三年级数学思维训练上

1、15 / 17三年级数学思维训练上（一） 知识要点和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系， 求大小两个数的应用题.此类题我们常 采用画线段图的方法解答.解答此类题首先要找倍数关系，通过倍数关系画出线段图，然后在图上根据题意标出俩个 数的倍数与俩个数的和.于是根据图产生这样的思路：相对小的数自己是自己的一倍，而相对大 的数是相对小的数的几倍，当然俩个数相等时这个几就是1）,那么就有大数和小数的和就是小 数的几十1倍，又因为大数和小数的和已知，于是这个题就变成了一个简单的，已知一个数和这 个数是另一个数的几倍求另一个数的简单除法题 .从而可以求出相对较小的也就是自己是自己 一倍的数，我们简称

2、为1倍数.（二）例题选讲3倍，甲班和乙班各有图书多少本?例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的精妙解答160+ （ 3+1） =40 （本） 作为一倍数的乙班的40X3=120 （本）根据题意关系求的甲班的或者：160-40=120 （本答：甲班有图书120本，乙班有图书40本例2甲.乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇.已知甲车的速度是乙车速度的2倍.甲.乙两辆汽车每小时各行多少千米？精彩思路已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度.现只需知道甲.乙汽车的速度 和，就可用“和倍公式” 了 .由题意知两辆车2时共行360千米，故1时

3、共行360+ 2= 180（千 米），这就是两辆车的速度和.精妙解答乙车的速度为（360 + 2）+（2+ 1）= 60（千米/时）,甲车的速度为60X 2=20（千米/时）,或 180-60=120（千米/时）.答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米.从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数（即小数）是谁，“和”是谁. 例1.例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出. 下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子.例3甲队有45人，乙队有75人.甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍? 精彩思路容易求得“二数之和”为45 +75

4、=120（人）.如果从“乙队人数才是甲队人数的 3倍”推出“1倍”数（即小数）是“甲队人数”那就错了，从 75不是45的3倍也知是错的.这个“1倍” 数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数.倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人 后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的 3倍.由此画出线段图如下：45A3倍（45+ 75）就是甲队剩下人数的3 + 1 = 4（倍）.从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数.由和倍公式可以求解.精妙解答甲队调动后剩下的人数为（45 + 75） + （3+ 1）= 30（人），故甲队调入乙队的人数为 45-30 = 15（人）.答：甲队要调15人到乙队

5、.例4妹妹有书24本，哥哥有书53本.要使哥哥的书是妹妹的书的6倍，妹妹应给哥哥多少 本书？仿照例3的分析可得如下解法.精妙解答兄妹图书总数是妹妹给哥哥一些书后剩下图书的 （6 + 1）倍，根据和倍公式，妹妹剩下（53+24） + （6+ 1） = 11（本）.故妹妹给哥哥书 24-11 =13（本）.答：妹妹给哥哥书13本.例5大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个.后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔 20个，而 小灰兔自己又采了 10个.这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍.问：原来大白兔和小灰兔各采了 多少个蘑菇？精彩思路及解答这道题仍是和倍应用题，因为有“和”.有“倍数”.但这里的“和”不是16

6、0,而是160 20 + 10=150, “1倍”数却是“小灰兔又自己采了 10个后的蘑菇数”.线段图如下：1QT小灰兔匕口p僭20个大荻兔V./5倍根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇（即“1倍”数）（160-20 +10） +（5+ 1） =25（个）,故小灰兔原有蘑菇25-10 = 15（个），大白兔原有蘑菇160-15 = 145（个）.答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个.练习初试牛刀1 .小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍.小敏和她爸爸的年龄各是多 少岁？2 .一肉店卖出猪肉和牛肉共560千克，卖出的猪肉是卖出的牛肉的 4倍.猪.牛肉各卖了多 少千克？3 .甲.乙

7、两桶汽油共84千克.如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等 于乙桶中的汽油的3倍.甲.乙两桶原有汽油各多少千克？挑战自我1 .甲.乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件.乙有5个零件不合格.已知乙生产的合 格零件是甲生产的合格零件的2倍.甲.乙各生产了多少个零件？2 .团结村原有水田290公顷，旱田170公顷.要把多少公顷旱田改为水田，才能使水田的公 顷数比旱田的公顷数多2倍？3 .红星小学图书馆内，科技书是故事书的 3倍，连环画书又是科技书的2倍.已知这三种书 共有1600本，那么每种书各有多少本？第二讲 还原问题（三）知识要点对于有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解

