中科大线性控制_-最优控制部分补充课件

1、包包元元1包包元元4包包元元4包包元元5包包元元2包包元元91x2x3x4x5x6x1800 xxx,1500 xxx654321 x最小最小654321x9x5x4x4x2x)x(fJ 一一次次函函数数x无关无关与与t重力加速度重力加速度月球表面月球表面mg tu th tv月球推力推力发动机发动机高高度度速度 tmM登登月月舱舱质质量量（不含燃料）（不含燃料）登月舱的自重登月舱的自重 0tv ,0th,ttfff 00mtm 00hth 00vtv 0tt ),(),()(ttutxftx tu maxutu0 ,tu* mintmJf 有有J dtttutxLttxJfttff 0,),

2、(),(),()(ttutxftx ),(),()(kkk1kttutxftx tu 0t)t (x0)t (x0)t (x0ft)t (xf)t (xf)t (xf dtt ,tu,txLJft0t 1N0kkk),k(u),k(xLJ或或 )t (xJf )N(xJ 或或 dtt ,tu,txL)t(xJfttf 0 10Nkkk),k(u),k(xL)N(xJ 或或 tu tx J00ttdtJfttf 0tx ftx 01ftmjjtJut dtju dttutuJft0tT tutuT dttuQ)t(utxQtxtxQtxJfttTTffT 02102121 dttuQtutxQt

3、xJtTT 02121 txtxd tytyd dttuQ)t(utxQtxtxQtxJfttTTffT 02102121 ft dttuQtutxQtx21J0t2T1T 变变分分法法无无约约束束极极值值原原理理、动动态态规规则则有有约约束束区区间间消消去去法法爬山法爬山法梯度法梯度法 b,a)u(fJ 为极小值的充要条件为极小值的充要条件 u0| )u(f0| )u(fuuuu为极大值的充要条件为极大值的充要条件 u0| )u(f0| )u(fuuuu )u(fmin)u(fJvu b,a 维向量维向量这里这里nuuuu),u(fJTn21 00121 Tnuufufuffuf)u(fJ或

4、或）必要条件：）必要条件：取极值的充要条件为：取极值的充要条件为：则则正定）正定）充分条件：）充分条件：(uf0222 u22n22n21n2n22222122n1221221222fufuufuufuufufuufuufuufufuf 其中其中)u,x(fJ 0)u,x(g Tn21xxxx 维矢量函数。维矢量函数。维列矢量；维列矢量；ngru 同维列向量。同维列向量。乘子矢量，与乘子矢量，与式中，式中，g)u,x(g)u,x(f)u,x(gJHTT nn11n11Tn1Txgnxgxgxgxgxg)xg(其中其中)u ,x(g)u ,x(f)u ,x(gJHTT 000 )u,x(gH)u

5、g(ufuH)xg(xfxHTT )1N, 1 ,0k(x)0(xk),k(u),k(xf)1k(x0 初始值初始值)k(x)k(u)k(u 1N0kk),k(u),k(xL)N(xJ),(),()(ttutxftx 倍倍Nnt),t (u),t (xf)t (xkkk1k 1N0kk),k(u),k(xL)N(xJ)1N, 1 ,0k(0)1k(xk),k(u),k(xf 1011NkT)k(xk),k(u),k(xf)k(k),k(u),k(xL)N(xV 1N0kk),k(u),k(xL)N(xJ)N,k()k(xk),k(u),k(xf11001 kLkfkH 乘乘子子矢矢量量式式中中

6、，Tn)k()k()k()k( 21 fJVT 1N1kTk0T)k(x)k(HH)N(x)N()N(xV 则则0 VVV 的的线线性性主主部部的的增增量量求求)k()1k()k(xf)k(xL)1N,1k(),k()k(xH).1Tkkk 即即 1N1kTk0T)k(x)k(HH)N(x)N()N(xV 则则0)1()()()1, 1 , 0( , 0)().2 kkufkuLNkkuHTkkk 即即) 1, 1 , 0(),(),() 1().3 Nkkkukxfkx0)0().4xx 初初始始值值 )()()().5NNxNx 终值条件终值条件)N,k(x)(x),k(Hu)k(Gx)k

