不等式期末复习讲义

1、不等式期末复习讲义知识点1.不等式性质实数的运算性质与大小顺序之间的关系用途：a、比较两个实数的大小b、证明不等式的性质c、证明不等式和解不等式比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质 对称性：a b二b a 传递性：a b, b c 可加性:a b 二a + 可积性:a b, c 0a b, c b, c d 乘法法则： 乘方法则：u a c c b + c =ac bc ;二 ac b + d开方法则:a b 0, c d 0= ac bda b 0, 二 an b n (n N) a b 0,=Vayb( n 亡 N)2.算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b

2、 R,那么a + b2ab（2）如果a、b R那么=辿腹（当且仅当a=b时等号）（当且仅当a=b时等号）推广:如果a,b为实数，则ab兰r+b222重要结论1)如果积xy是定值P,那么当x = y时，和x + y有最小值2;(2)如果和x + y是定值S,那么当x = y时，和xy有最大值S2/4。?条件为? 一正：?二定：?三相等一正二定三相等”各项都是正数 求和积定，求积和定:等号能成立?当等号不成立时，利用下列函数求最值。函数 f(x) = X + a(a0)在(0, 石x上递增，在ja,+ 乂)上递减。最重要的方法。则选择作差比较法;则选择作商比较法;当不等式的两边的差能分解因 当不等

3、式的两边都是正数且 碰到绝对值或根式，我们还3. 证明不等式的常用方法： 比较法：比较法是最基本、 式或能配成平方和的形式， 它们的商能与1比较大小， 可以考虑作平方差。综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件， 逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。a结论：已知 a、b、m都是正数，且 acb，贝U:4. 不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不 等式。同解变形：一个不等式变形为另一个不等式

4、时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解变形。提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形去分母、去括号、移项、合并同类项(2) 不等式ax b的解法x|xb/a；x|x0,其解集是e。 当a0时不等式的解集是 当a0时不等式的解集是 当a=0时,b0)的图象一元二次方程ax+bx+c=0(aO)的根一元二次不等 式 ax+bx+c0(日40)的解一元二次不等式 ax+bx+c0.v=laXX2X1 X X2A =0bA =-2a.ve0A 0住/aE0her.ve0(4)绝对值不等式I x | 0)的解集是 x I avx a (a 0)的解集是 x I xa,几何表示为:a

5、0a小结：解绝对值不等式的关键是一去绝对值符号(整体思想，分类讨论)转化为不含绝 对值的不等式，通常有下列三种解题思路：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；| f(x) | a 二 f(x) a 或 f(x) a; | f(x) | a u af(x) a(a0) u f2(x) a2； | f(x) | 0)台f2(x) a2； (4)几何意义。定义法:公式法:平方法:(1)(2)(3)(5) 分式不等式的解法分式不等式的解法旦注整式不等式组f(x) g(x) f(x) g(x)A 0式严 0f (x)a0= f (x)g(x)0二 f(x)g(x)0二 f(x)g(x) 0

6、且g(x) HO(6) 元高次不等式的解法数轴标根法把不等式化为f(x) 0 (或 0)的形式(首项系数化为正)，然后分解因式，再把根按 照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。(7) 含有绝对值的不等式定理：|a| |b冃a+b冃a| + |b|? |a| |b|b且ab0等号成立? |a+b| 0等号成立推论 1 ：| ai + a2 + a3| | ai | +| a2 | + | a3|推广：lai+a2+ +an|ai| +|a2| + + |an|推论 2： |a| |b冃a b|b,则 |a|b|B、若 ab,贝U 1/ab,则 a3b3D、若

