时间傅里叶变换并通过变量代换可得时移特性 0)()(0kjjeeFkkf 如果对F(ej(-0)应用式(6.2 - 10)求其傅里叶反变换，利用变量代换就得频移特性 )()(00(jkjeFkfe）（nFn22 1

18、 例如， 应用频移性质， 显然有 nkjne)2(200第6章 离散信号与系统的频域分析 5. 时域和频域的尺度变换时域和频域的尺度变换 对于离散时间信号f(k)，由于k只能取整数，因而f(ak)中a也只能取整数，而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压缩1/a。比如当a=2时，f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列，因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质， 我们定义一个信号f(m)(k) 0)()(mkfkfmk是m的倍数 k不是m的倍数 (m为整数) 第6章 离散信

19、号与系统的频域分析 f(m)(k)序列相当于将f(k)在k轴扩展而得。 )()()(kfmkfmf(m)(k)的离散时间傅里叶变换F(m)(ej)为 )()()()()()()()()(jmrrmjrrmjmkkjmjmeFerfermfekfeF第6章 离散信号与系统的频域分析 这样就得到离散时间傅里叶变换的尺度变换性质， 即 若f(k) F(e j), 则有 )()()(jmmeFkf作为特例，当m=-1时， 有 )()(jeFkf尺度变换性质表明，对离散序列，当序列在时域里“拉长”， 其对应的傅里叶变换在频域里就“压缩了。 第6章 离散信号与系统的频域分析 6. 频域微分特性频域微分特性

20、 若f(k) F(ej)，即有 kkjjekfeF)()(把上式两端对求微分，可得 kkjjekfjkdedF)()()(因而，两端乘j, 就有 dedFjkkfj)()(第6章 离散信号与系统的频域分析 7. 卷积卷积(和和)特性特性 若f1(k)F1(ej), f2(k) F2(ej)，应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法，可得时域卷积特性 )()()()(2121jjeFeFkfkf对于频域卷积特性，由于 kkjekfkfkfkfF)()()()(2121deeFkfkjj)(21)(211第6章 离散信号与系统的频域分析 所以 kjKkjjedeeFkfkfkfF212

21、21)(21)()()(交换求和及积分次序， 有 deFeFdekfeFkfkfFjjkjkj)()(21)()(21)()()(221)(22121上式右端为F1(ej)与F2(ej)的卷积。只不过由于F1(ej)与F2(ej)都是以2为周期的周期函数，其卷积结果亦为以2为周期的周期函数，因而称之为周期卷积。记为 )()(21)()(2121jjeFeFkfkf第6章 离散信号与系统的频域分析 f (k)ok1f(2)(k)ok1f(3)(k)ok122oF(ej)22oF(ej2)oF(e j3)225图6.4-1 尺度变换特性第6章 离散信号与系统的频域分析 8. 差分与迭分差分与迭分(

22、累和累和) 设f(k) F(e j)，根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质， 即 )()1 () 1()(jjeFekfkf离散序列迭分的傅里叶变换为 nkmjjjneFeeFmf)2()(1)()(6.4 - 15)第6章 离散信号与系统的频域分析 当f(k)=(k)时， ),()(kmkm 由于 1)(k应用式(6.4 - 15)的迭分特性， 可得 )2(11)(neknj第6章 离散信号与系统的频域分析 9. 巴塞瓦尔定理巴塞瓦尔定理 与连续时间信号的情况一样，在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。 即 若f(k) F(ej)，则有 deFkfjk222)(21)

23、(对于周期序列，则相应有 NnnNkFkfN22)(1第6章 离散信号与系统的频域分析 10. 对偶性对偶性 假设 )()(jFtfF则有 )(2)(fjtFF若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ej)， 即 kjkjekfeF)()(第6章 离散信号与系统的频域分析 F(ej)是周期为2的频域周期函数，其对应的F(ejt)也是以2为周期的时域周期函数。我们将周期信号F(ejt)展开为连续时间傅里叶级数，注意到周期T=2，基波频率 ，于是有 12TnjntjtenAeF)()()()()()(nfnAnAnf或因此有：若f(k) F(ej)，那么 )()(nfeFCFSjt第6章 离