7、(x110010 初始值初始值寻求输入矢量寻求输入矢量)k(u目标函数目标函数J J最小最小 10210102121NkTTTNk)k(u)k(Q)k(u)k(x)k(Q)k(x)N(x)N(Q)N(xk),k(u),k(xL)N(xJ二次型性能指标二次型性能指标可可逆逆。正正定定对对称称阵阵，且且、式式中中GQQQ210 )()()1()()()()()()(2121kHukGxkkukQkukxkQkxHTTTk 则则)()1()()()1, 1(),()().11kkGkxkQNkkkxHTk 即即01110022 )k(H)k(u)k(Q)N,k( ,)k(uH).Tk 即即)N,k(

8、)k(Hu)k(Gx)k(x).11013 0 x)0(x).4 初始值初始值 )N()N(x)N(Q)N()N(x)N(x). 05即即终值条件终值条件边界条件边界条件 证明略）证明略）其中：其中：（令令()()()()1()()1()()()()01112NQNPkQGkPHkHQIkPGkPkxkPkTT )k(Gx)k(PHH)k(PH)k(Q)k(uTT1112 则求得则求得),(),()(ttutxftx 0)0(xx 初始值初始值)(tu dtt ,tu,txL)t(xJft0tf )1, 1 , 0(),(),()()1( Nktkkukxfkxkx tkkukxLNxJNk

9、10),(),()(。时，即为连续系统的解时，即为连续系统的解采样周期。当采样周期。当式中式中0 tt kkukxfkkkukxLHTk),(),()1(),(),( 令令 0)0()5),(),()()1()4)()()()30)()2)()1()()1xxtkkukxfkxkxNNxNxtkuHkktkxHkk 得连续系统的解：得连续系统的解：令令0 t 0)0()5)()()(),(),()(),(),()()1()4)()()()()()()30)()(0)()2)()()()()1()()1xxtxttHttutxftxtkkukxfkxkxttxtxNNxNxtutHtkuHttx

10、tHkktkxHfffkk 或或 xyJx xy xyJx xy xyJJ)x(y tmv21E2 )x(y0 上达到极小值。上达到极小值。在在)x(yJ0)x(yJ)x( yJJ00 dttxJt0 tx 221txJ ttx tcostx tsinxJ 上达到极大值。上达到极大值。在在若若)x(yJ0)x(yJ)x(yJJ00 0 dy)x(fy dx)x(fdy )x(y),x(yR)x(y),x(yL)x(yJ)x(y)x(yJJ )x( yJ)x(y )x( y),x( yLJ dttxdtxtxxJ 102102 则则 dtxxdttx210210 dttxxJ 102 xdttx

11、2J10 )x(y )x(y),x(yR)x(y),x(yL)x(yJ)x(y)x(yJJ )(),()(),()(),()()()(xyxyRJxyxyRxyxyLxyJxyxyJJ dttxxJ102 dt)t (x)t (x2dt)t (xa)t (xa)x(ya)x(yJaJ100a2100a 则则 0)()( axyaxyJaJ )x( y)x( yJy )x(ya),x(yR)x(ya),x(yL )x(yJ)x(ya)x(yJJ )x(ya )x(ya )x(y),x(yaL)x(ya),x(yL 00 a)x(ya),x(yRlima a)x(yJ)x(ya)x(yJlim)x

12、(ya)x(yJaaa 00 a)x(ya),x(yR)x(ya),x(yLlima 0 J)x(y),x(yL 02211 annyay ,yay ,yayJaJ 0J )x(yxyJ0在在 00 )x(yJ)x(yJJ 00 )x(yJ)x(yJJ xyxyxyJn，210J nnyyJyyJyyJ 2211 iyJ minJtx* dtt ,tx ,txL)x(Jftt 0 00 xtx ffxtx txxL, ft ,t00J 00 dtxxLxxLJftt )JJJ(xx xdtxLdtdxxLdtxxLffftttttt 000000 xdtxLdtdxLxxLJfftttt dx

13、uvuvdxvu分部积分：分部积分：00 dtxxLxxLJftt J txx 0 xLdtdxL)1 000 xdtxLdtdxLxxLJfftttt xtLxxxLxxL 2222dtdtxLtdtdxxLxdtxdxLxxLdtd)t ,x,x(LL 020 fttxxL) ff000fx)t (xx)t (x0)t (x0)t (x.a 固定端点：固定端点：fft0fx)t (x0 xL0)t (x0)t (x. b0 始端自由：始端自由：自由端点：自由端点：00t0fx)t (x0 xL0)t (x0)t (xf 终端自由：终端自由： 000 )t (xxL)t (xxLtftf 0

