备战高考数学二轮复习专题1.5立体几何教学案

1、31 / 39专题 1.5 立体几何一考场传真1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形 组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A.10B.12C. 14D. 16【答案】B32 / 39【辭析】 由题意该几何体的直观團是由一 b三棱锥和三棱柱构咸， 如下虱则该几何体平面內只有两个相 同的梯形的面，则含梯形的面积之和対“did V故选 R【答案】C【解析】如图所示,补成四棱柱ABCD A1BGD1，则所求角为BC1D Q BC12, BD221 2 2 1 cos60.3,C

2、1D AB1-.5，因此1 1C1中，C 120o,C CC111与G所成角的余弦值为（A.2.155.105则异面直线，理10】已知直三棱柱3 / 39cos BC1D上0，故选C553.【2017课标II,理4】如图，网格纸上小正方形的边长为 何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为(C.421,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几)D.36A.90B.63【答案】B【解析】由题劃该几何体是一个组合偽下半部分是一个底面半径为爲高为斗的圆柱，其体积1宀从 4 = ?6叭上半咅盼是 T 底面半径为 3,高为斗的圆柱的一半，其体积F；=AX(X31X6| = 27,该组台体的体积为

3、：厂二片+耳=孑 6更+兀=6扯一故选目.4.【2017课标3,理8】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A.n【答案】BD.【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：AC 1, AB由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是1，结合勾股定理，底面半径22、323r h1-24，故选B.4 / 395 / 395.【2017课标3,理16】a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC勺直角边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成6

4、0角；直线AB与a所成角的最小值为45;直 线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是 _.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由迸創血是次尿刪励 C为庶面半径的圆锥的母线，由 M 丄a.AC-6又丄融盅 面在底面内可以过点场作BDa，交麻面圆 C于点 6 如圍所示连结毋丄皿b?连结 等腰 3D中，曲二血 二厲：当直线仙与成旳涌时= 60,故启口二,又在fABDE中BE = 2.：.DE = y/2,过点釦乍肿DE*交圆 C于点旳连结肿，由圆的对称性 可换 BF = DE二忑Z.AABF为等边三甬形厶扮尸二百疔，祁与方成昭角，正确，错误一 由最小角走理可丸 M正确 j很明显，可以满足平

5、面掘 C1直线血直线曲 岂口所成的最大角为血， 错误一正确的说为一6.【2017课标1,理16】如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD E、F为圆O上的点，DBCECAFAB分别是以BC CA AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后， 分别以BC CA AB为折痕折起DBCECAFAB使得D E、F重合，得到三棱锥.当厶ABC的边长变 化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.6 / 39【解析】如下虱 谡正三角形的边长均 X,则 OG-fygq二阳二32067.【2017课标1,理18】如图，在四棱锥P-ABCDK AB/CD,且BAP CDP 9

6、0.(1)证明：平面PABL平面PAD(2)若PA=PD=AB=DCAPD 90，求二面角A-PBC的余弦值【解析】(1)由已知BAP CDP 90，得ABL AR CDL PD由于AB/ CD，故ABL PD，从而ABL平面PAD又AB平面PAB所以平面PABL平面PAD(2)在平面PAD内作PF AD,垂足为F,由(1)可知，AB平面PAD，故AB PF,可得PF【答案】4.15SO=h = G:-GO一三接锥的備积”斗 JT二 T=斗長X戶曲-半：?AS7 / 39平面ABCDF为坐标原点，耿的方向为兀轴正方向，|曲|为里位长，建立如團所示的空间直角坐标FyFt2系 F砂由及已知可得牟-

7、：o PQO：y胚？ fC（牛所以4忑-x+ t-岂=0厂T- _2 2可取卉二（Q1迈）设斯二（工丿佔）是平回只加屈二 0以二面角A-PB-C的余弦值为-半8.【2017课标II，理19】如图，四棱锥RABC呼，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD1 AB BC - AD, BAD ABC 90,E是PD的中点.2用 PC = Q，即*w-C5=0的法向量则的法向量，则*wrPA = Q 、即fftAS =0丄上nTT可取_（10则如=M wy = 0些所（1）证明：直线CE/平面PABAB D的余弦值8 / 39由,解得J21(舍去),_621辽2y 12.所以,从而UUULAMXo

8、,yo,Zo是平面ABM的法向量，则UULUTAMuuuAB0,即0,-2 Xo2yo.6zo0,所以可取Xo0,是cos m,nm nm n，因此二面角AB D的余弦值为.105【解析】3 的中点”连结码 瓯因为晦朋的中点，所沖 3 耳冷也由34D =厶心C= 901得BC H-4D，丈 BC =:所以曰7卫 5C.四边形B CEF为平行四边形,CE JIRF 艾 RFu平面PAB、平面耳故 CE平面 EM.由已捆昌血一 Q 以A为坐标原晟 両的万向为艾轴正方向，声|为单位长 建立如團所示的空间直角坐标系A-,则 TI啦小,B(IQO I, CflJ.O),曰 0 丄 Q ,PC,设 Af

9、(x.z)(Ox,z).PAf =为吊 I 与底面 ABCD所成的角为 45J而川=0Q】)是底面 ABQ的注问量,所以.cosRnfx-lf + V-zO UUUL UJIL又M在棱PC上，设PM PC,则,y i,z3m0,6,2.于9 / 39（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D- AE- C的【解析】由題设可得，込恥 ACBD,从而,又姑 3 罡直角三角形，所以厶取M的中点Or连搂DOJSO则DO丄ACO=AQ,又由于ABC杲正三角形， 故珈丄必所以如仞/.I 二面角D -AC-B的平面角 U RrAAOB中，加+討。少 又册=肋