7、 ab，则 a/b12、 已知a0. 1bababB、ab aba2 2C、 abaabD、 abab a3、当0ab(1 a)bC、(1 a)b (1 a)b/24、若 log a3log b30，则 a、A、 0ab1C、 0ba(1+b)D、(1 a)a(1 b)b(B)ba11bb : lg(a +1)lg(b5、若ab0,则下列不等式1/a1/b的是(A )A、B、(二)比较大小若 0 a 3 n /4,sin a +COS a =a,sin 3 +cos 3 =b，则(A )a bC ab2a、b为不等的正数，n N,则(a nb+abn) (an 1+bn 1)的符号是(C 恒正

8、 与a、b的大小有关设 1 x0,a 丰 1,比较 log at/2C、D、2+1):2a2b中成立1、A、2、A、C、3、4、B、 a b5、6、7、B、恒负D、与n是奇数或偶数有关2 . 2 2,lg(lgx) 的大小关系是 Igx lg xlg(lgx) 与log a(t+1)/2的大小。比较学与早的大小。va vb若a1,比较M =7帀一Ja与N =JaJO1的大小。设a、b是不相等的正数，A = -一- , G = (ab, H =2,21/a+ 1/b比较A、G、H、Q的大小 。ca2 +b2Q珂h分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系, 用比较法(

9、作差)即可。然后(三)利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件1、设x、y R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系命题甲：x0且y0,命题甲：x2且y2 ,2、已知四个命题，其中a、命题乙：x+y0且xy0命题乙：x+y4且xy4b R，a2b2的充要条件是|a| 2|b| 2;a2b2的充要条件是(a+b)充要条件充分不必要条件a2b2的充要条件是|a|b|与(a b)异号；a22c”的一个充分条件是( C )A、ac 或 bcB、ac 或 bv c(四) 范围问题1、设 60v av 84, 28v bv 33,求：a+b,a b,a/b 的范围。2、若二次函数y=f(x)的

10、图象过原点，且 K f( 1) 2,3 f(1) 2|a?|b|B222C、(a/2+b/2) w a /2+b /2C、ac 且 bc D、ac 且 bv c2、x、y (0,+ 8)，则下列不等式中等号不成立的是( A11 1A、X+-+ 2B、(x +)x, 1xx +-xC、(x+y)(1/x+1/y) 4已知6已知已知D )、(a/2+b/2)2ab2 2D、log1/2(a+b ) Iog1/2(2|a?|b|)1(y + ) 4yD、(lgx/2+lgy/2) a0,b0,a+b=1，则(1/a2 1)(1/b21)的最小值为(DB、72 2 2W Ig x/2+lg y/2)C

11、、8a0,b0,c0 , a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c 9ad+bc bc + ad a0,b0,c0,d0,求证： +3 4bd ac(六)求函数最值1、若 x4,函数 y = -x1+7，当 x =4 -x时，函数有最值是5、大、62、设 x、y R, x+y=5 ,则3x+3y的最小值是()DA、10C、3、下列各式中最小值等于 2的是()DA、x/y+y/xB、宀5C、tan a +cot aJx2 +44、已知实数 a、b、c、d 满足 a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2 的最小值。5、已知 x0,y0,2x+y=1,求 1/x+1/y 的最小值。(

12、七)实际问题1、98 (高考)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 体沉淀箱，污水从 A孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体的长度为cX c x2 +22cm的无盖长方am,高度为 bm,2+a已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料 60m2,问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)。y,解一：设流出的水中杂质的质量分数为由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k0) 据题设 2X 2b+2ab+2a=60(a0,b0).30-a/. b =2+a由 a0,b0 可得 0a k/18当 a=6 时,b=3，综

13、上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。解二：设流出的水中杂质的质量分数为y，由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k0)要求y的最小值，即要求 ab的最大值。据题设 2X 2b+2ab+2a=60(a0,b0)，即 a+2b+ab=30T a +2b 2J2ab(当且仅当a = 2b时等号成立)二 ab +2J2ab 30,解得一5丿2 JOb 3丿2即 0ab 14).问如126/x 米。x?a/4元，剩余 (14 x) ?a/2元，其余的建新墙的费用为 (2X+ 2?126/x拆去1米旧墙用所得材料建 1米新墙的费用为a/2元.经过讨论有两种方案：利用 旧

