第04章流体流动的守恒原理-6

1、4.1 概述概述(雷诺输运定理雷诺输运定理)4.2 质量守恒方程质量守恒方程 4.3 动量守恒方程动量守恒方程4.4 动量矩守恒方程动量矩守恒方程4.5 能量守恒方程能量守恒方程第四章 流体流动的守恒原理本章任务：流体运动的三大控制方程本章任务：流体运动的三大控制方程连续性方连续性方程、动量方程、能量方程程、动量方程、能量方程( (积分式积分式) )及其应用。及其应用。4.1概述概述 (雷诺输运定理雷诺输运定理)4.1.1 系统与控制体系统与控制体IIIIIIt+t时刻系统的边界时刻系统的边界流线流线固定的控制体固定的控制体t时刻系统边界时刻系统边界系统：系统：由确定不变的物质组成的集合。系统

2、与外界之间通过(可变形的)系统边界可发生能量交换，但不发生质量交换。 -拉格朗日体系拉格朗日体系控制体：控制体：根据需要所选取的具有确定的位置、体积、形状的流场空间。控制体边界处可有质量和能量交换。 -欧拉体系欧拉体系 Reynolds Transport Theorem (RTT)控制体：蓝线内区域系统：t时蓝线 t+t时黑线t时刻系统与控制体重合控制体：细虚线内区域系统：粗黑实线内区域t时刻系统与控制体重合注意：注意：控制体的控制体的几何空间几何空间并非绝对固定不动，并非绝对固定不动，而只是而只是相对于相对于观察者固定不变观察者固定不变。控制体控制体inVoutV运动的控制体运动的控制体热

3、力学参数包括：热力学参数包括：尺度量：与物质的数量有关的量，或称是与质量成正比的量。具有基于物质数量的可加性。例如：系统的总质量、一定空间内的分子数、动量、内能等；强度量：与物质的数量无关、在“点”上定义的量，没有基于物质数量的可加性。例如压力、温度等。为了分析流体物理量的变化特性，需要对一定系统或控制体内的尺度量及其变化过程进行考察。但由于流体系统边界的变化，第2章已经提到流体力学分析中采用欧拉分析体系比采用拉格朗日分析体系更方便。因此需要建立流体系统与流体控制体之间的物理量（主要是尺度量）的关系。为此引入了雷诺输运定理。4.1.2 输运公式（雷诺输运定理）输运公式（雷诺输运定理）设设表示单

4、位质量流体具有的物表示单位质量流体具有的物理量，那么系统内的物理总量为：理量，那么系统内的物理总量为：SysVVdB.ConSConVSysVdAnVVdtVddtddtdB.)(则则雷诺输运定理雷诺输运定理表述为：表述为：控制体内物理总控制体内物理总量的时间变化率量的时间变化率控制面流出的物控制面流出的物理总量的净流量理总量的净流量系统中物理总量系统中物理总量的时间变化率的时间变化率雷诺输运定理：雷诺输运定理：单位时间内系统物理量的变化等于控制体内单位时间内系统物理量的变化等于控制体内物理量的时间变化率与从控制面流出物理量的净流量之和。物理量的时间变化率与从控制面流出物理量的净流量之和。此定

5、理将拉格朗日体系下系统内物理量变化与欧拉体系下控此定理将拉格朗日体系下系统内物理量变化与欧拉体系下控制体内物理量变化联系起来。制体内物理量变化联系起来。系统系统2 2系统系统1 1t tt+t+ t tz zx xy y控制体控制体dAnVS S2 2S S1 1123控制体内质量变化率；控制体内质量变化率； 流入控制体的质量；流入控制体的质量； 流出控制体的质量流出控制体的质量t时刻: 系统空间为III，系统边界与 控制体边界重合. 系统质量为：tt时刻：IIItttmmm系统质量为：000000()limlimlim()()limlimlimIIIIIIIIttttttsysttIIIII

