初三数学函数综合题型及解题方法讲解

1、y=ax 2+bx+c 经过 A (-2, - 4), O (0, 0), B (2,AM+OM 的最小值.解析：(1)把 A (-2, -4), O (0, 0),B (2, 0)三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例1:如图，在平面直角坐标系中，抛物线0)三点.(1)求抛物线y=ax 2+bx+c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求解这个方程组，得 a=所以解析式为y= - -x2+x .(2)由 y=-x2+x=2+3,可得抛物线的对称轴为 x=1 ,并且对称轴垂直平分线段OB. OM=BM. OM+AM=BM+AM

2、连接AB交直线x=1于M点，则此时 OM+AM 最小过点A作AN，x轴于点N ,在 RtMBN 中，AB= JaN2 + Bn" Jq2 + 4 2=4V, 因此OM+AM 最小值为W2.方法提炼：已知一条直线上一动点 M和直线同侧两个固定点 A、B,求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点 A关于这条直线的对称点 A',将点B与A' 连接起来交直线与点 M ,那么A' B就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可 以做出点B关于这条直线的对称点 B',将点A与B'连接起来交直线与点 M, 那么AB'就是AM+BM 的最小值。应用的定理

3、是：两点之间线段最短。' ： B'3a(b 0),若抛物线C；经过点且 x1x24 oA ,BIII'J* VM或者* 野A' /2例2:已知抛物线C1的函数解析式为y ax bx(0, 3),方程 ax2 bx 3a 0 的两根为 x1 , x2,(1)求抛物线Ci的顶点坐标.11(2)已知实数x 0,请证明：x -)2,并说明x为何值时才会有x - 2.(3)若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2,设 A(m, y1)，B(n, y2)是C2上的两个不同点，且满足：AOB 900 , m 0, n 0 .请你用含有m的表达式表示出 A

4、OB的面积S,并求出S的最小值及S取最小值时 一次函数OA的函数解析式。解析：(1) 抛物线过(0 , 3 )点，3a= 3，a= 1y =x2 + bx 3,. x2 + bx 3 = 0 的两根为 xi ,X2 且 |x1 - x2| = 4 x1 x2| ；(x1 x2)2 4x1x2 =4 且 b < 0. b = -!y =x2 2 x 3 = ( x 1 ) 24抛物线C 1的顶点坐标为(1 , 4 )(2) ,x> 0 , - x 2 (Vx )0 x、: x.x 1 2,显然当x= 1时，才有x - 2,xx(3)方法一：由平移知识易得C2的解析式为：y = x2.

5、'.A(m, m?), B (n, n 2)V MOB 为 Rt . OA 2+OB 2=AB 2 - m 2 + m4+n2+n4 = (mn) 2 + ( m 2 n 2) 2化简得：m n = 1Saaob= -OA?OB = 1Vm2 m4 ?n22'.'m n = 1122一 S aaob = 一 y 2 m n11c,m2 1m 221 /1 、21=.(m 一)2 m2 Saaob的最小值为1 ,此时 m = 1 ,A( 1 , 1 )直线OA的一次函数解析式为 y =x方法提炼：已知一元二次方程两个根Xi,X2,求|Xi-X2| 。因为 |xi-X2|=

6、 . (x1 x2)2 4x1x21. m 2, (m o);当 m m例3:如图，已知抛物线经过点,1，一1时，m,2取得最小值。 mA (- 1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)三点.求抛物线的解析式.占八、(3)N,在M是线段BC上的点 若点M的横坐标为 (2)的条件下，连接(不与 B, C重合)，过M作MN /y轴交抛物 m ,请用m的代数式表示 MN的长.NB、NC ,是否存在 m , >ABNC的面积最大？若存在，求 m的值；若不存在，说明理由.解析：(1)设抛物线的解析式为：y=a (x+1 ) (x-3),则:a (0+1 ) (0 - 3) =3 , a= T