14、墙的一段x(x14)米为矩形厂房的一面边长；矩形厂房的一面长为 何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种方案最好？ 解：设总费用为y元，利用旧墙的一面矩形边长为x米，则另一边长为若利用旧墙的一段 x米(x6,4 X当且仅当x = 12时等号成立， x = 12时ymin=7a(6 1)=35a。若利用旧墙的一段 x米(x 14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x?a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2 ?126/x 14) ?a元，故总费用y X +a(2x 十52 -14- a +2a(x + 126 -7)4x2x+ 126 126,当X =7126时等号成立，但(126 X

15、114,则 f(X2) f(X1)= X2+126/X2(X1+126/X1)=(X2 X1)(1 126/X1X2)0 f(x)=x+126/x 在14,+ )上递增，f(x) f(14) x=14 时 ymin=7a/2+2a(14+126/14 7)=35.5a综上所述，采用方案，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。(八) 比较法证明不等式1、已知 a、b、m、n R 证明：a +b a b +a b变：已知 a、b R+,证明：a3/b+b3/aa2+b22、 已知 a、b R ,f(x)=2x 2+1,a+b=1,证明：对任意实数 p、q 恒有 a?f(p)+b ?f(q

16、) f(ap+bq)(九) 综合法证明不等式1、已知a、2、已知3、已知a、a、丄“主 J 亠、十b+ c-a 丄 a + c-b 丄 a +b-C0c.b、c为不全相等的正数，求证： +3ab.b、c R,且 a+b+c=1，求证：a2+b2+c21/3 .b、c为不全相等的正数，且 abc=1,求证：L 111+ Uc - + - + -a b c4、已知 a、b R+, a+b=1,求证：Ja +1/2 + Jb +1/ 2 a+b+c2、 已知函数 f(x)=lg(1/x 1),X1、X2 (0,1/2)，且X2,求证：f(X1) + f(X2) A f3、设实数 x,y 满足 y+x

17、2=0,0a1，求证：loga (ax+ay)bc,求证： +a-bb-c a-caa、b、c r+,且 a+bc 求证： + 1+a 1+b 1+c22a、b、c R,证明：a +ac+c +3b(a+b+c) 0,并指出等号何时成立。a 的二次函数 f(a)=a2+(c+3b)a+3b 2+3bc+c225、已知分析：整理成关于 =(c+3b) 24( 3b2+3bc+c2)= 3(b2+2bc+c2) 022已知：X 2xy + y + x + y + 1= 0,求证：1/3 y/x 0X2 X 2(十三)不等式应用 不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式(组)的有关问题(如

18、求函数(如的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等)；二是能转化为不等式证明的有关问题 证明函数的单调性)；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。X2 +x1、已知f(x)的定义域是(0,1:,贝y函数y = f(lg)的定义域是2:5, 2)U ( 1,4:2、已知不等式ax2+bx+c0的解集是x| a x 3 (0 a 3 ),求不等式cx2+bx+a0).求证：f(x)是减函数；求f(x)的值域。 1+436x4、由于对某种商品实行征税，其售价比原价上涨x%涨价后商品卖出量减少 泄 ,100已知税率为销售金额的 20%.为实现销售金额和扣除税款的余额y不比原销售金额少，求上涨率

19、 X%勺取值范围;x为何值时，y最大？(保留一位小数)解：设原价为a,销售量为b，则36x36xy =a(1 +x%) xb(1 -叱)x(1 -20%) =ab(1 + x%)(1 -叱)咒80%10010036x寫 y ab, (1 +x%)(1 -)x80% 1100J整理得：36(x%)2 -64(x%) -25 0,. 0 x% 兰16 + 3125(2)y =ab(1 +x%)( x%) 80%9183625=一ab(1 +x%)(-x%) 1259F25兰亜ab125 j1 + X% +一X%92kJ当且仅当 1 + x%= 25/9 X%，即 x%= 8/9. X = 88.9

