抽屉原理与最不利原则(4年级培优)教师版

1、知识要点7/5眇专题解析y原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉中，则至少有一个抽屉中有 2个或2个以上的物体。原理2把多于mn （m乘以n）个的物体放到n个抽屉中，则至少有一个抽屉中有 m 1个 或多于m 1个的物体。解题矣犍密构造“抽屉”、找出“物体”及物体的放法是应用抽屉原理解决问题的关键。 常见的构造抽屉的方法有：数的分组法；剩余类法；图形分割法；染色法。当问题中出现“保证”二字，就要求我们必须利用“最不利”原则情况分析问题。最不利原则就是从“极端倒霉”的情况考虑问题，将所有不利的情况都考虑进来。将n个物品放到我们可以用如下方法，解决简单抽屉原理的问题:m个抽屉中，如果a ,那么一定有一

2、个抽屉中至少有a个物品;如果n m ab（ b 0），那么一定有一个抽屉中至少有a 1个物品。靈精讲范例魄D*L ''四年（1）班一共有42名学生，那么一定有至少几名学生的属相相同？（五年级培优底稿）解：中国属相有12个，即有12个“抽屉”，42名学生为“物体”。42 1236 ,则至少有3 14 （名）。难度系数：A练;盒子中装有红、白、黑三种颜色的小球各20个，这些小球摸起来手感都一样。14个小朋友闭着眼睛玩摸球游戏，每个小朋友一次只能摸出一个小球。那么一次至少有几 个小朋友摸出的小球颜色相同？（五年级培优底稿）解：14 3 42,则至少有4 1 5 （个）。难度系数：A有

3、3个不同的自然数，至少有两个数的和是偶数，为什么?（思维潜能P83）解析：自然数只有奇数和偶数两种情况，所以3个不同的自然数必定有两个同样是奇数或同样是偶数。因为“奇数 +奇数=偶数”，“偶数+偶数=偶数”，所以至少有两个数的和是 偶数。答案：因为：奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数。3个不同自然数中至少有两个同是奇数或同是偶数。所以至少有两个数的和是偶数。 难度系数：A4个连续自然数分别被3除后，必有两个余数相同，为什么？（思维潜能P83）解析：一个自然数除以 3,余数只有三种情况 O、1、2。4个连续自然数中取 3个连续 自然数分别除以 3后，三种余数必定全部出现，第四个数再去除以3所得的

4、余数肯定和之前的某个余数是相同的。答案：因任意自然数被 3除余数只可能是O、1、2。4÷ 3=11,1 +仁2.所以4个连续自然数分别被 3除后，必有两个余数相同。难度系数：Al7j*i布袋中有60块大小、形状都相同的木块，每15块涂上相同的颜色，一次至少取出多少块才能保证其中至少有3块颜色相同？（思维潜能）解析：要保证取出的木块有 3块颜色是相同的，那么必须算出共有60÷ 15=4 （种）不同的颜色。要保证取出 3块木块颜色是相同的，那最不利的情况就是每种颜色都先出现两 次，需要取出4× 2=8 （块）。这时候无论再取出一块是什么颜色的，总有一种颜色出现了 3次

5、。答案：60÷ 15 × 2+仁9 （块）难度系数：B副扑克牌一共有 54张，至少从中取出多少张才能保证:（1）至少有4张牌的花色相同；（2）4种花色的牌都有；3× 4+1+2=15 （张） 13× 3+1+2=42（张） 13× 3+4+2=45 （张） B（3）至少有4张牌是黑桃。（思维潜能） 答案：（1）（2）（3）难度系数：2012名冬令营营员去游览长城、颐和园、天坛，规定每人最少去一处，最多 去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？（思维潜能）解析：首先要考虑游览不同的景点有几种不同的情况，由于最少去一处最多去两处。所以只有去一处

6、景点和去两种景点这两种不同的情况。去一处景点有3种不同情况，去两处景点也有3种不同的情况，所以共有 6种不同的游览情况。用 2012去除以6可以算出平 均每种游览情况有 335人同时去，还剩余2人，所以至少有335+仁336 （人）游览的地方完 全相同。2（人）,335+仁336 （人）答案：2012÷（ 3+3） =335 （人）难度系数：B45人进行体育比赛，项目有A、B、C三种，规定每人至少参加一项，最多参加三项，至少有几人参加的项目是相同的?答案：45÷（ 3+3+1）=6 （人）3（人）6+仁7 （人）难度系数：B2011这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其

7、中每两个数的差不等于4?（思维潜能）解析：去1的话不包括5,取2的话不取6,取3的话不取7,去4的话不取8;那么自然 数把这些数四个一组：（1,2,3,4） , （ 5,6,7,8） , （ 9,10,11,12）,，（2005,2006,2007,2008 ）,（2009,2010,2011,2012）,共分成了“ 2011 ÷ 4=5023（个）” 502组，最后一组就是余下的3个数，然后取奇数组的4个数，舍去偶数组的4个数，共可取4× （ 502÷ 2） +3=1007 （个） 数。答案：2011 ÷4=502 （组）3 （个），4 ×（

8、 502÷ 2） +3=1007 （个）难度系数：C从1至2011这2011个自然数中最多能取出多少个数,使得其中任意的两个数都不连续且差不等于 4?（思维潜能）解析：由于任意两个数都不连续，且差不等于4,和前一题一样，取1的话5不能取，但是同样2也不能取；接下去只能取3,则4和7不能取；取6则10不能取。我们不妨将这些自然数排列出来看看有没有一定的规律：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,从这列数中我们不难看出15可以组成一组，610可以组成一组，以此类推。每组数可以取到2个数。因此2011共可分成2011 ÷ 5=4021,共402组，由于每组的最后一