6、IIIIItttttttttttIIIIIIIIIIttttttttttmmmmmmdmdtttmmmmmmtmmmmmmttt 系统质量随时间的变化率：IIIIIttttttmmm雷诺输运定理雷诺输运定理的简单验看的简单验看 -并非严格证明系统系统2 2系统系统1 1t tt+t+ t tz zx xy y控制体控制体dAnVS S2 2S S1 1系统移动到一个新空间，系统空间为IIIII，控制体为III.加上再减去以上是以质量为例，对动量、能量等尺度量，雷诺输运定理均成立4.2.1 控制面上的质量流量控制面上的质量流量4.2 质量守恒方程质量守恒方程流场中的控制体通过微元面和曲面的质量流

7、：通过微元面和曲面的质量流：4.2.2 控制体质量守恒方程（连续性方程的积分形式）控制体质量守恒方程（连续性方程的积分形式）: 单位面积的质量流、质量通量单位面积的质量流、质量通量0)(.ConSConVdAnVVdtn n表示控制体表面的单位外法矢。连续性方程表明：控制体表示控制体表面的单位外法矢。连续性方程表明：控制体内总质量随时间的减少率等于流出控制体的内总质量随时间的减少率等于流出控制体的净净质量流量。质量流量。根据质量守恒定理：根据质量守恒定理：系统系统的流体质量不随时间变化，所以：的流体质量不随时间变化，所以：.0V SysdmddVdtdt系统0)(.ConSConVdAnVVd

8、t对于稳定流，流进控制体的质对于稳定流，流进控制体的质量流量等于流出的质量流量量流量等于流出的质量流量定常流定常流0)(.ConSdAnV对于不可压流，流进控制体的对于不可压流，流进控制体的体积流量等于流出的体积流量体积流量等于流出的体积流量不可压缩流动不可压缩流动0)(.ConSConVdAnVVdtV V3 3n n3 3n n2 2V V2 2n n1 1V V1 1 一维管流0)(.ConSdAnV流管内的不可压流流管内的不可压流 2211AVAV2211)()(AVAV流管内的稳定流流管内的稳定流x x扩张管扩张管x x 收敛管收敛管A VA VAVAVd2d12121：已知管道中油

9、的质量流量为：已知管道中油的质量流量为Q Qm m=250kg/s, d=250kg/s, d1 1=200 =200 mm, dmm, d2 2=100mm, =100mm, 求流量和求流量和1 1、 2 2两管中的平均流速。两管中的平均流速。街道狭谷风效应街道狭谷风效应：在微风的日子里，高层建筑附近却有大风，人们：在微风的日子里，高层建筑附近却有大风，人们夏天喜欢在此乘凉。为什么高层建筑附近风总是很大？夏天喜欢在此乘凉。为什么高层建筑附近风总是很大？【例例4 41 1】不可压圆管层流的最大速度与平均速度的关系不可压圆管层流的最大速度与平均速度的关系1-1:均匀速度均匀速度V12-2:解：解

10、：1-1/2-21-1/2-2之间取为控制体。之间取为控制体。质量守恒：质量守恒：这个结论有点意思，不妨记住。这个结论有点意思，不妨记住。【例例4 42 2】搅拌槽出口溶液浓度，搅拌槽出口溶液浓度， P66.P 动量定理（牛顿第二运动定律）动量定理（牛顿第二运动定律）4.3 动量定理动量定理作用在作用在系统上系统上的合外力等于的合外力等于系统系统在该方向的动量的增加率：在该方向的动量的增加率：SysVsysVdVdtddtVmdF.)(根据雷诺输运定理：根据雷诺输运定理：.()V Syscons condVdVVdVV Vn dAdtt 单位时间内，控制体中总动量随时间的增加率

11、与流出控制体单位时间内，控制体中总动量随时间的增加率与流出控制体的的净净动量流量动量流量之和，等于作用在控制体上的合外力。之和，等于作用在控制体上的合外力。动量定理适合于所有的流动。动量定理适合于所有的流动。consconcondAnVVVdVtF.)(又，从任一瞬时又，从任一瞬时t t看，系统与控制体边界重合，因此看，系统与控制体边界重合，因此t t时刻作时刻作用在系统的外力即是作用在控制体上用在系统的外力即是作用在控制体上, ,因此可因此可得得动量定理动量定理: :动量流量：速度与质量流量的乘积，vv，也是矢量。动量定理的分量形式动量定理的分量形式: :()()()xxxcscvyyycs