7、 ;，抛物线的解析式：y= - (x+1 ) (x-3) = - x2+2x+3 .(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b ,则有：3k+b=0解得b=3故直线BC的解析式：y= -x+3 .已知点 M 的横坐标为 m ,则M (m , - m+3 )、N. .故 MN= m2+2m+3m+3 ) = m 2+3m);(m , - m 2+2m+3 (0<m<3).D 5(3)如图;1.SZBNC =S ZMNC +S ZWINB =MN2.'Szbnc = ( - m 2+3m ) X3= 2(OD+DB ) JmN2(m -) 2+-=- (0vmv3);28当m=,

8、时，ABNC的面积最大，最大值为27方法提炼：因为4BNC的面积不好直接求，将 BNC的面积分解为4MNC和4 MNB的面积和。然后将 BNC的面积表示出来，得到一个关于 m的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例4 :如图，已知：直线y x 3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax 2+bx+c经过 A、B、C (1 , 0)(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线yx 3上有一点P,使 ABOf ADP相似，求出点 P的坐标;的面积

9、等于四边形 请说明理由.解：(1)：由题意得，抛物线经过A、别代入y = ax2a 1解得：b 4(2)由题意可得：AO若 ABOsiIAP 则一ADDP=AD=4 ,Pi(- 1,4)若4 ABOA ADPX点. AB O等腰三角形P2M ,(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E,使 ADEAPCE的面积？如果存在，请求出点 E的坐标；如果不存在,A (3, 0) , B (0, 3)B、C 三点，把 A (3, 0), + bx+ c得方程组抛物线的解析式为y = x2- 4x+ 3即点M与点C重合，P2 (1,2)(3)如图设点E (x,y),则当Pi(-1,4)时,

10、S 四边形 AP1CE =S ZACP1 +S ZACE=4+ y''-2|y| = 4+ yl-'-lyl = 4丁点E在x轴下方 ，y = - 4代入得：x2- 4x + 3 = - 4，即 x2 4x 7 0V A(-4) 2-4 X7=-12<0此方程无解三角形ACP2 +S三角形ACE =2 + y当P2 (1, 2)时，S四边形AP2CE=S .2y = 2+|y7 = 2丁点E在x轴下方 ，y=-2 代入得：x2- 4x+ 3= - 2即 x2 4x 5 0, A(-4) 2-4 X5=-4<0此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样

11、的点E方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三 角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相 似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这 个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面 积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解币图形。例5:如图，点 A在x轴上，OA=4 ,将线段OA绕点O顺时针旋转120 °文)B的位置.sin /超二苧(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的高牌形是等腰三角形?若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.解析

12、：(1)如图，过B点作BC±x轴，垂足为C,则/ BCO=90 ° ,. / AOB=120 ° ,/ BOC=60 ° ,又 OA=OB=4 ,. . OC±OB=X 4=2 , BC=OB?sin60 ° 绛=2玄，22_2点B的坐标为(-2, - 2 JW);(2)二.抛物线过原点 O和点A. B,，可设抛物线解析式为y=ax 2+bx , 将 A (4, 0), B (- 2. - 2-73)代入，得 口6升的。3，此抛物线的解析式为y= - x2+ 2 ；)x 63(3)存在，如图，抛物线的对称轴是x=2 ,直线x=2与x轴

13、的交点为D,设点P的坐标为(2, y),若OB=OP ,则 2，|y| 2二4 2,解得y= ±2百,当 y=2 6时，在 Rt PO砰，/ PDO=90/ POD=60 ° , ./ POB=/ POD+Z AOB=60 ° +120 ° =180 ° , 即P、O、B三点在同一直线上，. y=21不符合题意，舍去，.点P的坐标为（2 , - 2近）若 OB=PB ,贝U 42+|y+2 心|2=42,解得 y= - 2V3,故点P的坐标为（2, - 2。田），若 OP=BP ,贝U 22+|y| 2=4 2+|y+2 旅|2,解得 y= -

14、2V3,故点P的坐标为（2, - 23），1综上所述，符合条件的点 P只有一个，其坐标为（2, - 2，石），方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思勺上因为要 使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，|所以应该心种情况来其论。题型三：二次函数与四边形的综合问题A牛耳一（多例6:综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - x2+2x+3与x时交于A. B4点， 与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.qQw（1）求直线AC的解析式及B, D两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过 P作直线l / A/抛物线于点 Q,试探究：

