第8章 常微分方程数值解法2ppt课件

1、1111121211 3 - (,)1122(,)(,) (,)(nnnnnnnnnnnRungeK uttaEulerEuleryyhKEulerKfxyyyhKKEulerKfxyKfxh yhKfx yy x龙 格 库 塔 方 法法 的 基 本 思 想将公 式 与 改 进公 式 写 成 下 列 形 式 ：公 式 改 进公 式以 上 两 组 公 式 都 使 用 函 数在 某 些 点 上 的值 的 线 性 组 合 来 计 算1)(,)(,)nyfx yfx y的 近 似 值。Euler公 式 ： 每 步 计 算 一 次的 值 ， 为 一 阶 方 法 。改 进 Euler公 式 ： 需 计 算

2、 两 次的 值 ， 二 阶 方 法 。11111(,)(,)(2,3,) ( ,)(,)( )pnniiinniininijjjnnnyyhc KKfxyKfxa h yhb Kipfx yxyTaylory xxTaylor于 是 可 考 虑 用 函 数在 若 干 点 上 的 函 数值 的 线 性 组 合 来 构 造 近 似 公 式 ， 构 造 是 要 求 近 似公 式 在处 的展 开 式 与 解在处 的展 开 式 的 前 面 几 项 重 合 ， 从 而 使 近 似 公 式达 到 所 需 要 的 阶 数 。 即 避 免 求 偏 导 ， 又 提 高 了 方法 的 精 度 ， 此 为 RK方 法

3、 的 基 本 思 想 。二、二阶龙格库塔方法11111RK(,)(,)(2,3,),(,)( )pnniiinniininijjjiijinnnyyhc KKf xyKf xa h yhb KipabcxyTaylory xxTaylor一般地，方法设近似公式为其中，都是参数，确定它们的原则是使近似公式在处的展开式与在处的展开式的前面项尽可能多地重合。11122122211()2(,)(,)nnnnnnyyh c Kc KKf xyKf xa h yhb K当p时，近似公式为 112221122321122221(,)(,)(,(,)(,) (,)(,)(,) (,)()() (,)(,)(,

4、) (,nnnnnnnnnnnnnnnxnnynnnnnnnxnnynnnxyTayloryyh c f xyc f xa h yhb f xyyh c f xycf xya hfxyhb fxyf xyO hyccf xyhc a fxyb fxyf xy上式在处的展开式为23)()nhO h123123()()()()()()2(,)(,)(,)(,)()2nnnnnnnnnxnnynnnny xxTaylorhy xy xhyxyxO hyfxyhhfxyfxyfxyO h在处 的展 开 式 为12222211 1/ 2 1/ 2 ),ccc ac bO3有 无 穷 多 组 解 ， 每

5、一 组 解 得 一近 似 公 式 ， 局 部 截 断 误 差 均 为(h这 些 方 法 统 称 二 阶 方 法 。122211121211,1,2() / 2(,)(,)nnnnnnccabEuleryyh KKKfxyKfxh yhK取此 为 改 进公 式 。近 似 公 式 为 122211212110,1,2(,)(2,2)nnnnnnccabyyhKKfxyKfxhyhK取此 为 常 用 的 二 阶 公 式 ，称 为 中 点 公 式 。 三、三阶龙格库塔方法11231213123 (4)6(,)( ,)22(,2)nnnnnnnnpRKRKhyyKKKKf x yhhKf xyKKf x

6、h yhKhK类似地，对，即三个点，通过更复杂的计算，可导出三阶公式。常用的三阶公式为：四、四阶龙格库塔方法1123412132434 (22)6(,)(,)2 2(,)22(,)nnnnnnnnnnpRKRKhyyKKKKKf x yhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhK对，即四个点，可导出四阶公式。常用的四阶公式为： 11234121324311(22h=0.2,x=0 x=12(0)6(,1);(0)1.()(,)22(,)22(, 6)nnnnnnnnnnnnhyyKKxyKKKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhKyxyyhyyK例：设取步长从直到用四

