圆锥曲线基础知识复习

1、概念、 方法、 题型、 及应试技巧总结1. 圆锥曲线的两个定义1） 第一定义中要 重视“括号”内的限制条件 ： 椭圆中 ，与两个定点F 1 ， F 2 的距离2a ，且此 常数 2a 一定要大于F1 F2 ，当常数等于F1F2 时，轨迹是线段F1 F 2，当常数小于F1 F2 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1， F 2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于| F1F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a< |F 1 F2 | 不可忽视 。若 2a |F 1 F2 | ，则轨迹是以F1 ， F2 为端点的两条射线，若2a |F 1 F2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中

2、的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 （ 1） 已知定点F1（ 3,0）,F2（3,0），在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的 是 A PF1 PF2 4 B PF1PF26 C PF1PF2 1022D PF1PF212 (答：C) ；（ 2） 方程 （x 6）2 y2 （x 6）2 y2 8表示的曲线是（答：双曲线的左支）（ 2） 第二定义中要 注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为分母”， 其商即是离心率e。 圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。2如 已知点 Q（2 2

3、,0） 及抛物线y x 上一动点P（ x,y） ,则 y+|PQ|的最小值是4（答：2）2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：1 ） 椭圆 ：焦点在x 轴上时其中 为参数） ，焦点在y 轴上时2 x2 a2 y2 a2 y b22 xb21( a b1( a bABC 0，且A， B， C 同号，如 （1） 已 知 方 程2x3k2y2k1表 示 椭 圆 ，0）xy bacsions （参数方程，0 ） 。方程Ax2 By2 C 表示椭A B) 。则 k的 取 值 范 围 为答：11( 3, 12)U( 21,2)；2）若 x, y R

4、，且5,2)3x22y26 ，则x y的最大值是2 y 2的最小值是2）双 曲 线 ： 焦 点 在 x轴 上 ：2 x2 a2y2 =1 ， 焦 点 在 y 轴 上 ： b22 y2 a2xb2 1（ a 0,bB 异号） 。0 ） 。方程Ax2 By2 C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且A，如（1） 双曲线的离心率等于5 ，且与椭圆x22y1有公共焦点，则该双曲线的方42程 （答： xy2 1 ） ；4（ 2） 设中心在坐标原点O，焦点F1、 F2在坐标轴上，离心率e 2 的双曲线C过点 P（4, 10） ，则 C 的方程为 （答：x2 y2 6）（ 3） 抛物线 ：开口向右时

5、y2 2 px（ p 0） ，开口向左时y22 px（p 0） ，开口向上时 x2 2 py（ p 0） ，开口向下时x22 py（ p 0） 。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（ 1 ） 椭圆 ：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。22如 已知方程x y 1 表示焦点在y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（ 答：m1 2m（, 1） （1, 32）（ 2） 双曲线：由x 2 , y 2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（ 3） 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒： （ 1 ） 在求解椭圆、双

6、曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1 ，F 2 的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两 个参数 a, b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（ 2） 在椭圆中，a最大，a2b2 c2，在双曲线中，222c 最大， c a b 。4. 圆锥曲线的几何性质：225. 1 ） 椭圆 （以 x 2y21 （ a b 0 ）为例） ： 范围 ： a x a, b y b ；a2b2 焦点 ：两个焦点（ c,0） ； 对称性 ：两条对称轴x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0 ） ，a2四个顶点

7、（ a,0）,（0, b） ， 其中长轴长为2a， 短轴长为2b ； 准线 ： 两条准线x a ；cc 离心率 ： e ，椭圆0 e 1 ， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。ax2y21025如（ 1 ） 若椭圆 x y 1 的离心率e 10 ，则 m 的值是（答：3 或 ） ；5 m5_3（ 2） 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：2 2 ）x2y2（ 2） 双曲线 （以1（ a 0,b 0） 为例） ： 范围 ： x a或 x a, yR；a2b2 焦点 ：两个焦点（ c,0） ； 对称性 ：两条对称轴x 0, y 0 ，一个对

