二阶常微分方程解

1、第七节二阶常系数线性微分方程的解法在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题，关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。§7.1二阶常系数线性齐次方程及其求解方法设给定一常系数二阶线性齐次方程为d2ydy,+p°+qy=0(7.1)dx2dx其中p、q是常数，由上节定理二知，要求方程(7.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解yi,y2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式

2、的特解，从方程的形式上来看，它的特点是吗，dy,y各乘dx2dx以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y,其吗，dy,y之间只相差一个常数因子，这样的函dx2dx数有可能是方程(7.1)的特解，在初等函数中，指数函数erx,符合上述要求，于是我们令rxy=e(其中r为待定常数)来试解将y=e",dy=re",d-y=r2e”代入方程(7.1)dxdx2得r2e"+prerx+qerx=0或erx(r2+pr+q)=0因为e"w0,故得r2+pr+q=0由此可见，若r是二次方程r2+pr+q=0(7.2)的根，那么e"就是方程(7.1)的特解

3、，于是方程(7.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2)的根问题。称(7.2)式为微分方程(7.1)的特征方程。特征方程(7.2)是一个以r为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根s,r2,称为特征根，由代数知识，特征根1,r2有三种可能的情况，下面我们分别进行讨论。(1)若特证方程(7.2)有两个不相等的实根r1,、，此时e"x,er2x是方程(7.1)的两个特解口rix因为先=e(ri-r2)xW常数e2所以er1x,er2x为线性无关函数，由解的结构定理知，方程(7.1)的通解为y=Cer1x+C2er2x(2)若特征方程(7.2)有两个相等的实根ri=r2,此时p2

4、4q=0,即有ri=r2=1p,这样只能得到方程(7.1)的一个特解yi=er：因此，我们还要设法找出另一个满足twy1常数，的特解y2,故迄应是x的某个函数，设X=u,y1y1其中u=u(x)为待定函数，即y2=uy1=uerix对y2求阶,一阶导数得d=duer1x+ruer1x=(如+nu)er1xdxdxdx.22dy2/2dudu、小一言=(riu+2r112)edx2dxdx2将它们代入方程(7.1)得(r21u+2入曲+吗)er1x+p(如+r1u)er1x+dxdxdxr1xque=0r1xd,+(2r1+p)5d+(ri+pr1+q)uedx2dx=0因为pri+q=0,又因

5、ri=p故有2ri+p=0,于是上式2er1xw0,且因r1是特征方程的根，故有产1十成为值=0dx20的函数很多，我们取其中最简单显然满足*=dx2的个u(x)贝y2=x=xe”是方程(7.1)的另一个特解，且yi,y2是两个线性无关的函数，所以方程(7.1)的通解是y=Cer1x+C2xer1x=(Ci+C2x)er1x(3)若特征方程(7.2)有一对共较复根r1=a+iB,r2=ai3此时方程(7.1)有两个特解ye(a+i0)xye(ai0)x则通解为y=C1e(a+i3)x+C2e(a-i3)x其中C,G为任意常数，但是这种复数形式的解,在应用上不方便。在实际问题中，常常需要实数形式

6、的通解，为此利用欧拉公式elx=cosx+isinx,elx=cosxisinx有1(eix+e-ix)=cosx2(eixeix)=sinx2i1 (yi+y2)=1eax(ei3x+e-i3x)=e“xcos0x2 2(yiy2)=eax(ei3xe-i3x)=eaxsinBx2i2iii由上下te理一知)(yi+y2),一(yiy2)7£方程22i(7.i)的两个特解，也即e“xcos0x,eaxsinBx是方程(7.i)的两个特解：且它们线性无关，由上节定理二知，方程(7.i)的逋解为y=Ge“xcosBx+C2e“xsin0x或y=eax(CicosBx+C2sinBx)其

7、中C,G为任意常数，至此我们已找到了实数形式的通解，其中a,0分别是特征方程(7.2)复数根的实部利虚部。综上所述，求二阶常系数线性齐次方程(7.i)的通解，只须先求出其特征方程(7.2)的根，再根据他的三种情况确定其通解，现列表如下特征方程r2+pr+q=0的根微分方程d+py+qydx2dx=0的通解有二个不相等的实根J,2y=Cer1x+Ger2x后重根r1=r2y=(C1+C2x)er1x,.r=口+iP有一对共掘复根r1ir2-iPy=e“x(C1C0SBx+GsinBx)例1.求下列一阶常系数线性齐次方程的通解(1) 金+3dy-10y=0dx2dx(2) 4dy+4y=0dx2d