8、法时，往往有一定的困难，但是，如果改 变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用 减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决.这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题.（四）例题选讲例1有一个数，把它乘以4以后减去46,再把所得的差除以3,然后减去10,最后得4.问：这 个数是几？精彩思路这个问题是由（UX4 46） +310=4,求出口.我们倒着看，如果除以3以后不减去10,那么商应该是4+ 10=14;如果在减去46 以后不除以3,那么差该是14X 3= 42;可知这个数乘以4后的积为42 + 46=88,因此这个

9、数是 88+4=22.精妙解答（4+10） X 3+ 46 +4=22.答：这个数是22.例2小马虎在做一道加法题目时，把个位上的 5看成了 9,把十位上的8看成了 3,结果得 到的“和”是123.问：正确的结果应是多少？精彩思路利用还原法.因为把个位上的5看成9,所以多加了 4;又因为把十位上的8看成3,所以少 加了 50.在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上.精妙解答123-4 + 50= 169.答：正确的结果应是169.例3学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐 拿得太多，就抢了 10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来 6棵，这时乐

10、乐拿的棵数是欢欢的 2 倍.问：最初乐乐拿了多少棵树苗？精彩思路先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗.学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2 倍，所以欢欢现在拿了 36+ （2+1） =12 （棵）树苗，而乐乐现在拿了 12X2=24 （棵）树苗， 乐乐从欢欢那里抢走了 6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6=18（棵），欢欢看乐 乐拿得太多，去抢了 10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有 18 + 10=28 （棵）.精妙解答36+ 5 （1+2） X 2-6+ 10=28 （棵）.答：乐乐最初拿了 28棵树苗.例4甲.乙.丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，

11、结果三个组拥 有相等数目的图书.问：甲.乙.丙三个组原来各有多少本图书？精彩思路及解答尽管甲.乙.丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数 90本没有变，由最后三个组拥有 相同数目的图书知道，每个组都有图书 90+ 3=30 （本）.根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有30+ 3 = 33 （本），乙组有30 3+5 = 32 （本），丙组有30 5 = 25 （本）.例5.一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用 去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？精彩思路由逆推法知，第二次用完还剩下15+7=22（米），第一次用完还剩下（2210） X2=24

12、 （米）,原来电线长（24+3） X2=54 （米）.精妙解答（15+ 710） X2+3 X2=54 （米）.答：这捆电线原有54米.练习初试牛刀1 .某数加上11,减去12,乘以13,除以14,其结果等于26,这个数是多少？2 .某数加上6,乘以6,减去6,其结果等于36,求这个数.3 .在125XU +3X8 1=1999中，口内应填入什么数？4 .小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4,再减去6之后，乘以10,恰好是100.问：小 乐爷爷今年多少岁？挑战自我1 .粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多 3吨，第二次运出剩下的一半少 7吨，还 剩4吨.问：粮库里原有面粉多少吨？2 .有

13、一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，内再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨.这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？3 .某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元.问：此人原有存款多少元？第三讲 巧求长方形.正方形的周长（一）知识要点我们知道：长方形.正方形的公式看起来十分简单，但用途却十分广泛 .用它们可以解决许多直角多边形（所有的角都是直角的多边形）的周长问题.这是因为直角多边形总可以分割成若干 个正方形或长方形.下面的图形都可以分割成若干个正方形或长方形，当然分割的方法不是唯一的由此，可以演变出许多只涉及正方形

14、.长方形周长计算公式的题目 （二）例题选讲例1 一个苗圃园(如左下图)，周边和中间有一些路供人行走(图中线段表示“路”)，几个小 朋友在里面观赏时发现：从 A处出发，在速度一样的情况下，只要是按“向右”.“向上”方向 走，几个人分头走不同的路线，总会同时达到 B处.你知道其中的道理吗？0分析与解：如右上图所示，将各个交点标上字母.由A处到B处，按“向右”.“向上”方向走， 只有下面六条路线：(1)ACH A J B;(2)A 一 CH OH J B;(3)A-CH OH F- B;(4)A-HH G F一 B;(5)AHH OH J B;(6)A-HH OH F一 B .因为AX与HHO, G

15、fF的路程一样长，所以可以把它们都换成 ZC;同理，将 AE, F-B 都换成CHD;将 ZH, CH0都换成 AE;将HHG, 8F都换成 JB.这样换过之后，就得到 六条路线的长度都与第(1)条路线相同，而第条路线的长“ AD+DB就是长方形的“长+宽”， 也就是说，每条路线的长度都是“长+宽”.路程.速度都相同，当然到达B处的时间就相同了 .例2计算下列图形的周长(单位：厘米).解：(1)将图中右上缺角处的线段分别向上.向右平行移动到虚线处(见左下图)，这样正好移补 成一个正方形，所以它的周长为 25X 4=100(厘米).(2)与(1)类似，可以移补成一个长方形，周长为(10 + 15