14、 xL0 xL0)t (x0)t (xf0tt0f 两端自由：两端自由： 222dtdxds 22dtdxds dtx1)dt()dx(dsJf0tt222 则则 tx1L2 令令0tftt txx0 xLdtdxL tx1L2 令令0CxL Cx1xxL2 即即 atx battx b ,a0tftt tx1x2x3x xfffx)t (xx)t (x)t (x)t (x 00000 000000 fttfxLxL)t (x)t (x 01002 CxxxLttk)t (xxt 000k)t (xxftf 00tftt tx1x2x3x xt1x tx0tft2x3xfftfx)t (xxL

15、)t (x)t (x 00000 t tx0tft3x2x1x x0000000 x)t (xxL)t (x)t (xtf xJ向量形式向量形式 0 xLdtdxL Tn21n21n21x,x,xx,t ;xx,x;x,x,xL 其中：其中：nRx 维维向向量量nx minJtx* dtt ,tx ,txL)x(Jftt 0 00 xtx ffxtx txxL, ft ,t00002211 nnxLdtdxLxLdtdxLxLdtdxL0 xxLf0ttT 0 xLdtdxL展展开开： minJtx* dtt ,tx ,txL)x(Jftt 0 00 xtx txxL, ft ,t0 tC0t

16、ftt txx fftx ,t)t(C)t(CJ minJtx* xdtxLdtdxLxxLJJffttttxx 000 ftxxJJJJ fttt)t ,x,x(LJff dtt ,tx,txL)x(Jftt 0ftttttt)t ,x,x(LxdtxLdtdxLxxLJfff 000 xLdtdxL00 x)t (x 000 ftttttt)t ,x ,x(LxdtxLdtdxLxxLJfff 00 ftttt)t ,x ,x(LxxLff fttftt)t ,x ,x(L)t (xxL)t (xxLff 000 ftftt)t ,x ,x(L)t (xxLff )(ftx 0t)t(c

17、txtx tx ftfftt fft)t (C fft)t (x fffft)t (xx)t (x 0 ftftt)t ,x ,x(L)t (xxLff fx fffft)t (xt)t (C 0 fttxL)t (x)t (CL 0 fttxL)t (x)t (CL0 )t(C)t (C0 fttxL)t (xL )t(C)t (C0 fttfffxL)t (x)t (C)t (L0 ftxL 00 ttxL)t (D)t (xL0 )t(D00 ttxL)t (xL )t(D00 txL0 xLdtdxL 0 fttTxL)t(x)t(CL10 )(xt)t (x 20ftt ffttx

18、2x x122dtx)dt()dx(dsJfftt 020221解：解： tx1L2 令令 atx battx 0 xLdtdxLCxxxL 1 101112 xxxxxftt battx 1 b10 )(x1 a1 t)t(x21 ft 0 fttxL)t (x)t (CLt)t (C 2 dtt ,tx,txL)t(xJfttf 0J0 J 00 x)t (x ftt fxt1x tx0tft2x3x minJtx* xdtxLdtdxxLdtxxLfffttTttTttT 000 dtxxLxxLJJfttTTxx 0 dtt ,tx,txL)t(xJfttf 0 xdtxLdtdxLx

19、xLJJffttTttTxx 00 dxuvuvdxvu分分部部积积分分：J0 J 0 xLdtdxL00 x)t (x )t(x)t(xxLffttf xdtxLdtdxLxxLJJffttTttTxx 00 )t (x)t (x)t (xJfTffxf dtt ,tx,txL)t(xJfttf 0 t ,u ,xftx nRx rRu t ,u ,xf dtt ,u ,xLJftt 0*u maxminJ 00 xtx ftx 0 )t (xt ,u ,xf dtxt ,u,xft ,u,xLJfttT 0 dtxt ,u,xft ,u,xLJfttT 0 dtt ,u ,x,xHdtxt

20、 ,u ,xHJffttttT 00 t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ Tn)t ( 21 00 dtxuuHxxHJTTttTf 0 J dtxt ,u ,xHJfttT 0 xdtxdtxfffttTttTttT 000 000 dtuuHxxHxJTttTttTff 000 dtuuHxxHxJTttTttTff t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ t ,u ,xHx xt ,u ,xH 0 ut ,u ,xH fffx)t (xx)t (x)t (x)t (x 00000 000000 )t (x)t (x)t (x)t (xff 000