8、x(3) *+4dy+7y=0dx2dx解(1)特征方程r2+3r10=0有两个不相等的实根r1=一5,r2=2所求方程的通解y=Ge5r+C2e2x(2)特征方程r24r+4=0,有两重根r1=r2=2所求方程的通解y=(C1+C2x)e2x(3)特征方程r2+4r+7=0有对共辗复根r1=12+v3ir2=121%3i所求方程的通解y=e-2x(CiCos<3x+C2sinV3x)§7.2二阶常系数线性非齐次方程的解法由上节线性微分方程的结构定理可知，求二阶常系数线性非齐次方程d-+pdy+qy=f(x)(7.3)dxdx的通解，只要先求出其对应的齐次方程的通解，再求出其一

9、个特解，而后相加就得到非齐次方程的通解,而且对应的齐次方程的通解的解法，前面已经解决，因此下面要解决的问题是求方程(7.3)的一个特解。方程(7.3)的特解形式，与方程右边的f(x)有关，这里只就f(x)的两种常见的形式进行讨论。一、f(x)=pn(x)eax，其中pn(x)是n次多项式，我们先讨论当a=0时，即当f(x)=pn(x)时方程d4+pdy+qy=pn(x)(7.4)dx2dx的个特解口(1)如果qw0,我们总可以求得一n次多项式满足此方程，事实上，可设特解y=Q(x)=a0xn+a，-1+an,其中a0,ai,an是待定常数，将y及其导数代入方程(7.4),得方程左右两边都是n次

10、多项式，比较两边x的同次曷系数，就可确定常数ao,ai,anC例1.求吗+dy+2y=x23的个特解口dx2dx解自由项f(x)=x23是一个二次多项式，又q=2不0,则可设方程的特解、为2,，y=aox+aix+a2求与数y'=2aox+aiy"=2a0代入万程有2a°x+(2ao+2ai)x+(2a°+ai+2a2)=x23比较同次事系数ia0二二2aq=i2a0+2al=0解得2aoai2a2=32iai=27a241217所以特解y=-xx(2)如果q=0,而pw0,由于多项式求与一次，其次数要降低一次，此时y=Q(x)不能满足方程，但它可以被一个

11、(n+1)次多项式所满足，此时我们可设y=xQ(x)=30xn+aixn+-+anx代入方程(7.4),比较两边系数，就可确定常数我,aiaanC例2.求方程dy+4dy=3x2+2的，个特解口dx2dx解自由项f(x)=3x2+2是一个二次多项式，又q=0,p=4w0,故设特解y=aox+aix+a2x求与数y'=3aox+2aix+a2y"=6a0x+2ai代入方程得(2ai+4a2)=3x+2ia。-43ai二i6二i9i2a0x+(8ai+6a0)x+比较两边同次曷的系数12a0=3<8al+6a0=0解得2a14a2=232所求方程的特解y=1x3-3x2+1

12、9x41632(3)如果p=0,q=0,则方程变为dy=pn(x),此dx2时特解是一个(n+2)次多项式，可设一y=x2Q(x),代入方程求得，也可直接通过两次积分求得。下面讨论当aW0时，即当f(x)=pn(x)e”x时方程d4+Pdy+qy=Pn(x)eax(7.5)dx2dx的一个特解的求法，方程(7.5)与方程(7.4)相比,只是其自由项中多了一个指数函数因子e"x,如果能通过变量代换将因子e°x去掉，使得(7.5)化成(7.4)式的形式，问题即可解决，为此设y=ue"x,其中u=u(x)是待定函数，对y=ueax，求导得dyeaxdu十口ue“xdxd

13、xa2ueax求二阶与数dj2=eaxd-u2+2aeaxdu+dxdxdx代入方程(7.5)得d2uodu2axdu_2+2a+au+pe+au+dxdxdxqueax=pn(x)e”x消去e“x得d：+(2a+p)+(a2+pa+q)u=pn(X)dx2dx(7.6)由于(7.6)式与(7.4)形式一致，于是按(7.4)的结论有:(1)如果a2+pa+qW0,即a不是特征方程r2+pr+q=0的根，则可设(7.6)的特解u=Qn(x),从而可设(7.5)的特解为y=Q(x)e"x(2)如果a2+pa+q=0,而2a+pW0>即口是特征方程r2+pr+q=0的单根，则可设(7

