简行列式按行展开定理

1、11.5行列式按行行列式按行(列列)展开定理展开定理2.),(,)1(),(1),(的代数余子式的代数余子式元元叫做叫做；记；记余子式，记作余子式，记作的的元元阶行列式叫做阶行列式叫做列划去后，留下来的列划去后，留下来的行和第行和第所在的第所在的第元元阶行列式中，把阶行列式中，把在在ijijijjiijijijijajiAMAMajinjiajin 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 例例如如四四阶阶行行列列式式代数余子式的定义代数余子式的定义和代数余子式的余子式元中32)2 , 3(a,44434124232114131132a

2、aaaaaaaaM .)1(32322332MMA 3引理引理 . ),(ijijijijAaDaajiin 数余子数的乘积，即数余子数的乘积，即与它的代与它的代式等于式等于外都为零，那么这行列外都为零，那么这行列元元行所有元素除行所有元素除阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第一个一个的情形，此时的情形，此时先证先证)1 , 1(),( ji证证,00212222111nnnnnaaaaaaaD .1111MaD 即即有有,)1(11111111MMA 又又.1111AaD 从从而而再证一般情形，此时再证一般情形，此时.0011111nnnjnijnjaaaaaaaD 4.)1()1(1i

3、jijijijjijiAaMaDD 于于是是，行其余元素都为行其余元素都为，第，第元为元为的的由于由于01)1 , 1(1ijaD定理定理3 (展开定理）展开定理） 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的所的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即有元素与其对应的代数余子式乘积之和，即. ), 2 , 1(), 2 , 1(22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii或,1ijijMaD 利用前面的结果，有利用前面的结果，有式的计算式的计算的性质，可以简化行列的性质，可以简化行列这一法则并结合行列式这一法则并结合行列式用用展开法则，利展开法则

4、，利列列行行这个定理叫做行列式按这个定理叫做行列式按 )(5证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000,002111211nnnninnaaaaaaa6), 2 , 1(2211niAaAaAaDininiiii 根根据据引引理理，即即得得), 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 可得可得类似的，若按列证明，类似的，若按列证明，证毕证毕推论推论jiAaAaAajiAaAaAanjnijijijninjiji, 0, 0.)()(22112211或即式乘

5、积之和等于零的对应元素的代数余子列的元素与另一行列行列式某一行7例例1.),(,31423131501112534131211114131211MMMMAAAAAMjiDDijij 及及求求，和和式式依依次次记记作作元元的的余余子子式式和和代代数数余余子子的的设设解：解：行所得的行列式，即的第代替等于用因为11, 1, 1, 114131211DAAAA8aaaaaaannn11222111100010000011000110001D2：例求D=?分析：特点是分析：特点是n行作和为行作和为0，0，01，再展开，再展开即可降阶！即可降阶！aaaaaarrrrnnnn112221112110001

6、000001100011100001 ,1解：D1)1()1(111nnr展开按9有些问题可以用升阶法！有些问题可以用升阶法！0,111111111D321naaaain：求例aaaDDnnn1111111111110001211解：10综述综述：行列式计算归纳为1。二三阶行列式可用对角线法则对角线法则直接计算。2。某些特殊行列式观察其特点观察其特点用行列式定义及其性质进行计算。3。把所给行列式化为上三角或下三角行列式化为上三角或下三角行列式进行计算。（计算机就是如此做！）4。利用降阶法降阶法将高阶行列式化为低阶行列式计算（或升阶法升阶法把低阶行列式化为高阶行列式计算）。11练习练习 .335111024315