8、称中心（0,0 ） ，两个顶点（ a,0） ，其中实轴长为2a ，虚轴长为2 b，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，a2称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0； 准线 ：两条准线x ； 离c心率： e c ，双曲线e 1 ，等轴双曲线e 2 ， e越小，开口越小，a开口越大；两条渐近线： y b x。a如 （ 1 ） 双曲线的渐近线方程是3x 2y 0， 则该双曲线的离心率等于（e 越大，答： 132或 313 ） ；2) 双曲线ax2 by2223) 设双曲线x2y2a2 b211 的离心率为5 ，则 a : b =（答：4 或 ） ；41 （ a>0,b>0）中，离心

9、率e 2 ,2, 则两条渐近线夹角 , )323） 抛物线 （以y22px（p 0） 为例） ： 范围 ： x 0, y R；焦点：一个焦点（ p ,0） ，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离； 2对称性0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ； 准线 ：一条准线xp2； 离心率 ：c ，抛物 ae 1。如 设 a 0,a R，则抛物线2y 4ax 的焦点坐标为(0,16a)）；5、点2 xP(x0,y0)和椭圆x2a2y21 ( ab20 ）的关系1）点P（x0, y0 ） 在椭圆2 x02 a2 x02 ay02 b22 y0 b21 ； （ 2）点P（x0 , y0 ） 在椭圆

10、上2 x02 a2y02 1； b3）点P（x0, y0） 在椭圆6直线与圆锥曲线的位置关系（ 1 ）相交 ：曲线相交不一定有个交点，故0 直线与椭圆相交；0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与双曲线相交，但直线与双0 直线与抛0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必x2-y 2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围物线相交，但直线与抛物线相交不一定有与抛物线相交且只有一个交点，故要条件。如（ 1 ） 若直线 y=kx+2 与双曲线是 （答：（-15 ,-1） ）

11、 ；22xy1 恒有公共点，则m 的取值范围是（ 2） 直线ykx 1=0 与椭圆5m（答：1 ， 5）（5， +） ；22（ 3） 过双曲线x y 1 的右焦点直线交双曲线于A、 B 两点，若AB4，则12这样的直线有条（答： 3） ；（2） 相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3） 相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒： （ 1 ） 直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果22直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一

12、个交点；（ 2） 过双曲线x y 1a2 b2外一点P（x0,y0） 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（ 3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。如 （ 1） 过点 （2,4） 作直线与抛物线y2 8x只有

13、一个公共点，这样的直线有（答：222） ；（ 2） 过点（0,2）与双曲线x y 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为9 16445（答：,） ；332（ 3） 过双曲线x2 y1 的右焦点作直线l 交双曲线于A、 B 两点，若AB 4，则满足条件的直线l 有 条（答：3） ；（ 4） 对于抛物线C： y2 4x，我们称满足y02 4x0的点M （x0,y0）在抛物线的内x0 ） 与抛物线C 的位置关系是部，若点M （x0,y0）在抛物线的内部，则直线l ： y0y 2（x（答：相离）；5） 过抛物线y2 4x的焦点 F 作一直线交抛物线于P、 Q 两点，若线段PF 与 FQ6） 设

14、双曲线p、 q ，则1p2x1） ；q2y 1 的右焦点为F ，右准线为9l ，设某直线m 交其左支、右支和右准线分别于P,Q, R，则 PFR和 QFR 的大小关系为（填大于、小于8 13)13或等于 ） （答：等于）；7） 求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离（答：（8）直线 y ax1 与双曲线3x2y21交于A、B 两点。当a为何值时，A、B 分别在双曲线的两支上？当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？（答：3, 3 ； a 1 ) ；7、焦半径（圆锥曲线上的点P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦

15、半径r ed ，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。 22如（ 1 ） 已知椭圆x y 1上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的25 1635距离为 （答：35 ） ；3（ 2） 已知抛物线方程为y2 8x，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于；（ 3 ） 若该抛物线上的点M 到焦点的距离是4，则点M 的坐标为（答：7,（2, 4） ） ；22（ 4） 点 P 在椭圆 x y 1 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点25925P 的横坐标为（答：） ；12（ 5） 抛物线y2 2x上的两点A、 B 到焦点的距离和是5，则线