20、 时 y 最大。(十四)恒成立问题1、 若不等式a 1B、a 1C、0 a 1D、a a(x 2)的解集为 R求实数a的取值范围。3、如果关于x的不等式lg(2axC1的解集总包含了区间(1,2,求实数a的取值范围。 lg (a +x)解：由题设可知，原不等式在(1,2中总成立， a 0且a+ x 1原不等式等价于lg(2ax) 0设 f(x) = (1 2a)x +a,贝U f(x) 0 在(1,2中总成立，故有瑞:乂 (J器严gd4、设对 x R 有 3x+2x + 2 x+ x+1 n(n N)恒成立，试求n的值。分析：原不等式等价于2(3-n)x +(2-n) x+(2-n)0(1)X

21、2 +x+1由题意不等式(又x2+x+1恒大于零，所以不等式(1)等价于(3 n)x2 + (2 n)x + (2 - n) 0 (2)故 不等式(2)的解集为R,从而有1)的解集为Rr3 J? 0Ia = (2-町 2 4(3-門)(2 0对于一切实数x恒成立，求实数 m的取值范围。2x + 2x + a6、已知函数f(x)=当a=1/2时，求函数f(x)的最小值；若对任意x 1 ,+s),f(x) 0恒成立，试求实数a的取值范围。(十五)绝对值不等式定理中等号成立的问题1、解关于 x 的不等式 |x+log2x|=x+|log 2x|2、证明：|x+1/x| 2(十六)绝对值不等式的证明2

22、1、设 a R,函数 f(x)=ax +x a( 1 x 1).若 |a| w 1,求证 |f(x)| w 5/4 ;若函数f(x)有最大值17/8，求实数a的值。2、已知 |x a| /2a,|y b| s /2|a|,且 0v yv A,求证：|xy ab| &汞吐.1十十对十圄l + |b|证一=(直接利用性质走理)当0 +纠=0时，刁等式;咸tMzl当i|c+纠 工0时.|6纠 W |ia|+|纠序可M|胡+|胡 1申11 + 屮4|问+1切1+|纠+嗣iWj厉两十I绚+ QI十V 1切 ,1切 f 1+|纠1+1 纠证二(利用函数的单调性)詩“。时的单调性研究函轨(巧25对一切1 1

23、1、是否存在自然数 k,使得不等式 + +n+1 n+2 n+3正整数n都成立，若存在，求出 k的最大值；若不存在， 解：令111f(n)=+- +，对任意的n迂Nn+1n+23n+111f(n+1) - f (n)=+ :+3n+2 3n + 3 3n+4 n+1=+3n+2 3n+43n + 3= 0 f(n+1)f(n)，即f(n)在 N上是增函数，二f(n)的最3(n +4)(n +2)(n +3) 小值是 f(1)又 f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12故对一切正整数 n使得f(n)2a 5的充要条件是 13/122a 5,a a73/24故所求自然数a的最大值是3。2、已知

24、抛物线y=f(x)=ax 2+bx+c过点(1,0),问是否存在常数 a、b、c,使得不等式x2w f(x) w (1+x )/2对于一切实数 x都成立？解：假设存在常数 a、b、c,使得x w f(x) w (1+x 2)/2对一切实数x恒成立，令 x= 1 有 1W f(1) w 1 , f(1) = 1，即 a+ b + c= 1抛物线过点(1,0 ) a b + c = 0解得：b=1/2,c=1/2 a, f(x)=ax 2+x/2+1/2 a2 2 2由 xw f(x) w (1+x )/2 得 2xw 2ax +x+1 2aw 1+x即有不等式组CM二2的解集为应- 1)0一 1