7、阶龙格库塔方法求解初值问题解：由经典的四阶龙格库塔公式得234121132243322);2;2;222;222().nnnnnnnnnnnnKKKxKyyxhhKyKhyKxhhKyKhyKxhKyhKyhK 1RKRK46RK52RK RKRK RK两点说明：）当p=1,2,3,4时，公式的最高阶数恰好是p,当p4时，公式的最高阶数不是p，如p=5时仍为 ，p= 时公式的最高阶数为 。）方法的导出基于Taylor展开，故要求所求问题的解具有较高的光滑度。当解充分光滑时，四阶方法确实优于改进Euler法。对一般实际问题，四阶方法一般可达到精度要求。如果解的光滑性差，则用四阶方法解的效果不如改

8、进Euler法。11111111Runge-Kutta(,)(,)(2,3, )(,)(2,3, )pnniiinniininijjjpnniiipininijjjijpyyhc KKf xyKf xah yhb Kippyyhc KKf xah yhb Kipbp方法也分显式和隐式。级显式如下：级隐式：系数矩阵 为 阶方阵，显式时为严格上三角。12112121RK4RKRK22,22nnnnnnppKKyyhhKhKKf xyKfxy级显式方法阶数。通常使用不超过 阶方法。隐式方法：梯形方法：二级隐式方法（二阶）111111,22,22RKRKnnnnnnnnnyyhKhhKKfxyh yy

9、yyhfx一级二阶隐式中点方法或写成。此外，还有二级四阶隐式方法。隐式方法有较好的稳定性，是目前求解刚性方程组的重要方法。00010RK( , )()( , )Lipschitzlimlim,nnnhnnnnnhyf x yy xyf x yxyy xxyyf xy xh 方法的收敛性、相容性和绝对稳定性初值问题，其中满足条件。收敛性：固定 点，则。（近似值收敛到准确值。）相容性：固定 点，则数值计算的差分方程趋于原微分方程。0000000000( , ) 1exp()()exp()exp()nnnyyy xyff x yyyyyxxxxyyy xyyyxxxxxx 绝对稳定性：例：初值问题，

10、。此时，。方程的准确解为。若在处初值有误差 ，则实际解的问题：，+ 。它的准确解为。在 处误差将是。它将随着增大而增大。00RKnfyfyx对于的情形是类似的。此时，初值问题是不稳定的，不管用什么数值方法，都有先天不稳定性。同样方法讨论的情形，发现误差随增大而减小。此时，初值问题是稳定的，但选用的数值方法，仍然有数值稳定性和不稳定性两种。一般来讲，隐式方法稳定性要好。11-r11114 RK,(,),(nnnnnnnnnrnnnyyyyyyyyyf xyf x 线性多步法 单步法在计算时，只用到前一步的信息。为提高精度，需重新计算多个点处的函数值，如方法，计算量较大。如何通过较多地利用前面的已

11、知信息，如，来构造高精度的算法计算，这就是多步法的基本思想。 多步法中最常用的是线性多步法，它的计算公式中只出现， ，及101,) ,(,) (1, ,)rnrrrniniiniiiiikkkyyyhfff xyknnnr的一次项，其一般形式为其中均为常数，。11nn1000Taylor TaylorxTaylor)xTaylor,1( ) iirniniiry xyyh n+1若 ，显式；，隐式。构造线性多步公式常用展开和数值积分方法。利用展开导出的基本方法是：将线性多步公式在处进行展开，然后与y(x在处的展开式相比较，要求它们前面的项重合，由此确定参数。以为例：设初值问题的解充分光滑，待定

12、的两步公式为1101111011( )( )()21 ()() (1,2,),( )( )()()()2!()riniinnnnnnkknnnppnnnnnnnpnfyyyhfffyyxky xxTayloryyy xyyxxxxxxpOxx记则在处的展开为231( 4 )(5 )45( 6 )1111(),()(,) (), ()2 !3! ()4 !5 ! (,)()iiiiinnnnnnnnnnnnnnnyy xyxfxyinyyyy xhyy hhhyyhhO hffxyyxyy h假 设 前步 计 算 结 果 都 是 准 确 的 ， 即则 有2( 4 )(5 )34(5 )21111