12、cvzzzcscvFvv n dAv dVtFvv n dAv dVtFvv n dAv dVt 教科书称动量定理为教科书称动量定理为“动量守恒方程动量守恒方程”，这个叫法不合理。，这个叫法不合理。物理学物理学: 动量守恒的充要条件是这个系统受到的合外力为零。动量守恒的充要条件是这个系统受到的合外力为零。动量定理描述的是流体的动量变化和导致这种变化的作用力动量定理描述的是流体的动量变化和导致这种变化的作用力之间的关系。之间的关系。对分析流体机械和管道的受力时十分有用。对分析流体机械和管道的受力时十分有用。以平均速度表示的动量方程：以平均速度表示的动量方程：2211ymymyycvzFqvq v

13、v dVtF 针对管道或具有管状进出口的设备，不考虑流体速度在控制针对管道或具有管状进出口的设备，不考虑流体速度在控制体进出口截面的速度分布，采用平均速度来计算进出口截面体进出口截面的速度分布，采用平均速度来计算进出口截面流体动量。进出口截面分别记为流体动量。进出口截面分别记为1和和2。x方向的动量净输出：方向的动量净输出：21212211()()()xxxxmxmcsAAv v n dAvv n dAvv n dAv qv q 4.3.2 动量定理的简化形式动量定理的简化形式则则x方向动量方程：方向动量方程：2211xmxmxxcvFq vq vv dVt类似可得类似可得y方向和方向和z方向

14、的动量方程。方向的动量方程。质量流量解：取1-1/2-2之间段为控制体。流体受力：动量净流出：动量定理（稳态）得：弯头受力（反作用力）稳定流动系统的动量方程：稳定流动系统的动量方程：稳态流动时，流体参数与流动参数均与时间无关，控制体稳态流动时，流体参数与流动参数均与时间无关，控制体动量随时间的变化率为零，动量方程进一步简化：动量随时间的变化率为零，动量方程进一步简化：2211,xmxmxyzFq vq vFF注意：可能有多个进口和出口的情况！注意：可能有多个进口和出口的情况！【例例4 44 4】弯头受力分析弯头受力分析解:取铲水车为控制体方法一：地球参考系进口(铲水管)：v1x=0, qm1=

15、v0bW ; 出口：没有出口控制体内：质量守恒：动量定理：【例例45】铲水车内水对车作用力铲水车内水对车作用力 铲水口铲水口z向宽向宽W方法二：水车参考系进口(铲水管)：v1x= -v0, qm1=v0bW ; 出口：没有出口控制体内： (相对于控制体本身，内部vx=0)动量定理：哪个更方便？哪个更方便？ 解题解题关键：关键： 1 1 建立坐标系；建立坐标系； 2 2 选取合适的控制体；选取合适的控制体； 3 3 画出控制面上的所有表面力以及画出控制面上的所有表面力以及 作用在控制体上的质量力；作用在控制体上的质量力； 4 4 在选定的坐标系中，准确找出进出口参数以及控制体在选定的坐标系中，准

16、确找出进出口参数以及控制体 内参数变化情况内参数变化情况 5 5 根据动量定理、连续性方程根据动量定理、连续性方程 以及伯努利方程（后面很快将讲）求解；以及伯努利方程（后面很快将讲）求解； 6 6 涉及压强时，如无特殊要求，利用相对压强求解涉及压强时，如无特殊要求，利用相对压强求解 常常较为简便常常较为简便. . 自学了解：例例【46】动量法测物体绕流阻力动量法测物体绕流阻力.动量矩动量矩: 动量动量mv 对参照点的矩对参照点的矩, xy zr O F mv力矩与动量矩rmv将动量方程两边同时叉乘位置矢径，得：将动量方程两边同时叉乘位置矢径，得：()sysdmvrFrdtM()()sysdmv