25、0X -a2、解关于x的不等式芦G,1 - Si7(l -0 1 2a- l0，h-Sdr(2a- l) 0 且 x 丰 1,试比较 f(x)与 g(x)的大小。分析：当a- 1时，原不等式的解集为 x|x a或一1 x 1 当一1 a时，原不等式的解集为 x|x - 1或aw x 1时，原不等式的解集为 x|x 1或1xwa 当a = 1时，原不等式的解集为 x|x 1 当a = 1时，原不等式的解集为 x|x 1且x工一1(二) 数形结合的思想1、关于x的方程X2x(m+ 1) = 0只在1,1上有解，则实数a的取值范围是()A、: 5/4,+g)B、( 5/4, 1)C、: 5/4, 1

26、 D、(一汽 12、设k、a都是实数，关于x的方程|2x 1|=k(x a)+a对于一切实数k都有解，求实数 a的取值范围。3、已知 0 a 1, 0 b 1.求证：+ J(ip)?+沪 + J/ +(i-韻 +1乜)+(1 词=2 庞分析观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到Rt ABC中的等式a2+b2=c2,激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.如图27-3，作边长为1的正方形 ABCD分别在 AB AD上取AE=a AG=b过E、G 分别作AD AB的平行线，交CD BC于F、H, EF、GH交于O点.由题设条件及作图可知， AOGA BOE COF DOG皆为直

27、角三角形.少=佃匚贰OB = J(1T+趴oc=/(l-o) +(1-丹,0D =+(1-硏.再连结对角形 AC, BD易知 AC=BD旋,OA+OAC OB+COBD1图 27-3(三) 函数与方程的思想1、函数f(x)=lg(x 2+ax+1)的值域为R,求实数a的取值范围。2、已知f(x) Rg1 +2+3 +4 a，若 在(汽i】有意义，求实数a的取值范 围。3、 设不等式 mx22x m 1对于满足|m|w 2的一切实数 m都成立，求x的取值范围。 分析：设f(m)=(x 2 1)m+ 2x 1,则对于满足|m|w 2的一切实数 m都有f(m) 0 f( 2) 0 且 f(2) 04

28、、已知 x、y、z( 0,1 )，求证：x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) 1X) 1证明：构造函数 f(x)= x(1 y) + y(1 z) + z(1即 f(x) = (1 y z)x + y(1 z) + z 当 1 y z = 0,即 y + z = 1 时，f(x) = y(1 z) + z 1 = y + z 1 yz = yz 0当 1 y z 丰 0 时，f(x) 需证明 f(0) 0, f(1) 0 y、z ( 0,1 ) f(0) = y(1 z) + z 1f(1) = (1 y z) + y(1对任意的x( 0,1 )都有为一次函数，又 x（ 0,1 ）

29、,由一次函数的单调性，只=(y 1)(z 1) 0z) + z 1 = yz 0f(x) 0即 x(1 y) + y(1 z) + z(1 x) (ax+by)x、y都是正数，a、b都是正常数，且 a/x + b/y = 1，求证: + y ( Va + Jb)23、已知x、y 都是正数，且 x + y = 1,求证：(1 + 1/x)(1 + 1/y) 9x、y R,且 1/x + 9/y = 1 ，求 x + y 的最小值。5、若 0V x 0, b0,求 a/x + b/(1 x)的最小值是。6、 已知 a,b 是正数，且 a + b = 1，求证：(ax + by)(ay + bx) xy 分析： a,b是正数，且a + b = 12 2 2 2- (ax + by)(ay + bx) = a xy + abx + aby + b xy2 2 2 2 2 2=(a + b )xy+ ab(x + y ) = (1 2ab)xy+ ab(x + y )2 2 2=xy+ ab(x + y 2xy) = xy + ab(x y) xy4、已知(七)特殊与一般的思想2 21、已知 a、b、c R,函数 f (x) = ax + bx + c, g(x) = cx +bx + a,当 |x| 1 时，有 |f(x) 。(1) 求证：|g(1)| 2; (2)求证：当 |x| 1