21、tTtTttTxxxff 00 ftt ;,xu) 带入哈密顿正则方程将将3 dtxt ,u ,xHJfttT 0 t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ );,x(uut ,u ,xH 0 t ,u,xftx nRx rRu t ,u,xf*u maxminJ 综合型综合型 dtt ,u,xLt),t (xJf0ttffL, 固定始端）固定始端）(xtx00 0 ffft),t(xN:tx满满足足终终端端状状态态)nq(qN ft dtxtuxftuxLttxNttxJfttTffTff 0,),(),( Tq 21 Tn)t ( 21 t ,u ,xft ,u ,xL)t

22、 ,u ,xHT （ dtxt ,u ,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 0 J dtxt ,u,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 0 ffxtxxuJJJJJJ dtxuuHxxHJJJTTttTuxxf 0 dtuuHxxHxTttTttTff 00 dtuuHxxH)t()t(xTttTfTff 0 fttttTTfttdtxt ,u ,xHNtJfff 0 fttTfTftxHtNtf dtxt ,u,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 fffTfttfTft)t (x)t (tHtNtf )t (xxt)t (xffff

23、 )t (x)t (x)t (tHtNtffTffTfttfTff ffttTfTfxNxxJ fttTfTfxxNxf 0 ffxtxxuJJJJJJ dtuuHxxH)t()t(xTttTfTff 0)t (x)t (x)t (tHtNtfTffTffttfTff fttTfTfxxNxf 0 0 ut ,u ,xH t ,u ,xHx xt ,u ,xH 0 ftxN fttTfxxNxt 00 xtx 固固定定时时不不存存在在fx 0 fttTfffftxNtt),t (),t (u),t (xH 给给定定，终终端端约约束束ftuxx 101010 00 x 且且初初始始状状态态 dt

24、tuxxJ 20222212122215221 1525221 xxminJ *u*x ,固固定定时时不不存存在在ft给给定定，终终端端约约束束ft uxxfx22其中其中 ,21令令 uxut ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT2221221 （则则 dtxt ,u,xHt),t(xNt),t(xJfttTffTff 0 222122215221 xxt ,txff 01525221 )(x)(xN 11ct 122cectt 0ut ,u,xH 控控制制方方程程)202 u 122cecttut uxxxx 2221 t ,u ,xHx1222110 xHxH xt ,u ,

25、xH uxuH2221221 4123121ctcecectxtt 123221cecectxtt 0txNf fttTfxxNxt fttTfxxNxt 2222 fttTfxxNxt 1111 00 xtx 00021 xx 122cecttut 7301.c 1302.c 730130.e.t 122cecttut uHuuu0uH 实际中很难实现实际中很难实现连续可微，连续可微，对对另外另外utuxftuxLHT, fL,*u maxminJ 综合型性能指标综合型性能指标 dttuxLttxJfttff0,),(L, ft有有界界闭闭集集 )(tu ttutxftx),(, nRx 受

26、受下下列列不不等等式式约约束束：控控制制rRtu )( 固定始端）固定始端）(00 xtx 0),(: fffttxNtx)nq(qN 0),(, ttutxg)rl( lg )(tw 0)(),()(0 twtutw 令令为分段光滑连续函数。为分段光滑连续函数。则则分段连续分段连续如如连续；连续；但但不连续不连续如如)(,)()2)(,)()1twtutwtu 0)(,),(),()(02 tzttutxgz 令令)(tzl0)(2 z 则有则有 dtz)t ,w,x(gxt ,w,xft ,w,xLt),t(xNt),t(xJfttTTffTff 021 twxftwxLtwxHT,),

27、（令令 TlTqTn)t( 212121 twxftwxLtwxHT,), （令令 dtz)t ,w,x(gxt ,w,xHt),t(xNt),t(xfttTTffTff 02 dtz)t ,w,x(gxt ,w,xft ,w,xLt),t(xNt),t(xJfttTTffTff 021 2),(,),(ztwxgxtwxHtzwxxTT 令令 2z)t ,w,x(gxt ,w,xH)t , z ,w,x ,x(TT 令令 dt)t ,z ,w,x,x(t),t(xNt),t(xJfttffTff 01 则则zwxtJJJJJf 11J1Jztxwuf ftfJt. 1fttttTfttdtN