14、.6)的特解u=xQ(x),从而可设(7.5)的特解为y=xQ(x)eax(3)如果r2+pa+q=0,且2a+p=0,止匕时a是特征方程r2+pr+q=0的重根，则可设(7.6)的特解u=x2Q(x),从而可设(7.5)的特解为y=x2Q(x)eax例3.求下列方程具有什么样形式的特解(1)0+5dy+6y=e3xdx2dx(2) dy+5dy+6y=3xe-2xdx2dx(3) d4+ady+y=-(3x2+1)e-xdxdx解(1)因a=3不是特征方程r2+5r+6=0的根,故方程具有形如y=aoe3x的特解口(2) 因口=2是特征方程r2+5r+6=0的单根，故方程具有形如y=x(ao

15、x+ai)e2x的特解口(3) 因a=1是特征方程r2+2r+1=0的二重根，所以方程具有形如_一一一y=x(aox+ax+a2)ex白'寺出牛口例4,求方程*+y=(x2)e3x的通解口dx解特征方程r2+1=0特征根r=±i得，对应的齐次方程dW+y=0dx2的通解为Y=Ccosx+Czsinx由于a=3不是特征方程的根，又pn(x)=x2为一次多项式，令原方程的特解为y=(a0x+ai)e3x止匕时u=aox+ai,a=3,p=0,q=1,求u关于的与数du=a。，虫=0,代入dxdx2d,+(2a+p)+(a+ap+q)u=(x2)dx2dx得：10a°x+

16、10ai+6a。=x2比较两边x的同次:胆的系数有10a0=110ai6a0=2解得a0=>a1=1050于是，得到原方程的个特解为,113.3xy=（而x50）e所以原方程的通解是、.113、3xy=Y+y=Ccosx+C2sinx+(x)e例5,求方程虫一2dy3y=(x+1)e-x的通dxdx解。解特征方程r2-2r-3=0特征根r1=-1,r2=3所以原方程对应的齐次方程在一2dy3y=0的dx2dx通解Y=Ge-x+C2e3x,由于a=1是特征方程的单根,又Pn(X)=必+1为一次多项式，令原方程的特解一y=x(aox+aix+a2)e止匕时u=a0x3+aix2+a2x,a=

17、1,p=2,q=3对u关于x求导=3a°x+2ax+a2dxd2udx2=6aox+2ai代入d+(2a+p)+(a+pr+q)u=x+1)dx2dx12aox2+(6a。一8a)x+2ai4a2=x2+1比较x的同次嘉的系数有一12a0=1a1二1161口a0=解得2al-4ao=01296a08a1=0a232故所求的非齐次方程的个特解为x/x2x9、-xy=-(+-+-)e二、f(x)=pn(x)e”xcosBx或pn(x)e"xsin0x,即求形如d-y+pdy+qy=pn(x)eaxcosBxdx2dx(7.(7)d-y+pdy+qy=pn(x)eaxsin(3x

18、dx2dx(7.(8)这两种方程的特解.由欧拉公式知道，pn(x)e“xcos0x,pn(x)eaxsinx分别是函数pn(x)e(-')'的实部和虚部。我们先考虑方程dy+pdy+qy=pn(x)e(a+i3)xdx2dx(7.(9)方程(7.9)与方程(7.5)类型相同，而方程(7.5)的特解的求法已在前面讨论。由上节定理五知道，方程(7.9)的特解的实部就是方程(7.7)的特解，方程(7.9)的特解的虚部就是方程(7.8)的特解。因此，只要先求出方程(7.9)的一个特解，然而取其实部或虚部即可得方程(7.7)或(7.8)的个特解。注意到方程(7.9)的指数函数e(a+i3

19、)(B*0)是复数，而特征方程是实系数的二次方程，所以a+iB最多只能是它的单根。因此方程(7.9)的特解形为Q(x)e(或xQn(x)e例6.求方程吗y=excos2x的通解dx解特征方程r21=0特征根ri=1,r2=1于是原方程对应的齐次方程的通解为Y=Ciex+Gex为求原方程的一个特解yC2、.先求方程/一y=e(+)x的一个特解，由于1dx+2i不是特征方程的根，且pn(x)为零次多项式，故可设u=a0,止匕时a=(1+2i),p=0,q=1代入方程d,+(2a+p)-+(a+ap+q)u=1dx2dx得(1+2i)212。=1)即(4i4)a。=1)得11、a0=一一(i+1)4