15、随着 P点的运动，在抛物线上是否存在点 Q,使以点A. P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，.请直接写 出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.卜、（3）请在直线 AC上找一点M,使 BDMJ周长最小，求出 M点的坐标.匚/ 解析：（1）当 y=0 时，-x2+2x+3=0 ,解得 xi = - 1, x2=3 ./1点A在点B的左侧，一万单.A. B 的坐标分别为（-1, 0）, （3, 0）./当 x=0 时，y=3 .I1. C点的坐标为（0,3）设直线AC的解析式为y=k 1x+b 1 （k1却），直线AC的解析式为y=3x+3 . y= - x2+2x+3= - （

16、x-1） 2+4 ,，顶点D的坐标为（1 , 4）.（2）抛物线上有三个这样的点Q ,当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3,代入抛物线可得点 Q1的坐标为（2, 3）;当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3, 代入抛物线可得点 Q2坐标为（1+J吊，-3）;当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3,代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1 -3）;综上可得满足题意的点 Q有三个，分别为:Qi (2, 3), Q2 (1+ ® - 3) , Q3 (1 -(3)点B作BB' JAC于点F,使BF=BF ,连接BD交直线AC与点M ,则点M为所求,AC的对称点.过点B'

17、;佃'E，x轴于点E.一/和/2都是/3的余角,. RtAAOC RtMFB ,CO CA . BF AB由 A( 1,0), B(3, 0),C(0, 3)得 OA=1 ,. AC= AB=4 .3判即 4 'BF- 1二 BFVio一，_ I 24. BB =2BF=皆=,V10B'E=辛，BE=, I 36. OE=BE - OB= '53=B'点的坐标为（-yDB-r-设直线B D的解析式为y=k 2x+b 2 （k2W0）.2L 12-k£4b2-解得k _A48直线B'D的解析式为:48y= x+,13 13联立B'

18、D与AC的直线解析式可得:解得9父二=_35132t 35. M点的坐标为（旦13235区方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例7:如图，半径为2的GK与x轴的正半轴交于点 A,与y轴的正半轴交于点|b,点C的坐标为(1,(2) 由；(3)3 2.0）.若抛物线 y x bx c过a、b两点.3求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点P,使得/ PBO=Z POB?若存在，求出,能的坐标；若不存在说明理若点M是抛物线解析：（1）如答图1 ,（在第一象限内的部分） 上一点， MAB的面积为S,求S的

19、最大（小）值. 连接OB . BC=2 , OC=1OB= 4 1y(3, 0),4393%3 2 x3B (0,3b c2 v3J3）代入二次函数的表达式2.3（2）存在.如答图2 ,作线段OB的垂直平分线i,与抛物线的交点即为点 P. B 0, 33), O (0,直线i的表达式为y0）,3代入抛物线的表达式,2解得x 13310x .3. 一10 3 P 1 ，).22(3)如答图3,作MHIXx轴于点H .设 M ( xm, ym ),1则 Sa mab=S 梯形 MBOH +S mha Sa oab= 2(MH+OB ) ?OH+ HA?MH OA?OB=2(ym212 (3 xm

20、)ym-ym1 -SAMAB32 ym,.32-xm3二 3xm23322,332(2 3 “3xmxm2323 - xm(xm2233 xm 3 322)2 9.33 一 一一 . 一 一 , 一 .当xm 时，SwAB取得取大值，取大值为28<9,38mti题型五：二次函数中的证明问题b)的图像过点 A(-4 , 3) , B(4,1例8:如图11,已知一次函数 y (x 2)(ax484).(1)求二次函数的解析式：(2)求证：4ACB是直角三角形；(3)若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点 P作PH垂直x轴于 点H,是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与 ABC相似？若存