28、tJfff 0 dttzwxxttxNttxJfttffTff 0),(),(),(1 fttfTft)tNt(f fxxxxJJJJx. 12 fttTTxxdtxxxxJJ01 ffttTTfxNxxJ fffft)t (x)t (xx tx fft ),t (xN0ttx txftfftt fx )(ftx fttxf )( ffttTTfffxNxt)t (x)t (xJ ffttTTttTTfffxdtxxxxNxt)t (x)t (xJ0 zwJ,Ju. 3 dttzwxxttxNttxJf0ttffTff1 ),(),(),( fffttTtTttTw)w(d)t (ww)t (

29、wdtw)w(J00 fffttTtTttTz)z(d)t (zz)t (zdtz)z(J00 1JzwxtJJJJJf 1 dttzwxttxNttxJfttffTff 0),(),(),(:1 增增广广泛泛函函01 J 令令0).1 xdtdx1J xgxHxT xdtdx xgxHT 2z)t ,w,x(gxt ,w,xH)t , z ,w,x ,x(TT 02 wdtd). wgwHwT 0 )wgwH(dtdwdtdT 03 zdtd).zzT 2 0 )z(dtdzdtdT 01 fttfTfTtNtxx). 2z)t ,w,x(gxt ,w,xH)t , z ,w,x ,x(TT

30、 ffttttTTHxxx x02 fttTxxNx). 0 fttTxNx 03 fttw). 0 ffttTttwgwHw 00 ffttfTfttfTfTHtNttNtxx 01 fttfTfTtNtxx). 04 fttz). zzT 2 0 fttTz xgxHT 时时不不含含只只有有xttutxg),(,xH （伴伴随随方方程程）0 wdtd（常数）（常数）Cw 0 zdtd（常数）（常数）Cz 0 fttz 0 fttw 又又0 w 0 z 0 zw0 wgwHT0 w 0 uguHT即即0 uH t),t (u,txftx nRx 固定始端）固定始端）(xtx00 0t),t(

31、xN:txfff 满满足足终终端端状状态态)nm(mN 综合型性能指标综合型性能指标 dtt ,u,xLt),t (xJfttff0L, ft受受下下列列不不等等式式约约束束：控控制制Utu )( 0 t),t (u,txg)rl( lg 有有界界闭闭集集 )(tu)t ,u ,x(fHx xgxHT 时时有有中中不不含含当当xgxH （伴伴随随方方程程） t ,u ,xft ,u ,xLHT H0 fttfTftNtH *uH t ,u ,xHt ,u ,xHminUu t ,u ,xHt ,u ,xH uguHT fttfTfftxNtxt )()( 0txNf 00 xtx ),t ,u

32、 ,x(fHx xgxHT 0 uHft0 fttfTftNtH Hff00 x)t (xx)t (x 固固定定端端点点：个）个）终端自由：终端自由：n(x)t (x00 fttfTff)t (xN)t (xt 0 ftxN个个）n(极极大大值值原原理理的的符符号号取取反反和和若若将将H t ,u,xHt ,u,xHminUu Hu t ,u ,xft ,u ,xL)t ,u ,xHT （ Tn)t ( 21 )t ,u ,x(fHx xgxHT 时时有有中中不不含含当当xgxH *uH t ,u ,xHt ,u ,xHminUu u ,x ,u tutxtx 50 x 150 tu. min

33、dttutxJ 10,u*xftfxu tuxftuxLtuxHt1TTn21,),(,)()( 引入哈密顿函数：引入哈密顿函数：设设 )()()()()(tutxttutxH 故故有有：)()( 1u1xxHxgxHT )t ,u ,x(fHx uxx )( 1(3(3） tuxHtuxHminUu, )(u)(xHmin 11最最小小)1(u （下界）（下界）上界）上界）5 . 0(1tu*11xg中中不不含含,u x 的的切切换换点点为为u1 )1( 1cett 0111 ce 固定固定1tfec 11tte 111 stset 3070.ts 501.tu*13070 t.30700.