16、段AB 的中点到y 轴的距离为（答：2） ；22（ 6） 椭圆 x y 1 内有一点P（1, 1） ， F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使4326MP 2MF 之值最小，则点M 的坐标为 （答：（, 1） ） ；38、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点P（x0, y0）到两焦点F1, F2的距离y21 中 ，b2x分 别 为 r1 ,r2 ， 焦 点F1PF2 的 面 积 为 S ， 则 在 椭 圆 x2aarccos （2b21） ，且当r1r2 即 P 为短轴端点时，r1r2最大为m ax arccosb2 c22

17、； a2 x 线2 a2b tan c| y0 |，当| y0 | b即 P 为短轴端点时，22y2b21 的焦点三角形有： arccos 1br1r2Sm ax的最大值为bc；对于双曲1 Sr1r2 sin22b cot 。2k=b22x0a y02 x2 a2 y b21 中 ， 以 P（x0 , y0） 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k=b2x02a y0在抛物线如 （ 1） 短轴长为5 ，离心率e 2 的椭圆的两焦点为F1 、 F2 ，过 F1作直线交椭圆于3A、 B 两点，则ABF2的周长为（答：6） ；（ 2） 设 P 是等轴双曲线x2 y2 a2（a 0） 右支

18、上一点，F1、 F2 是左右焦点，若PF2 F1F20 ， |PF1|=6，则该双曲线的方程为（答： x2 y2 4） ；22（ 3） 椭圆 x y 1 的焦点为F1、 F2，点P 为椭圆上的动点，当PF2 · PF1 <0 时，943535点 P 的横坐标的取值范围是（答：（ 3 5 , 3 5） ） ；556（ 4） 双曲线的虚轴长为4，离心率e6 ， F1、 F2是它的左右焦点，若过F1 的直线与双曲线的左支交于A、 B 两点，且AB 是 AF2 与 BF2 等差中项，则AB （答：8 2 ） ；（ 5 ） 已知双曲线的离心率为2 ， F1 、 F2 是左右焦点，P 为双

19、曲线上一点，且22F1PF2 60 ， S PFF 12 3 求该双曲线的标准方程（答：x y 1 ） ；9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （ 1） 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（ 2） 设 AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMFBMF； （ 3） 设 AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1 的中点，则PAPB； （4） 若AO的延长线交准线于C， 则 BC平行于x 轴， 反之， 若过 B 点平行于x 轴的直线交准线于C点，则A， O， C三点共线。10、弦长公式：若直线y kx b 与圆锥曲线相交于两点A、 B，且x1 ,x2 分别

20、为A、B 的横坐标，则AB 1 k2 x1 x2 ，若y1, y2分别为A、 B 的纵坐标，则AB 112 y1y2 ，若弦 AB 所在直线方程设为x ky b ，则 AB 1 k2 y1y2 。k2特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。如（ 1 ） 过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（ x1， y1） ， B（ x2， y2）两点，若x1+x2=6，那么|AB|等于 （答：8） ；（ 5） 过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于A、 B 两点，已知|AB|=10， O 为坐标原点，则ABC重心的

21、横坐标为（答：3） ；11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”或“点差法”求解。22在 椭圆 x2 y2 1 中，以P（x0, y0）为中点的弦所在直线的斜率aby0y2 2 px（p 0） 中，以P（x0, y0）为中点的弦所在直线的斜率k= p 。x2如（ 1 ） 如果椭圆x36x 2y 8 0） ；2y 1 弦被点A（ 4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是92） 已知直线2y= x+1 与椭圆 x2a2y21(abAB 的中点在直线L：x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为3 ） 试确定b 0） 相交于 A、 B 两点，且线段（答：2 ） ；22y 1 上有不同的