17、d rmvdrrmvdtdtdt()sysd rmvMdt 动量矩定律：动量矩定律：对于对于同一参考点同一参考点，流体，流体系统系统所受力矩之和等所受力矩之和等于于系统系统动量矩随时间的变化率。动量矩随时间的变化率。4.4 动量矩定理动量矩定理4.4.1 动量矩、动量矩定理动量矩、动量矩定理（角动量方程角动量方程）,0drvvmvdt根据根据动量矩定律动量矩定律：应用应用雷诺输运定理雷诺输运定理（输运公式）（输运公式）:系统总力矩控制体净输出动量矩控制体内动量矩变化率系统总力矩控制体净输出动量矩控制体内动量矩变化率()cvcvcvMrvv n dArvdVt 分量形式分量形式:()()()()

18、()()()()()xxxcscvyyycscvzzzcscvMrvv n dArvdVtMrvv n dArvdVtMrvv n dArvdVt 4.4.2 控制体的动量矩方程控制体的动量矩方程“从任一瞬时从任一瞬时t t看，看，系统系统与与控制体控制体边界重合，因此边界重合，因此t t时刻作用时刻作用在在系统系统的力矩即是作用在的力矩即是作用在控制体控制体上上”（与与4.3.1中类似中类似）。）。因此可将因此可将系统系统的的动量矩方程动量矩方程用于对用于对控制体：控制体：()sysd rmvMdt二维稳定流动系统的动量矩方程二维稳定流动系统的动量矩方程平面运动中动量矩方程只有一个分量方程，

19、平面运动中动量矩方程只有一个分量方程，如采用平均速度，问题可再进一步简化。如采用平均速度，问题可再进一步简化。如图中如图中x-y面内的流道，稳态流动：面内的流道，稳态流动：y xzr1 Ov1r2v2x-y面内二维流动1v1 111sinzrvrv12222sinZrvr v2根据动量矩方程根据动量矩方程稳态流动稳态流动: : 0 02121()()()()zzzAAMrvv n dArvv n dA 22221 111sinsinzmmMr vqr vq通常约定通常约定Mz的正方向为的正方向为Z轴的正方向。轴的正方向。11rv与22rv与2v()()()zzzcscvMrvv n dArvd

20、Vt - 作用在控制体上的动量矩【例例4-7】离心泵叶轮力矩离心泵叶轮力矩, P77求求: 叶轮所受力矩叶轮所受力矩? 进口速度与叶片相切的进口速度与叶片相切的1=? 驱动叶轮工作消耗的功率？驱动叶轮工作消耗的功率？【例例4-8】喷水管力矩计算喷水管力矩计算, P78储存能储存能: 流体物质宏观和微观运动所具有的能量，包括内能、流体物质宏观和微观运动所具有的能量，包括内能、动能、势能。动能、势能。迁移能迁移能: 流体系统与外界交换的能量，包括热量、机械功流体系统与外界交换的能量，包括热量、机械功 。运动流体的机械能运动流体的机械能: 单位质量流体的机械能单位质量流体的机械能4.5 能量方程能量

21、方程4.5.1 运动流体的能量运动流体的能量22pvgz4.5.2 控制体的能量方程控制体的能量方程()sysdEQ Wdt雷诺输运定理（输运公式）雷诺输运定理（输运公式）:吸热对外作功吸热对外作功 控制体净输出的能量流量控制体净输出的能量流量 控制体内的能量变化率控制体内的能量变化率系统能量变化率控制体净输出能量控制体能量变化率系统能量变化率控制体净输出能量控制体能量变化率所以控制体的能量方程将如下列出所以控制体的能量方程将如下列出:能量方程：能量方程：控制体净输出能量流量：控制体净输出能量流量：控制体内部能量变化率：控制体内部能量变化率：()csev n dA cvedVt()cscvQW

22、ev n dAe dVt psWWWW流体对设备输出功的轴功率流体克服粘性消耗的功率流体系统克服控制面压力p而做功的功率：流动功功率22veugz()pcsWp v n dA 22() ()()22scscvvvQ Whgzv n dAugzdVWt 引入引入焓焓 h=u+pv=u+p/, 则则能量方程能量方程也可写成也可写成:单位质量流体具有的能量单位质量流体具有的能量为何不包括压力势能？因将另外考虑压力对外做功。理想气体内能vuC T【例例4-9】滑动轴承散热率滑动轴承散热率外圈固定，内圈转速外圈固定，内圈转速,表面切应力表面切应力，轴向宽轴向宽W。求保持温度恒定的散热速率。求保持温度恒定