20、(i-1)8这样得到吗_y=e=2i)x的一个特解dxy=-1(i+1)e(1+2i)x8由欧拉公式y=-1(i+1)e(1+2i)x8=-1(i+1)ex(cos2x+isin2x)81xl/一一、，一一、=-e(cos2xsin2x)+i(cos2x+sin2x)8取其实部得原方程的一个特解1x,y=-e(cos2xsin2x)故原方程的通解为、.xx1x.y=Y+y=C1e+C2ee(cos2x-sin2x)例7.求方程d-y+y=(x2)e"+xsinx的通dx2解。解由上节定理三，定理四，本题的通解只要分别求吗+y=0的特解Ydx色+y=(x2把"的,个特解ydx

21、2y+y=xsinx的一个特解y2dx2然而相加即可得原方程的通解，由本节例4有Y=Ccosx+CsinxJ113、3xy1=(x)e1050卜面求y2,为求丫2先求方程d2yix+y=xedx由于i是特征方程的单根，且pn(x)=故可设u=x(a0x+a1)=a0x2+a1x,此生q=1,对u求导x为一次式,a=i,p=0,dx代入方程d2u2dx得2a2aO=2a0x+ai)耍=2a。dx2+(2a+p)+(a+pa+q)u=xdxo+2i(2a0x+a1)+0=x即4ia0x+2iai+2a0=x比较x的同次曷的系数有:114ia0=12iai2a0=0a0二得4i412:即方程d4+y

22、=xeix的一个特解dx2，i21、_ixy=(x+-x)e44,i2.1,.、=(x+-)(cosx+isinx)44取其虚部，得y2=1x2COs4x+1xsin44444=(1x2sinx+1xcosx)+i(1x2cosx+1xsinx)所以，所求方程的通解y=Y+yl+y2=Gcosx+C2sinx+(113)ex1xcosx+10541一xsinx4综上所述，对于二阶常系数线性非齐次方程d2y.dy.T+p+qy=f(x)dxdx当自由项f(x)为上述所列三种特殊形式时，其特解y可用待定系数法求得，其特解形式列表如下:自由项f(x)形式特解形式f(x)=pn(x)当qW0时y=Q(

23、x)当q=0,p*0时y=Q(x)当q=0,p=0时y=x2Q(x)f(x)=pn(x)eax当a不是特征方程根时y=Q(x)e”x当a是特征方程单根时y=xQ(x)e”xf(x)=pn(x)eaxcosBx或f(x)=pn(x)eaxsin0x当a是特征方程重根时y=x2Q(x)e”x利用欧拉公式ei3x=cos3x+isin0x,化为f(x)=pn(x)e(a+i3)x的形式求特解，再分别取其实部或虚部以上求二阶常系数线性非齐次方程的特解的方法，当然可以用于一阶，也可以推广到高阶的情况。例8.求y+3y+3y'+y=ex的通解解对应的齐次方程的特征方程为r3+3r2+3+1=0r1

24、=r2=r3=1所求齐次方程的通解Y=(Ci+Qx+Qx2)e-x由于a=1不是特征方程的根因此方程的特解y=a0ex代入方程可解得a0=18故所求方程的通解为y=Y+y=(C1+Gx+C3x2)ex,1xA+-e%8§7.3欧拉方程下述n阶线性微分方程dnn-1yIn-1dVIIn-1dvIr/aoxy+aix-_V+axy+any=f(x)nn-1axdxdx称为欧拉方程，其中a。，ai,an都是常数，f(x)是已知函数。欧拉方程可通过变量替换化为常系数线性方程。下面以二阶为例说明。对于二阶欧拉方程aox2d+aixdy+a2y=f(x)(7.10)dxdx作变量替换令x=e：即t二Inx引入新变量t,于是有dy=dy_dl=dxdtdxdy1_1dydtxxdt.2ly：=_d_(1或)=14(或)+或且(1dx2dxxdtxdxdtdtdxx2=1dyj±_Xdyxdt2dxx2dt2=1dy1dyx2dt2x2dt代入方程(7.10)得ao(d-ydy)+a2dy+a1y=f(e*)dt2dtdt.2即dl+au0dy+1y=lf(et)dt2