风险管理与金融机构课后习题8-9章答案

1、第八章8.1 VaR是指在一定的知心水平下损失不能超过的数量；预期亏损是在损失超过 VaR的条件下损失的期望值，预期亏损永远满足次可加性风险分散总会带来收 益条件。8.2 个风险度量可以被理解为损失分布的分位数的某种加权平均。 VaR对于第 x个分位数设定了 100%勺权重，而对于其它分位数设定了 0权重，预期亏损对于 高于X%勺分位数的所有分位数设定了相同比重，而对于低于 X%勺分位数的分位 数设定了 0比重。我们可以对分布中的其它分位数设定不同的比重， 并以此定义 出所谓的光谱型风险度量。当光谱型风险度量对于第q个分位数的权重为q的非 递减函数时，这一光谱型风险度量一定满足一致性条件。8.

2、3有5%勺时机你会在今后一个月损失6000美元或更多。8.4在一个不好的月份你的预期亏损为60000美元，不好的月份食指最坏的 5%的月份(1)由于99.1%的可能触发损失为100万美元，故在99%勺置信水平下，任意 项损失的VaR为100万美元。万美兀,2选定99%勺置信水平时，在1%勺尾局部布中，有0.9%的概率损失10000.1%的概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是0.1%1%1000.9%1%1000 910万 美元0.991=0.982081的概率损失为200万美元，有20.991=0.017838的概率损失为1100万美元，由于99%=98.2081%+0.7919

3、%因此将两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于99%勺置信水平的VaR是1100万美元。4选定99%勺置信水平时，在1%勺尾局部布中,有0.0081%的概率损失2000 万美元，有0.9919%的概率损失1100万美元，因此两项投资迭加在一起所产生 的投资组合对应于99%勺置信水平的预期亏损是0.0000810.0120000.0099190.0111001107万美元5由于1100 100 2=200,因此VaR不满足次可加性条件，1107 910 2=1820,因此预期亏损满足次可加性条件。18. 6 11 天展望期的 97.5% VaR为 200N (0.975)=200*1.96=3

4、9225天展望期的97.5% VaR为：5N 1 (0.99)2.331 31 天展望期的 99% VaR 为 392* N (0.975) =392*1.96 =466因此，5天展望期的99% VaR为5 *466=10428.7由于假定组合的价值变化服从正态分布，其期望值为 0,那么当每天价值变化 的一阶自相关系数等于0.16时对于8.16中5天展期望的97.5%变现为996万美 元，C中5天展望期的99%勺VAR变现为1182万美元。8.8边际VaR是 VaR的增长随第i个资产增加的比率，增量VaR是指第i个资产 对于VaR的影响含有第i个资产VaR与不含有第i个资产VaR的差，成分Va

5、R 是指整体VaR对于第i个资产的分配成分 VaR的总和等于整体VaR。8.9总数为17或更多例外发生所对应的概率为 1-BINOMDIST( 16,1000,0,01 ，TRUE)即2.64%,在5%S信水平下我们应该拒绝这一模型。8.10当金融资产交易组合的每天价值独立时，例外的情形以聚束的情形发生，而不是随机分布在整体时间区域内，这种情形被称为聚束效应。通常情况下，我们假设交易组合每天的价值变化独立，例外的情况发生应该比拟均匀的分布在检 测区间内，但是实际经济生活中，我们发现例外情形一般是呈现聚束分布特征的， 这便是聚束效应。8.11证明式8-3证明：我们希望计算数量为P1P2.Pn的标

6、准差，其中Pi为第i天的回报，其n2ij i jii 1式中，c i为Pi的标准差，p ij为Pi与Pj的相关系数。这是对于所有i ,c i= c，当ij时p ij= p i-j ，进一步运算，我们可以得出式8-3。2T 2仃 1)2(T2) 22仃3) 3. 2 T 18.12 1对应于95%勺置信水平，任意一项投资的 VaR为100万美元。2选定95%勺置信水平时，在5%勺尾局部布中，有4%勺概率损失1000 万美元，1%勺概率损失100万美元，因此，任一项投资的预期亏损是 塑 1000100 820万 美元5%5%0.94=0.8836的概盈利200万美元，有20.02=0.0016的概

7、率损失1100万美元，有20.94=0.0752的概率损失900万美元，有20.02=0.0376的概率不亏损也不盈利，由 0.95=0.8836+0.0376+0.0004+0.0284,因此将两项 投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%勺置信水平的VaR是 900万美元。4选定95%勺置信水平时，在5%勺尾局部布中,有0.16%的概率损失2000 万美元，有0.16%的概率损失1100万美元，有4.68%的概率损失900万美元，因 此，两项投资迭加在一起所产生的投资组合对应于 95%勺置信水平的预期亏损是4.68%0.16%0.16%辛一90011002000941.6万美兀5%5%

8、5%5由于900 100820 2=1640,因此预期亏损满足次可加性条件。VaR N 1(X)2T 2(T1)2(T2) 22仃3) 32 T 1 (2)由上式得:所以VaRTVaR/VaRT/ T(3)YWv5230%524.16%。VaR T 2(T 1)2(T 2) 2 2(T 3) 3 . 2 T 1V10 2* 9*0.12 2*8*0.122 2*7* 0.123 . 2* 0.129-200J10222.8663758万美元第九章9.2 某资产的波动率为每年25%对应于一天的资产价格百分比变化的标准为:25%/ .252=1.57%假定价格变化服从正态分布，均值为0估测在95%