16、)乂2=50(厘米).例3求下面两个图形的周长(单位：厘米).(1) 芈一20151512解：(1)与例2类似，可以移补成一个长(15+ 10+15)厘米.宽(12+ 20)厘米的长方形，所 以周长为(15 + 10+ 15)X2+ (12+20)X2= 144(厘米).(2)设想先把长20厘米的线段向上平移到两条长15厘米的线段中间，构成一个长60厘米, 宽(15+ 20+15)厘米的长方形，此时，还有两条长 35厘米的竖线段.所以周长为60X 2+(15+ 20+15) X 2+ 35X 2= 290(厘米).例4在一张纸上画出由四个边长为3厘米的正方形拼凑或组合成的图形(重叠的线段只算画

17、 一次).显然，这个图形有多种多样的画法，下列各图是其中的一部分画法.在所有的这些画法中，(1)哪种画法画出的线段总长最长？有多长？(2)哪种画法画出的线段总长最短？有多长？口 口 口口 H出口分析与解：画的线段重叠部分越少，画的线段就越长.反之，重叠部分越多，画的线段就越短.因此，类似图1那样画的线条最长，共画了3X 4X 4=48(厘米).右图画的线条最短，共画了(3+3) X 6=36(厘米).ffl例5下图是一个方形螺线.已知两相邻平行线之间的距离均为1厘米，求螺线的总长度.分析与解：如左下图所示，按箭头方向转动虚线部分，于是得到了三个边长分别为3, 5, 7厘米的正方形和中间一个三边

18、图形（见右下图）.所以螺线总长度为（3+5+7） X 4+1 X 3=63（厘米）.练习1.试求左下图的周长（单位:2 .上页右下图是由边长为1厘米的11个正方形堆成的“土”字图形.试求出其周长.3 .右图是某小学教学楼的平面示意图，设计者在图上只标明了三条线段的长度（单位：米）.请你算出它的周长.50234 .下图是由七个长5厘米.宽3厘米的相同长方形经过竖放.横放而成的图形.求这个图形的周 长.5 .下面两图中的小方格的大小相同.图（1）的周长为48厘米，图 的周长等于多少?(1)6 .如右图所示，一个正方形被分成了三个相同的长方形.如果其中一个长方形的周长是16米,那么这个正方形的周长是

19、多少米？1 .移动成长3+5+4.宽6+7的长方形，所以周长=（12+13） *2=502 .移动成5+1的长方形，没有宽.长为4的长方形，再加上4段边.（5+1） *2+2*4+4=243 .移动成长50.宽28+16的长方形，所以周长=（50+28+16） *2=1884 .移动成长4*3+5*3.宽5的长方形，再加上6个（5-3）所以（12+15+5）*2+6*2=765 .图一移动成长5宽3的长方形，周长段为（5+3） *2=16,周长为48,每段为48/16=3,图二 移动后为（7+1） *2+4=20,每段为3,共60.6 .把长方形的宽看作一份，长为3份.一个长方形的周长是8份，

20、8份是16, 1份是2, 3份是6, 正方形的周长是6*4=24第四讲图形计数（五）知识要点小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段.角.三角形那就必须要有次序.有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果 .要正确数出图形的个数，关 键是要从基本图形入手.首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基 本图形组成的新的图形，并求出它们的和.（六）例题选讲例题1数出下面图中有多少条线段？-m©A BCD精彩思路我们可以采用以线段左端点分数数的方法，我们还可以把图中线段AB.BC.CM作基本线段来数，精妙解答采用以线段左端点分数数的方法.以A点为左端

21、点的线段有：AB.AC.AD共3条；以B点为左端点的线段有：BC.BD共2条；以C点为左端点的线段有：CD共1条.所以，图中共有线段3+2+1=6条.我们还可以这样想：把图中线段 AB.BC.CD!作基本线段来数,那么:由1条基本线段构成的线段：AB.BC.CD共3条；由2条基本线段构成的线段：AC.BD共2条；由3条基本线段构成的线段：AD只1条.所以，图中共有3+2+1=6条线段.例题2数出下图中有几个角.精彩思路数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数.精妙解答以AO为一边的角有：/ AOB/AOC/AODE个；以BO为一边的角有：/ BOC/BODW个；以CO为一边的角有：/ COD-

22、个.所以图中共有3 + 2+1=6个角.小朋友，如果把图中/ AOB./BOC/CODf作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋 例题3数出下面图中共有多少个三角形.B C D E精彩思路数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数，还可以数出图中三角形的个数，只需数 出 ABE的底边中包含几条线段就可以了 .精妙解答数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数 .以AB为边的三角形有： ABC A ABD.A AB0个；以AC为边的三角形有： ACD4ACET个；以AD为边的三角形有： ADEH个.所以图中共有三角形3+2+1=6个.我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出 ABE的底边中包含几条