22、两点关于直线3y 4x m 对称（答：2 13 2 13 )13 , 13特别提醒： 因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 ！12 你了解下列结论吗？2 x2 a2 y b22x2ay bxa2y 1 的渐近线方程为 b2为渐近线（即与双曲线（ 为参数， 0）。2如 与双曲线x4x2992y 1)4y2 1 有共同的渐近线，且过点163）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 x2 a2 x2 a2 yb22 yb20；1 共渐近线）的双曲线方程为( 3,2 3)2 mx2ny 1 ；4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对

23、称轴的弦）为2b2 ，焦准距（焦点到ab2相应准线的距离）为b ，抛物线的通径为2 p ，焦准距为p ；5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；6）若抛物线cy2 2px(p 0)的焦点弦为AB， A(x1, y1), B(x2,y2)，则2p2 | AB | x1 x2 p ；x1 x2, y1 y2p4（ 7）若OA、 OB是过抛物线y2 2 px（p 0） 顶点 O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点（2 p,0）13 动点轨迹方程：（ 1 ）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（ 2）求轨迹方程的常用方法： 直接法 ：直接利用条件建立x, y 之间的关系F

24、 （ x, y） 0 ；如 已知动点P 到定点 F（1,0） 和直线 x 3的距离之和等于4，求P的轨迹方程（答：22y212（x 4）（3 x 4） 或 y2 4x（0 x 3）； 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点M（ m， 0） （m 0），端点A、 B 到 x轴距离之积为2m，以x 轴为对称轴，过A、 O、 B 三点作抛物线，则此抛物线方程为2（答： y 2x） ； 定义法 ：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；220如 （1） 由动点 P 向圆

25、 x y 1 作两条切线PA、 PB，切点分别为A、 B，APB=60，则22动点 P 的轨迹方程为（答： x y 4 ）； 2） 2） 点 M与点F（4,0） 的距离比它到直线l： x 5 0的距离小于1，则点M的轨迹方程是 （答：y2 16x ）； 3） 一动圆与两圆M： x2 y2 1 和N： x2y2 8x 12 0都外切， 则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）； 代入转移法： 动点 P（x, y） 依赖于另一动点Q（x0, y0）的变化而变化，并且Q（x0,y0）又在某已知曲线上，则可先用x, y的代数式表示x0, y0，再将x0, y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；2如 动点 P

26、是抛物线y 2x2 1 上任一点，定点为A（0, 1） , 点 M分PA 所成的比为2，1则 M 的轨迹方程为（答： y 6x2）；3 参数法 ：当动点P（x, y） 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x, y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 （ 1 ）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MNAB，垂足为N，在OM上取点 P ，使 |OP | | MN |，求点 P 的轨迹。（答：x2 y2 a | y |）；22（ 2） 若点P（x1 ,y1）在圆x2 y2 1 上运动，则点Q（x1y1,x1 y1）的轨迹方程是21（

27、答： y2 2x 1（|x|）；（ 3） 过抛物线x2 4y的焦点 F 作直线 l 交抛物线于A、 B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是（答：x2 2y 2 ）；注意 ：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。22如 已知椭圆x2y21（a b 0）的左、右焦点分别是F1ab（c， 0） 、 F2（ c， 0） ， Q 是椭圆外的动点，满足| F1Q | 2a. 点P 是线段F1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F2Q 上，并且满足PT TF20,|TF2 | 0. （ 1 ）

28、设 x 为 点 P 的 横 坐 标 ， 证 明c| F1P | a c x； （2）求点T 的轨迹 C 的方程； （ 3）试问：在点T 的轨迹 C 上，是否存a在点 M，使F1MF2的面积S=b2.若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由222b2b2（答：（ 1）略；（ 2） x y a ； （3）当a 时不存在；当a 时存在，此时ccF1MF22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 .在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “平面几何性质”数形结合 （ 如角平分线的双重身份对称性、 利用到角公式） 、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点 ”，那么 可选择应用“斜率或向量”为桥梁 转化 .14 、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（ 1 ） 给出