高考数学复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 文

1、第三节圆的方程总纲目录教材研读1.圆的定义考点突破3.圆的标准方程4.圆的一般方程考点二与圆有关的最值问题考点二与圆有关的最值问题考点一求圆的方程5.确定圆的方程的方法和步骤6.点与圆的位置关系考点三与圆有关的轨迹问题考点三与圆有关的轨迹问题1.圆的定义圆的定义在平面内,到定点定点的距离等于定长定长的点的集合集合叫做圆.教材研读教材研读2.确定一个圆最基本的要素是圆心圆心和半径半径.3.圆的标准方程圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),其中(a,b)为圆心,r为半径.x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F0,其中圆心为,半径r=.,22DE2242DE

2、F4.圆的一般方程圆的一般方程5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种:(圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点为(x0,y0)(1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2r2;(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)20).直线y=2与圆相切,圆心到直线

3、的距离等于半径r.r=1.故所求圆的方程为x2+(y-1)2=1,故选C.37222(1 1)(32)66661.求圆的方程的两种方法(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.方法指导方法指导2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;(3)两圆相切时,切

4、点与两圆圆心共线.1-1若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案答案A由于圆C的半径为1,圆心在第一象限且与x轴相切,故设圆心为(a,1)(a0),又由圆与直线4x-3y=0相切可得=1,解得a=2(舍负),故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.|43|5a A1-2求经过点A(5,2),B(3,-2),且圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.解析解析圆过A(5,2),B(3,-2)两点,圆心

5、一定在线段AB的垂直平分线上.易知线段AB的垂直平分线的方程为y=-(x-4).设所求圆的圆心坐标为C(a,b),则有解得C(2,1),r=|CA|=,所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.12230,1(4),2abba 2,1,ab22(52)(2 1)10典例典例2已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.yx考点二与圆有关的最值问题考点二与圆有关的最值问题解析解析原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,

6、所以设=k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=.所以的最大值为,最小值为-.(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.3yxyx2|20|1kk33yx33|20|2b3666(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识及题意知,在x轴与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.3333方法技巧方法技巧1.

7、与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心,圆外一点A到圆上距离的最小值为|AO|-r,最大值为|AO|+r;(2)过圆内一点的弦最长的是圆的直径,最短的是以该点为中点的弦;(3)记圆心到直线的距离为d,若直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为d+r,最小距离为d-r;(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.2.与圆上点(x,y)有关的最值(1)形如形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;(2)形如ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题,也可用三角代换求解;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的最值问题

8、.ybxa2-1(2015北京西城一模)设P,Q分别为直线x-y=0和圆x2+(y-6)2=2上的点,则|PQ|的最小值为()A.2B.3C.4D.4222答案答案A由圆的方程x2+(y-6)2=2知圆心为(0,6),设圆心到直线x-y=0的距离为d,则d=3.而圆的半径r=,所以|PQ|的最小值为d-r=3-=2.故选A.6222222A2-2已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.32nm解析解析(1)由题意知,圆C的标准方程为(x-2)2+(y-7)2=8,圆心C的坐标为(

9、2,7),半径r=2.又|QC|=42,|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.(2)因为表示直线MQ的斜率,所以设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由题意知直线MQ与圆C有交点,所以2,解得2-k2+,2222( 2)(73) 2222222232nm32nkm2|2723|1kkk233所以的最大值为2+,最小值为2-.32nm33典例典例3已知A(2,0)为圆x2+y2=4上一定点,B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程(P与A不重合);(2)若PBQ=90,求线段PQ中点的轨迹方程.考点三与圆有关的轨迹问

10、题考点三与圆有关的轨迹问题解析解析(1)设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x-2,2y).因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4.故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x2).(2)设PQ的中点为N(x,y),在RtPBQ中,|PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则ONPQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.方法技巧方法技巧求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同采用以下方法:(1)直接法:直接根据题设给定的条件列出方程;(2)定义法:根据圆的定义列方程;(3)几何法:利用圆的几何性质列方程;(4)代入法:找出要求的点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.3-1已知定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,点O是坐标原点,以OM、ON为边作平行四边形MONP,求动点P的轨迹.解析解析四边形MONP为平行四边形,=+.设点P(x,y),点N(x0,y0),则=-=(x,y)-(-3,4)=(x+3,y-4)