24、散信号与系统的频域分析 例例 6.4-1 已知一周期为已知一周期为2的连续时间周期信号的连续时间周期信号f(t)的傅里叶的傅里叶级数系数为级数系数为 01nF其余1Nn 求周期信号f(t)。 解解 由题可知，由题可知，Fn可看作是一个离散时间脉冲序列。其离可看作是一个离散时间脉冲序列。其离散时间傅里叶变换如式散时间傅里叶变换如式(6.2 - 15)所示，即为所示，即为 ， 因而，因而， 依据对偶关系，依据对偶关系， 就有就有 2sin21sin1N2sin21sin)(1ttNtf第6章 离散信号与系统的频域分析 如果将对偶性的讨论应用于离散时间傅里叶级数， 则可得到与连续信号傅里叶变换相对应

25、的对偶性。 将周期序列f(k)的傅里叶级数系数表示为F(n)， 则有 NknkNjekfNnF2)(1)(如果把上式中的k与n对换， 则有 NkknNjenfNkF2)(1)(n换为-n, 则得 NnknNjenfNkF2)(1)(第6章 离散信号与系统的频域分析 上式表明，离散序列F(k)的离散时间傅里叶级数系数为 。 上述结论可记为 )(1nfN若f(k)F(n)，则有 DFS)()(nFkFDFS这一对偶性意味着：离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其相应的对偶性质。这与连续时间傅里叶变换的情况一样。 比如，对于下式所示性质： nkNjnDFSeFkkf020)(则与其对偶的性质为 mnD

26、FSFkmkfNje)(2第6章 离散信号与系统的频域分析 6.5 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT) 图 6.5-1 产生离散傅里叶变换对的图解说明 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.5.1 离散傅里叶变换的引入离散傅里叶变换的引入 假定f(k)是一个有限长序列，其长度为N，即在区间0kN-1以外，f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k)， 则有 rprNkfkf)()( (r为整数) Npkfkf)()(上式还可写为 第6章 离散信号与系统的频域分析 符号(k)N表示将K域序列以周期N延拓。为了便于记述，我们定义矩形脉冲序列 GN(k)： 01)(kGN其

27、余10Nk于是可以将周期序列fp(k)与有限长序列f(k)的关系表示为 )()()()(kGfkfkfkfNpNp第6章 离散信号与系统的频域分析 周期序列fp(k)的离散时间傅里叶级数表示式为 102)(1NkknNjpnekfNF102)(NnnkNjnpeFkF如果将NFn表示成Fp(n),并令 ， 则上两式可改写为 NjNeW210)()(NkknNppWkfnF10)(1)(NnnkNppWnFNkf第6章 离散信号与系统的频域分析 式中，常数系数1/N置于DFS的正变换或反变换式中，对DFS变换无任何实质影响。 如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n), 0nN-1，由于以

28、上两式的求和范围均为0N-1，在此区间内fp(k)=f(k)，因而，“借用离散傅里叶级数的形式可以得到 10)()(NknkNWkfnF10)(1)(NnnkNWnFNkf0nN-1 0kN-1 式中: NjNeW2(6.5 - 9)(6.5 - 10)第6章 离散信号与系统的频域分析 式(6.5 - 9)和式(6.5 - 10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变换。它表明，时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。很显然，DFT与DFS之间存在以下关系： )()()()()(nGnFnFkFnFNpNp 与连续时间傅里叶变换的情况类似，DFT的正、反变换之间存在一一

29、对应的关系。或者说，IDFTF(n)是惟一的。对此可作如下证明。 第6章 离散信号与系统的频域分析 1010)(10101)()(1)(NmNnkmnNnkNmmnNNnWNmfWWmfNnFIDFT由于 01110)(NnkmnNWNm=k+MN mk+MN (M为整数) 所以，在区间0N-1有 )()(kfnFIDFT0kN-1 由此可见式(6.5 - 10)定义的离散傅里叶反变换是惟一的。 可记为 )()(nFkfDFT第6章 离散信号与系统的频域分析 例例 6.5-1 有限长序列有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其时，试分别求其DFT。

30、解解 设设N=4, 则据式则据式(6.5 - 9)有有 4sinsin111)()(432230423044nneeeeWkGnFnjnjnjknkjknk同样,当N=8时nneWkGnFnjknkjknk8sin2sin8)()(8330827084n=0,1,7第6章 离散信号与系统的频域分析 nneWkGnFnjknkjknk16sin4sin8)()(16330162150164当N=16时n=0,1,15 由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。第6章 离散信号与系统的频域分析 设序列f(k)的长度为N，据式(6.2-11)可求得f(k)的离散时间傅里叶变换