23、的散热速率。解：取内外径之间的空间为控制体无进出口、无轴功率输入/输出给油体、稳态能量方程:简化为:所以散热速率还可进一步将表示成 ，所以11dvRdrRR32112RQWRR 考虑右图一个例子。考虑右图一个例子。A1-A2之间取为控制体。之间取为控制体。条件：条件：A1、A2截面积相对较小，截面积相对较小， 忽略参数忽略参数u,v,h,在截面上变化，在截面上变化，用平均值代替。用平均值代替。4.5.3 化工流动系统的能量方程化工流动系统的能量方程化工流动系统示例2221222111()()22CVsmmdEvvQ Whgz qhgz qdt则这一系统的能量平衡关系为：则这一系统的能量平衡关系

24、为：11 1122222,()2mmCVcvqv Aqv AvEugzdV稳态过程：稳态过程：绝热无轴功稳态流动：绝热无轴功稳态流动：21,0:CVmmmdEqqqdt0,0:sQW222121211()()2smQ Wqvvg zzhh222121211()()02vvg zzhh【例例4-11】泵的输入功率计算泵的输入功率计算稳态稳态, qv=280m3/h, =1000kg/m3 D1=0.3m,D2=0.15m. h=0.2mHgHg/=13.6 求泵的输入轴功率求泵的输入轴功率Ne（忽略摩擦）（忽略摩擦） 因为摩擦，泵因为摩擦，泵实际功率实际功率N=4000W, 求流体内能增量求流体

25、内能增量解：解：稳态无热交换。稳态无热交换。u2=u1 (Q=0且忽略摩擦且忽略摩擦) z1=z2, 故能量方程化为故能量方程化为: 由于：由于： ; ; 可得：可得： z1=z2,N=-Ws 由由中可知中可知 所以所以2222212121212111()()()()22smppW qvvhhvvuu2221211()2emppNqvv21.emuuuNNq 特定条件下能量方程的简化特定条件下能量方程的简化: :Bernoulli方程方程 1738年年 无轴功输出：无轴功输出： 无热量传递：无热量传递： 流体是不可压：流体是不可压：常数常数 定常定常流动：流动： 理想流体：理想流体：0Q0sW

26、0CVEt0,0W22221122112212122222pvpvpvpvz gz gorzzgggg4.5.4 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用22() ()()22scscvvvQ Whgzv n dAugzdVWt 重力场重力场cgVzgp22z z：位置水头：位置水头, ,单位重量流体所具有的位置势能（单位重量流体所具有的位置势能（m m）p/p/ g g：压强水头，单位重量流体所具有的压强势能：压强水头，单位重量流体所具有的压强势能(m)(m)z+p/z+p/ g+vg+v2 2/2g/2g：总水头，单位重量流体所具有的总机械能：总水头，单位重量流体所具有的总机械能, ,一一般用

27、般用H H表示，单位为表示，单位为m m。v v2 2/2g/2g：速度水头，单位重量流体所具有的动能：速度水头，单位重量流体所具有的动能, m, m。 意义：对定常绝热不可压的理想流动，沿流线总水头不意义：对定常绝热不可压的理想流动，沿流线总水头不变，即沿流线流体的压力能、位置能与动能可相互转化，但变，即沿流线流体的压力能、位置能与动能可相互转化，但总值不变总值不变机械能守恒机械能守恒伯努利方程的几何意义与物理意义伯努利方程的几何意义与物理意义伯努利方程的应用条件伯努利方程的应用条件 对对理想理想不可压缩不可压缩的的稳态稳态流动，该方程不但适用于流动，该方程不但适用于管流管流，而而且适用于流