9、勺置信度下价格百分比变化的置信区间为：-3.09%3.09%9.3开市时的波动率比闭市时的要大，交易员在计算波动率时往往采用交易天数而不是日历天数。9.4隐含波动率是指使得由Black-Scholes所计算出的期权借个等于市价时所对 应的波动率，隐含波动率的求解方法通常是采用试错法， 因为不同期权对应于不 同的隐含波动率，所以交易员利用Blac-Scholes公式时实际上采用了不同假设。9.5由9.3节的方法：先计算每段的回报，再计算回报的标准差，最后计算得到 的波动率为0.547%,但由式9-4的计算得出的每天波动率为0.530%。9.6由9-1可得：Prb( x) Kx ，当 500的概率

10、为1%2那么20.01 K* 500 ，K=2500,2当Prob( 1000) 2500*1000.25%，即点击次数为10000次以及更屡次的比例为0.25%;2当Prob( 2000)2500 * 20000.0625%，即点击次数为2000次以及更屡次的比例为0.0625%乘以在n-1天所估计的方差加上1 乘以第n天的回报的平方。9.8 GARCH 1,1对于长期平均方差设定了一定权重，这与EWM的假设一致，GARCH1,1丨具有波动率回归均值的特性。9.9 在这种情形下，n 1 0.015， n (30.50 30) / 30 0.01667，由式(9-8)我 们可得出2 2 2n

11、0.94 0.0150.06 0.016670.0002281因此在第n天波动率的估计值为0.000281 O.。15103，即1.5103%。9.10由EWM模型我们可以得到波动率的预测方程可以表示为:m2 一 、i 12m 2n (1)Unin mi 1所以，我们可以看出当我们把更大的权重，即认为近期的数据对现在的影响更大。同时，由模型我们也可以看出的变化将引起模型中权重的集体变化,进而引起模型波动率的较大变化。9. 11采用通常的符号，n 1 20 10240.01923，因此0.012 0.00016220.0000020.006 0.0192320.92n 0.01078，对于最新波

12、动率的估计为每天1.078%。9.12.解：价格变化的比率为-0.005/1.5000=-0.003333，当前每天的方差估计为0.0069=0.000036，对于每天的方差的新估计为波动率的新估计值为以上数值的平方根O.000033511 =0.597%1-，长期平均方差为/(1-)，增大 会促使长期平均方差的增长，增大会增大对于近期数据所设定的权重，同时减小对于长期平均方差所设定的权 重，以及增大长期平均方差；增大 仍会增大对于前一个方差所设定的权重，减小对于长期平均方差所设定的权重，并且增大长期平均方差的水平。9.14 长期平均方差为3 / 1- a - B，即 0.000004/0.0

13、3=0.0001333，长期平均波动率为0.0001333 =1.155%，描述方差回归长期平均 的方程式为 E c 2n+k=VL+( a + B )k( (T 2 n- VL)这时 E c 2 n+k=0.0001330+0.97k c 2 n-0.0001330丨如果当前波动率为每年20% c占52 血001471 =0.0121，即每天 1.21%。9.15 FTSE用美元表达为XY, X为其用英镑表达的价值，丫为汇率，定义xi为X 在第i填的价格变化百分比，yi为丫在第i填的百分比变化，XY的比例变化为 xi+yi,xi的标准差为1.8%, yi的标准差为0.9%, X与丫的相关系数

14、为0.4，因此xi+yi的方差为：0.018*0.018+0.009*0.009+2*0.009*0.018*0.4=0.0005346 ，因此 xi+yi 的标准 差为0.0231，即2.31%,这就是FTSE100被转化成美元后的波动率。9.16由式9-10可得：11 94 .4 .2，那么长期平均方差为：vl/O.OOO0003/0.02 O.OOO15，再由式 9-14 可得：2t 2302E( n t ) Vl () ( n Vl)0.00015 0.98 (0.010.00015)0.000123，那么波动率为：飞().O.OOO123 0.0111，即30天后的日波动率为1.11

15、%。9.17 把VL =0.0001，=0.0202，=20 以及 V()()252Vl 1 e V(0) VlLL得到波动率为19.88%。9.18周数股票价格价格比S / S 1每天回报Ui ln(Si Si 01 3221011121314此时,Ui33330.0947082Ui0.01145周收益率标准差的估计值为.1145 .09470820.028841314 (14 1)即周波动率为2.884%每周波动率的标准差为0.028840.00545或每周0.545%149.19(a)在这种情形下,0.013n (298 300)/300 -0.0066667 由式(9-8)我们可得出0

16、.0001615272 2 2n 0.94 0.0130.06 0.0066667因此在第n天波动率的估计值为0.000161527 O.。12709，即1.2709%。(b)这里GARCH(1,1模型为2 20.0000020.04 n 10.94 n 1由(a) 知,2 10.01320.0001692n-1(-0.0066667)20.000044447 因此0.0000020.04 0.0000444470.94 0.000169=0.00015886对于波动率的最新估计为0.00015886=0.012604，即每天1.2604%.9.21a由题设可知GARCH1,1丨模型为:2 20.0000020.03 n i 0.95 n 1因为1.2，由于Vl ,可知模型隐含的每天长期平均方差为2 n0.0001，对应的波动率为0.0001 =0.01即每天1%2 2b因为当前波动率为每天1.5%，所以n 10.0150.000225由于E ntt2Vl() ( n Vl)故20天后E2 2040天后