31、10)()(NkkjjekfeF而f(k)的离散傅里叶变换为 10210)()()(NknkNjNknkNekfWkfnFnNjeFnF2)()(0nN-1 第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.5-2 F(n)与F(ej)的关系 o2F(ej)no1F(n)N423no1F(n)N8263457noF(n)N162128106144第6章 离散信号与系统的频域分析 6.5.2 DFT的计算的计算 其计算过程可写成矩阵形式，即其计算过程可写成矩阵形式，即第6章 离散信号与系统的频域分析 设 )(modNlkn lrNkn l均为整数 式中，r是kn被N除得的商数，l是余数。所以有 lrNl

32、rNNknNWWWWlrNkn由于 122rjrNNjrNNeeW所以有 lNrNNWW第6章 离散信号与系统的频域分析 表 6.1 按模 8 计算的kn值 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.6 DFT的性质的性质)()(nFkf1. 线性线性 假设 f1(k) F1(n), f2(k) F2(n)，那么 )()()()(2121nbFnaFkafkaf式中，a, b为任意常数。 第6章 离散信号与系统的频域分析 2. 对称性对称性 假设 f (k) F(n), 那么 )()(1nfkFN此性质可以由式(6.5 - 10)互换变量k和n而证得。 第6章 离散信号与系统的频域分析 3. 时移

33、特性时移特性 )()(kGmkfNN 有限长序列f(k)的时移序列f(k-m)，从一般意义上讲，是将序列f(k)向右移动m位。即将区间0N-1的序列f(k)移到区间mN+m-1。 由于DFT的求和区间是0到N-1，这就给位移序列的DFT分析带来困难。 我们这里所讨论的时间位移并不是指上述一般意义上的位移，而是指循环位移(亦称圆周位移)。所谓循环位移，实质上是先将有限长序列f(k)周期延拓构成周期序列fp(k)，然后向右移动m位得到fp(k-m)，最后取fp(k-m)之主值。这样就得到所谓的循环位移序列fp(k-m)GN(k)。一般可记为 第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.6-1 有限长

34、序列的循环位移 of (k)N 1ofp(k)N 1kkof (k 2)NGN(k)N 1k第6章 离散信号与系统的频域分析 DFT分析中的时间循环位移特性告诉我们： 若f(k) F(n)，那么 )()()(nFWkGmkfmnNNN上述结论可直接对位移序列f(k-m)NGN(k)求DFT得到。 第6章 离散信号与系统的频域分析 4. 频移特性频移特性 频移特性表明，若时间序列乘以指数项 , 则其离散傅里叶变换就向右循环位移l单位。这可看作调制信号的频谱搬移， 因而也称为调制定理。 lkNW 若f(k) F(n)，那么 有)()()(nGlnFWkfNNlkN第6章 离散信号与系统的频域分析

35、5. 采用的采用的IDFT 这个性质的意义在于，利用DFT正变换的算法既可计算其正变换，又可计算其反变换，这就为DFT的计算带来了程序通用化的方便。 若f(k) F(n)，那么 有*)(*(1)(nFDFTNkf第6章 离散信号与系统的频域分析 6. 时域循环卷积时域循环卷积(圆卷积圆卷积) 我们知道，卷积在系统分析中起着非常重要的作用。两序列f1(k)和f2(k)(长度分别为L和M)的卷积得到长度为L+M-1的另一个序列， 即 mmkfmfkfkfkf)()()(*)()(2121k=0，1, 2， , L+M-2 第6章 离散信号与系统的频域分析 这就是所谓的线卷积。而这里所讨论的是循环卷

36、积，也称圆卷积。循环卷积的含义为：两长度均为N的有限长序列f1(k)和f2(k)，其循环卷积结果仍为一长度为N的序列f(k)。循环卷积的计算过程与线卷积相似，只不过求和式中的位移项f(k-m)应按循环位移处理。因而，有限长序列f1(k)与f2(k)的循环卷积可记为 )()()()()()()()(1102210121kGmkfmfkGmkfmfkfkfNNNmNNNm第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.6-2 线卷积与圆卷积比较 0f1(k)1k2 31N40f2(k)1k2 31M64 501k2 314 50f1(k)1k2 31N扩为60f2(k)1k2 31M64 501k2 3

37、44 54 56 7 84(a)(b)0f1(k)1k2 31N扩为90f2(k)1k2 3M扩为94 501k2 314 5 6 7 84(c)4 5 6 7 86 7 8f1(k)*f2(k)f1(k)*f2(k)f1(k)*f2(k)第6章 离散信号与系统的频域分析 在DFT中，循环卷积(圆卷积)具有如下的性质： 若f1(k) F1(n)，f2(k) F2(n)，则有 )()()()(2121nFnFkfkf对原序列应作如下处理：对长度分别为L和M的有限长序列f1(k)和f2(k)用补零的方法将其开拓成长度为NL+M-1的增广序列 和 )(1kf)(2kf0 , 0 , 0),1(,),