34、t 0 fttfTff)t (xN)t (xt 00 x)t (x uxx 501.txtxtx 50121.ecectxtt1t307. 0 307. 0t0 1t307. 0 307. 0t0 50 x41 c 1e4txt* 307. 0t0 44630703070.x.ts 时：时：3742.c 5037414.e.extt*最终：最终：13070 t.30700.t 501.tu*13070 t.30700.t 11tte5 . 01307. 01t*u0 tx*t1307. 0044. 653 .12 t 1307. 00t tutxtx11 101x txtx12 002x mi

35、n1xJ2 1tu ftx tu*ftfxu t ,u ,xf)t ,u ,x(H,)t ()(TT 引入哈密尔顿函数：引入哈密尔顿函数：设设211 12111121x)ux(txtutx 22ct 211cectt 12111xuxH 即即xHxgxHT )t ,u ,x(fHx 022 xH 2111 xH tutxtx 11 txtx12 t ,u ,xHt ,u ,xHminUu xg中中不不含含12111xuxH 111 sgntu*01 01 1 tfttfTff)t (x)t (xN)t (xtf 12x 011111 t)(x 111122 t)(x ,u x t ,u ,xH

36、t ,u ,xHminUu 12 c 22ct 11 ec 211cectt 12 t 111 tet 的的切切换换点点为为u01 0111 stset tu11t1 11 st得得 01tu*1 t10 tft ft0fdtJtJ或或 iu0)t (xx)0(xf0 状状态态即即在在最最短短时时间间内内将将系系统统r ,2 , 1i1)t (u1)t (u1ii 或或控制约束为：控制约束为：)t(Bu)t(Ax)t(x 待待求求其其中中：ff0t ,0)t (x,x)0(x ft0utdtJminf 性能指标：性能指标：*uminJ )BuAx(1)t ,u,x(HT TTBumin TTT

37、TBuAx1 t ,u,xHt ,u,xHminUu 由由HminUu )B(SGN)t (uT r ,i ,)B(sgn)t (uiTi21 表示。表示。时用时用为向量为向量其中函数其中函数SGNa0a0a0a101asgn TAxHBuAxx 由由正正则则方方程程组组：0tAtATTe)0(e)t ( )B(SGN)t (uT )eB(SGN0tATT u, )C,B,A( ,u r ,2 ,1i),t (ui u, )C,B,A( )t (ui )r ,2 , 1i (,1)t (ui txtx21 tutx2 2x1xus1s1u10 xx0010 xx2121 矩阵形式：矩阵形式：待

38、待求求其其中中：ff00t ,0)t (x,x)t (x )ttt (,1)t (u1f0 控控制制约约束束为为：0ttdtJmin0ft0uf 令令性能指标：性能指标：*uminJ )BuAx(1)t ,u,x(HT ux1221 TAxH 10 21210010 T)t ,u ,x(fHx uxxxx 1000102121 ux1*uHumin2 HminUu t ,u ,xHt ,u ,xHminUu )t (sgn)t (u2 t010202121011 )t (sgn)t (u2 )tsgn(1020 1102 02 的的对对应应关关系系：与与)t(u)t(. 4t02,u 02 1

39、 ut02,u 02 1 ut02,u 2 1 u1st1t02,u 2 1 ust切换一次切换一次1020st ,txtx21 tutx2 有有时时,u .11 202xttx 10202121xtxttx C) t (xtx 2212101x2x 2xt有有时时,u .12 202xttx C) t (xtx 22121 2xt开开关关曲曲线线. 3时时1 u ) t (xtx22121 02x时时1 u ) t (xtx22121_x 0201x2x ) t (x) t (xtx22121 R R ) t (x) t (xtx22121 ) t (x) t (xtx22121 R R 1

40、 u1 u000 )t (xx)t (xf将将uftmintdtJf 0使使:u*目的求目的求不不同同位位置置不不同同由由图图知知： ux0 11 u.上：上：在在 112，内：内：在在 uR. 114 ，内：内：在在uR. 13 u.上：上：在在 05 u.到达原点：到达原点：0 x01x2x R R 011212 )x,x(h)t (xsgn)t (u当当021 )x,x(h当当021 )x,x(h当当2212121xxx)x ,x(h 令令1 u1 u ) t (x) t (xtx22121 R R ) t (x) t (xtx22121 ) t (x) t (xtx22121 u2xh

41、1x 1 s1s11 1 1x 2221xx 011212 )x,x(h)t (xsgn)t (u当当021 )x,x(h当当021 )x,x(h当当2212121xxx)x ,x(h )x,x()t (x20100设设 R)x,x(xxxR)x,x(xxxttt212212212212212424当当当当01x2x R Rt1t20 x 10222121NK)k(u)N(CxJ)k(u*)k(x*1101 N,k),k(u)k(x)k(x00 x)(x )(u),(u*10 )(x),(x*21 )x(J02 xJ*02*u0 xJ*11*u1)(Cx)(u)(xJ2211211221 22