13、( 4 )(32 ! ()3!4 ! (,) (,)()2 ! 3!nnnnnnnnnnnnnnnnyhyyhhO hffxyyyffxyyxyy hhyyh5 )4(5 )()4 !hO h211011101113(4)4111111(5)56111()()()2()()6222466()()1202424nnnnnnnyyy hy hy hy hy hO h 将以上各公式代入并整理，得1(5)2561()()() 2!5!p+1 nnnnnnnpy xxTayloryyy xyy hhhO h为使上式有 阶精度，只须使其与在处的展开式的前项重合。0101011111111111111221

14、111622611112 4662 45,5,1iiaaaaaapp个 参 数只 须个 条 件 。 由 推 导 知 ，如 果 选 取 参 数， 使 其 满 足 前个 方 程 （ p = 1 , 2 , 3 , 4 ) ， 则 近似 公 式 为阶 公 式 。11011111,0,02 ()2nnnnhyyff0如满足方程组前三个方程，故公式此为二阶公式。0111011115(5)61140,1,33 (4)31 ()90nnnnnnnhyyfffRh yO h 又如：解上面方程组得相应的线性二步四阶公式（Simpson公式)为其截断误差为由此可知，线性二步公式至多是四阶公式。10101111 2

15、3()1()()1(1,2,) 1()(1)!nnnriirrkkiiiippnirxTaylory xxTaylorikikpphRip一般地，线性多步公式中有个待定参数，如令其右端在处的展开式与在处的展开式的前p+1项系数对应相等，可得方程组其解所对应的公式具有 阶精度，局部截断误差为(1)1121)() ()rrppiniippiyO h显然，线性多步公式至多可达到2r+2阶精度。二、常用的线性多步公式11235(5)6111125(5)61 (Adams)Adams(5559379)24251()720Adams(9195)2419()720nnnnnnnnnnnnnnnnhyyfff

16、fRh yO hhyyffffRh yO h （ 一 ） 阿 达 姆 斯公 式显 式 公 式此 式 为 四 阶 公 式 。 局 部 截 断 误 差 为四 阶隐 式 公 式局 部 截 断 误 差 为1213012313125(5)61 ()0,8481,0,333 4 (22)314 ()45nnnnnnnMilineyyhfffMilineRh yO hMiline 0（二）米尔尼公式 取r=3，并令由方程组可解出相应的线性多步式称为公式，其局部截断误差为公式是四阶四步显式公式。1212115(5)61 (min )0,min13 (9)(2)881 ()40nnnnnnnnHamgHamgy

17、yyh fffRh yO h（三）哈明公式 取r=2，并令可得到公式其局部截断误差为Hamming公式是四阶三步隐式公式。11 , ),)nnyn+1n+1n+1隐式法与显式法的比较一般地，同阶的隐式法比显式法精确，而且数值稳定性也好。但在隐式公式中，通常很难解出y需要用迭代法求解，这样又增加了计算量。在实际计算中，很少单独用显式公式或隐式公式，而是将它们联合使用：先用显式公式求出y(x的预测值，记作y再用隐式公式对预测值进行校正，求出y(x的近似值。5.预测校正系统 用显式公式计算预测值，然后用隐式公式进行校正，得到近似值yn+1这样一组计算公式称为预测校正系统。 一般采用同阶的隐式公式与显

18、式公式。常用的预测校正系统有两种：123111121(5559379) 249 (,) 195 24 nnnnnnnnnnnnnAdamshyyffffhyyf xyfff预测校正公式预测校正312112111 limin4(22)313(9) (,)2)88nnnnnnnnnnnnMineHamgyyhfffyyyh f xyff预测校正公式 (1)RK 3说明：以上两种预测校正公式均为四阶公式，其起步值通常用四阶公式计算。(2)有时为提高精度，校正公式可迭代进行多次，但迭代次数一般不超过 次。用局部截断误差进一步修正预测校正公式5( 5 )6115( 5 )6115( 5 )6115( 5 )1111111 251 ()()72019()()720270()720720()270251()()270()nnnnnnnnnnnnnnnnnA dam sy xyhyOhy xyhyOhyyhyOhhyyyy xyyyy x 由公 式 的 局 部 截 断 误 差