38、2(),1 (),0()(0 , 0 , 0),1(,),2(),1 (),0()(2222211111MffffkfLffffkf第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.6-3 应用DFT求序列f1(k)与f2(k)的线卷积 序列末尾至少加M1 个0f1(k)长L序列末尾至少加M1 个0f2(k)长MN点DFTf1(k)长度NL M 1f2(k)长度NL M 1N点DFTF1(n)F2(n)F2(n)N点IDFTf1(k)*f2(k)F1(n)于是，增广序列 与 的循环卷积就得到长度为NL+M-1的序列 , 与原序列线卷积的结果相同。 对于增广序列的循环卷积显然可以应用DFT处理。 )(1

39、kf)(2kf)(kf)(kf第6章 离散信号与系统的频域分析 7. 频域循环卷积频域循环卷积(频域圆卷积频域圆卷积) 若f1(k) F1(n)，f2(k) F2(n)，则有 )()(1)()(2121nFnFNkfkf式中： )()()()()()()()(1210211021nGlnFlFnGlnFlFnFnFNNNlNNNl第6章 离散信号与系统的频域分析 8. 奇偶虚实性奇偶虚实性 设f(k)为实序列，f(k) F(n)，令)()()(njFnFnFir式中，Fr(n)是F(n)的实部，Fi(n)是F(n)的虚部。由DFT的定义式可写出 10101022sin)(2cos)()()(N

40、kNkNkknNjnkNkfjnkNkfekfnF于是有 10102sin)()(2cos)()(NkiNkrnkNkfnFnkNkfnF第6章 离散信号与系统的频域分析 由此可见，实序列的离散傅里叶变换为复数， 其实部为偶函数， 虚部为奇函数。 若实序列f(k)为k的偶函数， 即 )()()(kGkfkfNN)()()(nGnFnFNNrr)()()(nGnFnFNNii上面讨论的性质可用如下的表示式说明： 第6章 离散信号与系统的频域分析 即，对于实数序列，其变换式的实部为n的偶函数，虚部为n的奇函数。 由此可知，F(n)与F(-n)呈共轭关系， 即 )()(*)(nGnFnFNN由于F(

41、n)具有周期性，故F*(-n)NGN(n)=F*(N-n)，因而，式(6.6 - 17)可写为 (6.6 - 17)(*)(nNFnF式(6.6 - 18)的共轭关系反映其模相等， 幅角(arg)反号，即 (6.6 - 18)(arg)(arg)()(nNFnFnNFnF第6章 离散信号与系统的频域分析 图 6.6-4 实序列DFT的|F(n)|对称分布示例 n01F(n)N82583467n01F(n)N7253467第6章 离散信号与系统的频域分析 若f(k)为纯虚序列，它的DFT F(n)也可分解为实部和虚部之和， 仍以式(6.6 - 11)表示。容易证明，Fr(n)是n的奇函数， 而F

42、i(n)是n的偶函数。即纯虚序列的离散傅里叶变换为复数， 其实部为奇函数, 虚部为偶函数。同样可证，虚偶函数的DFT是虚偶函数，而虚奇函数的DFT为实奇函数。因而, 对于纯虚序列有 )(*)(nNFnF第6章 离散信号与系统的频域分析 9. 巴塞瓦尔定理巴塞瓦尔定理若f (k) F (n)，则有 102102)(1)(NnNknFNkf如果f(k)为实序列，则有 102102)(1)(NnNknFNkf 巴塞瓦尔定理表明，在一个频域带限之内， 功率谱之和与信号的能量成比例。 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.7 快速傅里叶变换快速傅里叶变换(FFT)简介简介 10)()(NkknNWkfn

43、F10)(1)(NnknNWnFNkf第6章 离散信号与系统的频域分析 6.7.1 DFT矩阵矩阵WE及其因子化及其因子化 当N=8，kn值以模8运算，据定义式有：第6章 离散信号与系统的频域分析 显然，这样的方程式用矩阵表示更为简明方便。一般情况下， 我们可将DFT的定义式写成矩阵的形式: fWFETNFFFF)1(,),1 (),0(TNffff)1(,),1 (),0(它们都是列矩阵。WE称为DFT矩阵 . 第6章 离散信号与系统的频域分析 它们都是列矩阵，WE称为DFT矩阵，当N=8时 第6章 离散信号与系统的频域分析 在分析一个系统时， 往往是确定的，因而WE矩阵的关键是矩阵中 的指