21、在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由。解：(1)将 A(-4 , 3),B(4, 4)代人 y(x 2)(ax b)中，整理得:484a-b 724a b 32解得二次函数的解析式为：y整理13 215y 一 x - x- 4886a 13b -201(x48得：2)(13x-20),(2)由整理“ 2-八-2013x6x - 400x12, x2一13. C (-2,0) D (20 、 ,013从而有：AC2=4+9BC2=36+16AC2+ BC 2=13+52=65AB2=64+1=65AC2+ BC 2=AB 2故以CB是直角三角形(3)设 p(x,13x2 48PH= 13

22、x2481x-5)8615-x86(X<0 )HD=当APUDsACB时有:20 -x13PHACAC= 13 BC= 2 13HDBC13 215x - x -即：4886135020 x132,13整理13 2x24512520x1-13./ 50 35、-p1(一 T， )13 13X213（舍去）此时,X -43539yi13当 DUPsACB20-x 即：131313 2一x48时有：DHAC15-x -86PHBC整理2 1313 2 一 x4817一 x -8X1p2(-122-13122 284、一，一)13 13X2此时,y1305 07828413综上所述,满足条件的

23、点有两个即Q嚼章）P2（一122 284例9 :在平面直角坐标系xOy中，点P是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）13.连接OP,M .作PA，x轴于点 A, QBC的坐标;过点0作OP的垂线交抛物线于另一点 Q .连接PQ ,交y轴于点 ± x轴于点B.设点P的横坐标为m .（1）如图1 ,当m=加时，求线段OP的长和tan / POM勺值；在y轴上找一点C,使 OCQL以OQ为腰的等腰三角形，求点 （2）如图2,连接AM、BM ,分别与 OP、OQ相交于点 D、E.用含m的代数式表示点Q的坐标；求证：四边形 ODME是矩形.解析：(1)把 x=6代入 y=x 2,得 y=

24、2 , P®, 2), 1. OP泥PAL x 轴,设Q (n,PA/ MO. tan / P0M-tan 共P这.AP 2n2), tan / QOB=tan / POM,),OQ当 OQ=OC时,Cl (0,C2 (0,当 OQ=CQ时,C3 (0, 1 ).Pmt,m2),设 Q (n, n2),APOABOn2 -n得n=).JT-, * Q IT1m2设直线PO的解析式为：y=kx+b ,11、口,-)代入,得:解得 b=1 , M 0,1),QB OB 1MO AD 1n2,/ QBO=/ MOA=903的谢最大？并求出面积的最大值.笙】A E两点之翱x 2+bx+c 、

25、求当D均在坐标轴上,yi解析：(1)二.四边形ABCD是菱形, . QBOs MOA ./ MAO=Z QOB,QO/ MA同理可证：EM/ OD又./ EOD=90，四边形ODME是矩形.题型六：自变量取值范围问题例10:如图，在平面直角坐标系 xOy中，四边形ABCD是菱形,(1)求过A. C. D三点的抛物线的解析式；、(2)记直线AB的解析式为y1=mx+n , (1)中抛物线的解析式必时，自变量x的取值范围；,(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为 E, P点:当P点在何处时，AB=AD=CD=BC=5 , sinB=sinD=Rt OC师,OC=CD?sinD=4 , OD

26、=3 ;OA=AD -OD=2 ,即:A (- 2, 0)、B(- 5, 4)、C (0, 4)、D (3, 0);设抛物线的解析式为：y=a (x+2 ) (x-3),得：2 x ( 3) a=4 , a=，抛物线：y= - Wx2+Nx+4 . 33(2)由 A ( 2, 0)、B ( 5, 4)得直线 AB: y1=一由（1）得：y2=-=x2 +=x+4 ,则: 33解得:町二5_ 28 力-T由图可知：当vy2 时，2vxv5.(3) ,. SAAPE=-AE?h ,当P到直线AB的距离最远时，Sab混大；若设直线L/ AB,则直线L与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；4X_ x设直线L： y=-告+b ,当直线L与抛物线有且只有一个交点时,-5-t+b=-x2+x+4 , HA 回3-1,_11 r4求得：b=,即直线 L ： y= - -x+11可得点P （3,由