23、线段就可以了, 即3+2+1=6条.所以图中共有6个三角形.例题4数出下图中有多少个长方形.精彩思路数图形中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长宽两对线段围成，线段CD上有3 + 2+1=6条线段，其中每一条与AC中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共 有6X1=6个长方形；而AC上共2+1=3条线段也就有6X 3=18个长方形.精妙解答长方形的总数=长边线段的总数x宽边线段的总数6X 3=18 （个）长方形例题5有10个小朋友，每2个人照一张合影，一共要照多少张精彩思路这道题可以用数线段的方法来解答.根据题意，画出线段图，每一个点代表一个小朋友：1 n6-78 9 10从

24、图上可以看出，第1个小朋友要与其余9个小朋友合影，要照9张照片；第2个小朋友 还要与其余8个小朋友合影，再照8张照片以此类推，第9个小朋友只要再与1个小朋友 合影，再照1张照片.精妙解答一共要照 9+8+7 + 6+5 + 4+3 + 2+1=45张照片.练习初试牛刀1,数出下图中各有多少条线段？(1) ABnEip-1-0(2) ABCDEF2,数出下图中有几个角.A3.数出下面图中共有多少个三角形6 C U 匕 F4.数出下图中有多少个长方形挑战自我1 ,三年级有6个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？2,有红.黄.蓝.白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的

25、扎法?3,有16六个数字，能组成多少个不同的两位数?参考答案初试牛刀1.（1） 4+3+2+1 = 10 （条） 5+4+3+2+1 = 15 （条）1.1 +2+3 = 6 （条）3 .（1） 1+2 = 3 （个） 1+2+3+4 = 10 （个）4 .（1+2+3+4 X （1+2） = 30 （个）（1+2+3+4） X （1+2+3） = 60 （个）挑战自我1 .假设班号为.班和其他班比赛的场次是：.，5场；班因为已经和班比赛过，不能重复计算，还可以比赛的场次是：.，4场；同理，班还可以比赛的场次是：.，3场；同理，班还可以比赛的场次是：.，2场；同理，班还可以比赛的场次是：，1场

26、共计：5+4+3+2+1 = 15 （次）2 .可以扎的方法：红黄.红蓝.红白.黄蓝.黄白.黄.蓝白.共计：3+2+1 = 6 （种）3.1可以和其他5个数组成5种：12.13.14.15.16 ;2可以和其他4个数组成4种：23.24.25.26 ;3可以和其他3个数组成3种：34.35.36 ;4可以和其他2个数组成2种：45.46;5可以和其他1个数组成1种：56.与前面题目类型不同的是，这两个数可以颠倒，比如1.2,可以组成12或者21.此题共有：（5+4+3+2+D X2 = 30 （种）第五讲和差问题（一）知识要点和差问题是小学数学常见的一种应用题，它在日常生活中应用很广泛，解题的

27、关键在于找出题 目中的和与差，再利用以下的数量关系式去解答，就显得容易了.（和+差）+ 2=较大的数；（和一差）+ 2 =较少的数或和一较大的数=较少的数；和一较少的数=较大的数（二）例题选讲例1两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多2千克，两筐水果各多少千克？精彩思路分析这样想:假设第二度和第一座重量相等时，两筐共重150+ £=153（千克）；假没第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8二上醛（千克）.圾：第一筐1 I _ !一?千克ih50千克第二建二I _ J J ，千克精妙解答解法1；第二筐重多少千克？（150-8）-2-71 （千克）（1） 3A2= （3+2） +

28、2=2.5第一筐重多少千克？解法3第一筐重多少千克？C150+8）-2=79 （千克第二筐重多少千克？79-8=71 （千克）或 150-79=71 （千克）答；第一筐重79千克，笫二筐重71千克.或 15 0-T9V1 （千克）14 / 17答：第一筐重T肝克，第二筐重口千克。例2今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄告多少岁?精妙思路35-7 管爸：，、_J_阳岁j ?岁小春；h ,1分析题中浅有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄,那 么今年两人的年龄差是35-仁2W1岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不 变的.所以，当两人年龄和为爻岁时他们年龄差仍是拒岁.根据和差问题的解题 思路就能解此题,精妙解答解：爸爸的年龄,58+（35-0 1-2=58 + 28-2工86 - 2二43 （岁）小强的年龄：58-43= 15 （岁）谷：当父子两人的年腌和是屈岁时，小强L5岁，他爸爸43岁.例3小明期末考试时语文和数学的平均分数是四分，数学比语文多8分，问语 文和数学各得了几分？精彩思路分析解和差问题的关键就是求得和与差