44、数排列次序。为此，我们将WE矩阵中各元素 的指数单独组成矩阵E，使问题更加简单明了。当N=8时 NjNeW2knNWknNW第6章 离散信号与系统的频域分析 同理，IDFT也可写成矩阵形式。FWNfE1设N=22=4，则有 304)()(kknWkfnFn=0, 1, 2, 3 式中， jeWj424第6章 离散信号与系统的频域分析 ) 3()2() 1 ()0() 3() 1 ()2()0(1230321020200000ffffWWWWWWWWWWWWWWWWFFFF令n的排序为0， 2， 1， 3， 则可写出其矩阵表示式为 可见，在n按0, 2, 1, 3排序情况下，DFT矩阵为 123

45、0321020200000WWWWWWWWWWWWWWWWWE第6章 离散信号与系统的频域分析 每个子矩阵可以写成下面的形式： 第6章 离散信号与系统的频域分析 矩阵矩阵WE可以写为可以写为 第6章 离散信号与系统的频域分析 若令若令那么那么稀疏矩阵稀疏矩阵第6章 离散信号与系统的频域分析 6.7.2 基基2FFT概述概述对于对于N=22=4，据，据DFT定义式定义式(6.7 - 1)有有 第6章 离散信号与系统的频域分析 利用利用DFT矩阵因子化的结论式矩阵因子化的结论式(6.7 - 10)，可将上式写成，可将上式写成 第6章 离散信号与系统的频域分析 )2()0()2()0()2(021f

46、WffWfF列矩阵F1(k)： ) 3()2() 1 ()0(010001010001) 3()2() 1 ()0()(220011111ffffWWWWFFFFkF)2()0()0(01fWfF第6章 离散信号与系统的频域分析 利用中间矢量F1(k)就可进一步完成式(6.7-12)的计算： ) 3()2() 1 ()0(100100000001) 3()2() 1 ()0() 3()2() 1 ()0(111130202222FFFFWWWWFFFFFFFF元素F2(0)可用一次复数乘法和一次复数加法确定： ) 1 ()0()0(1012FWFF第6章 离散信号与系统的频域分析 直接算法的计

47、算时间对FFT算法的计算时间之比有下列近似的关系： bNNbNNN12122图图 6.7-1 N=22的的FFT信号流程图信号流程图 f (0)f (1)f (2)f (3)f (k)F1(k)F1(0)F2(0)F2(1)F2(2)F2(3)F1(1)F1(2)F1(3)W 2W 0W 1F2(k)F(3)F(2)F(1)F(0)F(n)W 2W 0W 0W 2W 3第6章 离散信号与系统的频域分析 例如，对于结点F1(2)有 )2()0()2(21fWfF表 6.2 自然顺序与二进制逆序(N=8) 第6章 离散信号与系统的频域分析 6.8 离散系统的频域分析离散系统的频域分析 6.8.1

48、基本信号基本信号ejk激励下的零状态响应激励下的零状态响应 对一任意的周期离散信号f(k)，利用离散傅里叶级数可以将其表示为指数信号 的线性组合，即 nkNje2NnnkNjneFkf2)(式中： NkknNjnekfNF2)(1第6章 离散信号与系统的频域分析 同样，利用离散时间傅里叶变换可以将任一非周期离散信号f(k)表示为指数信号ejk的线性组合，即 2)(21)(deeFkfkjj式中： kjkjekfeF)()( 因而，与连续信号的情况一样，我们将指数信号ejk称为基本信号。指数信号 实质上与基本信号ejk一样，它只不过是当 时的特例。 nKNje2Nn2第6章 离散信号与系统的频域分析 设稳定离散LTI系统的单位响应为h(k)，则据上一章的讨论可知， 系统对基本序列e jk的零状态响应为 iijikjikjkjfeiheeihkheky)()()(*)()(式中的求和项正好是h(k)的离散时间傅里叶变换，记为H(ej)，即 kjkjekheH)()(称H(ej)为传输函数或频率响应。 )()(jkjfeHeky第6章 离散信号与系统的频域分析 )()()(jjjeeHeHkAkf0cos)(k 一个稳定的离散LTI系统，对ejk这一基本信号的零状态响应是基本信号ejk本身乘上一个与时间序数k无关的常