28、场中的任一条且适用于流场中的任一条流线流线。应用于管流时要求管流进。应用于管流时要求管流进出口处于出口处于均匀流段均匀流段(没有转弯、突扩、突收缩等没有转弯、突扩、突收缩等)。 对于对于粘性粘性不可压缩不可压缩的的稳态稳态流动，只要选取的进出口截面处流动，只要选取的进出口截面处于于均匀流段均匀流段且与流动方向垂直，则截面上各点的总位能仍且与流动方向垂直，则截面上各点的总位能仍相等。但由于相等。但由于粘性粘性的存在，应考虑黏性导致的机械能耗散的存在，应考虑黏性导致的机械能耗散（阻力损失阻力损失）。且由于截面上速度分布）。且由于截面上速度分布不均匀不均匀，方程中的，方程中的动能项应采用管道截面的平

29、均动能。伯努利方程变为：动能项应采用管道截面的平均动能。伯努利方程变为：2211221222fpvpvzzhgggg2222fl vvhDg其中：沿程阻力系数；l：管道长度；D：管径； ：局部阻力系数（9.4节将细讲）式中hf是阻力损失:截面平均动能，计算不太方便；常采用截面平均速度和动能修正系数计算。 ，动能修正系数，近似取=1。22vv无功热交换时理想不可压稳态流动的机械能守恒方程无功热交换时理想不可压稳态流动的机械能守恒方程一维定常不可压理想流体在重力场中的能量方程一维定常不可压理想流体在重力场中的能量方程如果管道中还有机械功的输入输出，例如由输送泵输入轴如果管道中还有机械功的输入输出，

30、例如由输送泵输入轴功率为功率为N，则伯努利方程可进一步扩展（引申）为：，则伯努利方程可进一步扩展（引申）为：22221121212fmvvppNzzhq gggmN q g: :输入给流体的功率对应的压头（泵的扬程输入给流体的功率对应的压头（泵的扬程, ,m）“过程流体机械”课程的内容L2L131hH13水泵水泵iiturbinehgpgVHgpgV损失22221121z2z2涡轮/水轮机/风力机：iipumphgpgVHgpgV损失22221121z2z2压缩机/泵： 对于对于可压缩可压缩流体的流体的稳态稳态流动，只要马赫数流动，只要马赫数Ma0.3且与外且与外界无能量交换，则可界无能量交换

31、，则可近似按不可压缩流动近似按不可压缩流动处理。处理。马赫数马赫数:Mav a 流动速度流动速度与当地音速当地音速(流场中各点的音速可能不等)之比，以奥地利物理学家马赫(1836-1916)命名，是衡量流体流动可压缩性的一个重要参数，马赫数越高则流场中流体密度的变化越大。 一般地，Ma0.3时可不考虑流体压缩性；Ma1则为超音速。一般民用飞机飞行速度多为亚音速或高亚音速，军用战斗机可以达到Ma=3或更高，美国最新高超音速飞机已达到Ma=7，航天飞机再入大气层可以达到Ma=25以上。(理想气体有: )akRT【例例4-12】小孔出流小孔出流已知已知; z1保持不变保持不变; A1A2,忽略摩擦，

32、忽略摩擦，求小孔出流速度。求小孔出流速度。解：解：取1-1截面和2-2截面之间的流体 空间为控制体。1-1和2-2均为大气压，z1=z1,z2=0。根据伯努利方程：2211221222pvpvzzgggg可得：因为A1A2且且z1保持不变，故保持不变，故10v 212vgzh hd do o 2 21 1L Lz zh hd do o 2 21 1L Lz z(b)(b)(a)(a)基准基准【例例4-13】两个相同容器内装有深为两个相同容器内装有深为 h h的水，容器底面上有一直径的水，容器底面上有一直径为为d d的圆孔。容器的圆孔。容器(a)(a)中的水从空口自由流出，而中的水从空口自由流出，而 (b)(b)的空口外接了的空口外接了一根内径为一根内径为d d长为长为L L的圆管的圆管 。试求两种情况下的流量和。试求两种情况下的流量和1 1、2 2点的速点的速度。（不计摩擦）度。（不计摩擦）注意：控制面应尽可能取注意：控制面应尽可能取 在已知参数最多的位置在已知参数最多的位置【例例4-14】喷射水流分析喷射水流分析已知仰角已知仰角、喷水速、喷水速v1。不计阻力。不计阻力解：解：取喷口取喷口1和和x处截面处截面2之间的之间的流体占据