42、1121121)(u)(xcu ）（ 10222121NK)k(u)N(CxJ)(u)(x)(x112 )(xJ)(u11 c)(cx)(u* 111c)(xc)(xJ* 112121c)(x)(x* 112 22111211211)(u)(xcu)(xJ ）（ )(xJ)(u11 0111111 )(u)(xc)(u)(u)(xJ)(x 1 )(xJ)(u002 c)(xc)(u)(xJ)(u)(xJ* 1120211021022122220012021)(u)(x)c(c)(u 00010002 )(u)(xcc)(u)(u)(xJc)(xc)(u)(xJ)(u)(xJ* 11202110

43、21022122)(u)(x)(x001 J)(xJ)(u002)(xcc)(x)c()(cx)(xJ)(xcc)(u*0211121200021022 )(x)c(c)(xJJ*0212022 )(xcc)(u*0210 )(xcc)(xcc)(u*021111 )(xc)(xc)(x*02111112 )(xcc)(x*02111 00 x)(x* u ,xfxkkk 1)k(uuk )k(xxk11 f00 x)(x 0 )u ,x(gkk 10Nkkku,xL)N(xJ 10Nkkku,xL)N(xJ )N(x)N(xxN )N,k)(k(u110Nxx 0 )N,k()k(u121

44、1111NkkkNu,xL)N(xminmin)x(J 1111NkkkNu,xL)N(xminmin)x(J )x(J)u ,x(Lmin)x(JNuN110000 u ,xfx001 )x(JN0 )x(JN11 0 x )x(J)u ,x(Lmin)x(JNuN2211111 u ,xfx001 )x(J)u ,x(Lmin)x(JNuN110000 )x(JN22 2xu ,xfx112 )(u1 )(u0 )x(J)u ,x(Lmin)x(Jk)k(NkkukkNk11 )x(J)u ,x(Lmin)x(Jk)k(NkkukkNk11 u ,xfxkkk 1)x(JkkN )x(Jk

45、)k(N11 kx)k(u )x(J)u ,x(Lmin)x(JNNNuN1122222 u ,xfxNNN221 )N(u2 )x(J)u ,x(Lmin)x(JNNNuNN1122222 u ,xfxNNN221 )N(u2 )x(J)u ,x(Lmin)x(JNNNuNN 011111u ,xfxNNN11 )N(u1 0 )x(N 00 )x(JN)x()x(JNN 0 xJ*N0*u0 xJ*N11 *u1xJk*kN *kuxJN*11 *Nu1 ftdt)ux(J022 )t (x ,x)(xf00 ft ,01 TsK)(u),(u),(u*210uTKxTx 1t ,u ,x

46、fx 任任意意或或uU)t (u *u maxminJ dtt ,u ,xL)t(xJfttf 0 00 xtx 0 fft ),t (xN)t (x*o)t (x )t (xf2x1x)t (x0 )ttt (ttf 0)t (x tt t , tt 0 dtt ,u ,xL)t(xmin)t ,x(JfttfUu dtt ,u ,xLdtt ,u ,xL)t(xminfttttttfUu J ,ttfftttt 0 tt),tt (xJ ,tttf J ,ttfftttt 0 tt),tt (xJ ,tttf dtt ,u ,xL)t(xmin)tt),tt(xJftttfUu t tt

47、,u ,xLdtt ,u ,xLttt )tt),tt(xJtt ,u ,xLmin)t ,x(JUu t ,x )t ,u ,x(fxt ,xJt ,u ,xLtt ,xJT*Uu*min ffff*t),t (xt),t (xJ t ,u ,xft ,u ,xLT )t ,u ,x(fxt ,xJt ,u ,xL)t ,u ,x(HT* )t ,u ,x(Htt ,xJminUu* )t ,u ,x(Htt ,xJminUu* )t ,u ,x(Htt ,xJminu* t ,u, xfxJ t ,u, xL t ,u, xHT* t , u , xHu0 ut ,u,xHut ,u,xHminUu Uu t ,xJ,x* uut),t (xJ*t),t (xJ*u t),t ( xu*)t (x* t),t (xu*)t (xJ*)t (x* )()(21)(210210ffTttT