9、个数是舍 去的，所以多出的这一个数是要取中的。答案：2011 ÷5=402 （组）1（个）, 402× 2+1=805 （个）难度系数：CO思看某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组。问：最少要经过几个月，才能使该班答案:第一个月:第二个月第三个月第四个月 答：至少要经过 难度系数：C的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里？（思维潜能）16÷ 2=8 （人），至少有 8人同组；8 ÷ 2=4 （人），至少有4人还同组；4 ÷ 2=2 （人），至少有2人还同组；2 ÷ 2=1 （人），至此把同组的全部分开了。4个月，才能使

10、该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里。什么是莫比乌斯带180°。莫比乌斯带是拓扑学家们的杰作之一。它使人感到古怪的是：只有一侧的曲面。 它的制作是极为简单的。我们把一个双侧环带随意在一处剪开，然后扭转一半，即 再粘合到一起来形成封闭的环，就得到了莫比乌斯带。但如果描述为没有“另一侧”，这是很难理解和想象的。但做起来却很容易，你可随意 从一处开始涂色(不离开这面)最终你将会发现莫比乌斯带都被你涂上了颜色，也就说明 这的确是一个单侧面的带子。如果我们把莫比乌莫比乌斯具有各种意想不到的性质，有人称之为“魔术般的变化” 斯带沿中线剪开，出乎意料地得到了一条双侧袋子而不是两条。数学

11、家对这种奇妙的现象 解释为：一条莫比乌斯带只有一条边，剪开却使它增加了第二条边与另一侧。如果把莫比乌 斯带沿三等分线剪开将使你又获新奇之感。剪刀将环绕纸带子走整整两圈，但只是一次连 续的剪开，剪的结果是两条卷绕在一起的纸条，其中的一条是双侧纸圈，另一条则是新的 莫比乌斯带。你看，这真是一个奇妙的带子。【教师备用题】(RS(SI1用递等式计算：(能简便的要简便)(1) 9.4+2635+4.65( 2)18.76 6.37+1.24 3.73(3) 43 28.123 11.875总用小数表示下列各数。808克=()千克8角=()元88厘米=()米8008 米=()千米88角=()元18分米8厘

12、米-()米J添括号，使所有的得数都等于50.7× 14 6 6=50185+15÷5+10-50160 5× 3+19-50总应用题王师傅要加工4800只零件，原计划16天完成。由于改进技术，实际提前4天完成任务。实际每天比原来多加工多少个零件?釣把1,2,3,，29,30,这30个数任意分成10组，每组3个数，证明其中必有一组中的3个数的和大于46. 答案：1、40.4、9.9、3.002 2、0.808、0.8、0.88、8.008、8.8、1.883、7 ×( 14-6)- 6=50; (185+15)÷ 5+10=50 ; 160 5

13、×( 3+9) =504、4800÷( 16 4) 4800÷ 16=100 (个)5、分析：将10组看作10个“抽屉”，如果先算出30个数字的总和：12330456 ,将465分配到10个抽屉里面，如果是每个抽屉里面的数字之和尽可能接近，能保证抽屉里数字之和最大的那个最小。那么只要30个抽屉里数字之和最大的那个数字大于 46,本题就可到证明。解： 12 330456 又丁 465 46 10 5根据抽屉原理2,10个抽屉里至少有一个抽屉里面的数字之和不小于46 147即证得必有一组中的 3个数字的和大于 46.谋后练习血某小学四(1)班有46名同学，至少有几个同

14、学在同一个月过生日？(思维潜能)解析：一年有12个月，这里最不利的情况是先有12个同学的生日是在不同的12个月。再有12个同学的生日在不同的12个月，可以得到 46÷ 12=3 (个)10(个)，表示有3个同学是在同一个月过生日。多出的10个同学最不利的情况是 10个人又都不在相同的月份，所以至少有3+仁4 (个)同学在同一个月过生日。答案：46÷ 12=3 (个)10 (个)3+仁4 (个)难度系数：A* l整扎某小学有369位1996年出生的学生，那么至少有几个同学的生日是在同一天？(思维 潜能)解析：1996是闰年，有366天，要至少至少有几个学生的生日是同一天，则要

15、考虑最不利 的情况，即有 366位同学的生日都不相同，那么剩下的3为同学的生日也不相同，但是必定和之前的366为同学中的1位同一天生日。所以至少有 2个同学的生日是在同一天。答案：369初366=1 (个)3 (个)难度系数：Ar I皿35名同学参加数学考试，试卷中有2道选择题，每题有 A、B、C、D四个选项。每位同学都写出的答案，那么一定有至少几名同学的答案是相同的。(底稿)解：构造抽屉，2道选择题答案的所有可能性如下，同一种选项：(A , A )、(B , B)、( C, C)、( D, D) , 4 种；不同种选项：(A , B )、(A , C)、(A , D )、( B , C)、( B, D )、( C, D )、( B, A )、( C,A)、( D, A)、( C, B)、( D, B)、(D, C) , 6 212 种；一共4 12 16 (种)不同答案，即有16个“抽屉”，将33名同学看成33个“物品”， 利用原理，35 16 23,则必有一个抽屉中至少有 2 1 3个“物品”，即至少有3 名同学的答案相同。难度系数：Bd个不透明的袋子里有红色、黄色、黑色袜子各20只。至少要拿几只袜子，才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子。（底稿）解：两双是4只，