10、，所叹BO2-DO=5O3AO-AB2=BD,故上 DO* 二 90，所以平面 ACD丄平面 ABU由题馭 知，OA:OB=OC两两垂直，以 O対坐标原氐 鬲的方向対和蚯方向，网为单位 长准立如團所示的空间直角坐标系 0 2.则（20）卩靠|上（1卫 00），由题设抵四面甘 CE的体积为四面体加 CD的体枳的二 从而汹平面皿的距离为涌平面曲 Cffl距禽的斗，即占 为 DB的中晟得 E芈丄-j r9.?则*冋理可得酗-（Q l：v3| .JiiJcos（MPr）-MA =OiLflfffHHF，賊二面角 g 術弦值为血7寸一故五 十 1阳疋十 2Q0）应=j -虞丄谴加屋平面匹 C6 備向高考

11、研究10 / 39考纲解读】1.考纲要求（一）立体几何初步（1）空间几何体1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所 表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式4会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）5了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）（2）点、直线、平面之间的位置关系1理解空间直线、平

12、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定 理.理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另

13、一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.3能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.（二）空间向量与立体几何（1）空间向量及其运算1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理

14、及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(2)空间向量的应用1理解直线的方向向量与平面的法向量11 / 392能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用(三)空间想象能力1能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组

15、合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质2空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力，识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言 以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空 间想象能力高层次的标志2.命题规律(1)空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点，单独考查三视图的逐渐减少，主要考查由三视图求原 几何体的面积、体积，主要以选择题、填空题的形式考查；该部分的命题通常围绕三个点展开第一点是 围绕空间几何体的三视图，设计由空间几何体的三视图判断

16、空间几何体的形状，由其中的一个或者两个视 图判断另外的视图等问题，其目的是考查对三视图的理解和空间想象能力；第二点是围绕空间几何体的表面积和体积展开，设计根据已知的空间几何体求空间几何体的表面积或体积的问题，其中空间几何体一般 以三视图的形式给出，目的是考查空间想象能力和基本的运算求解能力；第三点是围绕多面体和球展开， 设计求多面体的外接球的表面积、体积或者计算球的内接多面体的相关元素等问题，目的是考查空间想象 能力、逻辑推理能力和基本的运算求解能力.(2) 高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式：一是对命题真假的判断，通常以选择题、填 空题的形式考查，难度不大；二是在解答题中考查平

17、行、垂直关系的证明、常以柱体、锥体为载体，难度 中档偏难该部分的命题主要在三个点展开第一点是围绕空间点、直线、平面的位置关系展开，设计位 置关系的判断、简单的角与距离计算等问题，目的是考查对该部分基础知识的掌握情况及空间想象能力； 第二点是围绕空间平行关系和垂直关系的证明，设计通过具体的空间几何体证明其中的平行关系、垂直关 系的问题，目的是考查运用空间位置关系的相关定理、推理论证的能力及空间想象能力；第三个点是围绕 空间角与距离展开(特别是围绕空间角)，设计求解空间角的大小、根据空间角的大小求解其他几何元素等 问题，目的是综合考查利用空间线面位置关系的知识综合解决问题的能力.（3）求解立体几何

18、问题是高考的必考内容，每套试卷必有立体几何解答题，一般设 最后一问难度较大，而选用向量法可以降低解题难度该部分的命题非常单纯，就是围绕用空间向量解决 立体几何问题设计试题，考查空间向量在证明空间位置关系、求解空间角和距离问题中的应用，考查空间 向量在解决探索性问题中的应用，其目的是考查对立体几何中的向量方法的掌握程度，考查运算求解能 力试题大多是解答题，而且以使用空间向量求解空间角为主.3学法导航1.空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正（主）视图或侧（左）视图确定几何

19、体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即2问，前一问较简单,12 / 39可得到结果在还原空间几何体实际形状时，一般是以正（主）视图和俯视图为主，结合侧（左）视图进行综合考虑.2.求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和求简单几何体的体积时若所给的 几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不 能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时 应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.3.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解

20、题时要认真分析图形，明确切点和接点的位 置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中 心，正方体的棱长等于球的直径球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于 球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心（或“切点”“接点”）作出截面图.4.解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立

21、体几何中.5垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下（1）证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四 边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理 进行平行转换.（2）证明线线垂直常用的方法：利用等腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，I丄a,a?a?l丄a.6折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下 进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.7禾U用向量法证明平行、垂直关系，

22、关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向13 / 39量证明仍然离不开立体几何定理的条件8.二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角（或其补角）或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角利用向量法求二面角，必须能判定所求二面角的平面角是锐角或钝角”，否则解法是不严谨的一.基础知识整合1三视图：（1）三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求：正俯一样长，正侧一样

23、高，俯侧一样宽，即“长对正，高平齐，宽相等”.（2）三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正 视图一样，宽度与俯视图一样.（3）画三视图时，可见的轮廓线用实线画出，被遮挡的轮廓线，用虚线画出2.直观图：空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45（或135）,z轴与x轴和y轴所在平面垂直；（2）原图形 中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段 长度在直观图中减半13.体积与表面积公式：柱体的体积公式：V柱Sh；锥体的体

24、积公式：V锥Sh；台体的体积公式：31- 432V棱台h（S、SS S ）;球体的体积公式：V球r.球的表面积公式：S球4 R33棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积4.空间直线、平面之间的位置关系的判定与性质：空间直线、平面之间的位置关系：（1）位置关系的分异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）直线和平面的位置关系宀护方位置大糸直线a在平面a内直线a与平面a相交直线a与平面a平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点付号表示aalAa/类共面直线相交直线平行直线14 / 391、定义法（不易操作）2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假

25、设的条件出发，经过严密的推理,导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到3、客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行线线么这条直线和交线平行（线面平行线线平行）若a/ ,ab a/b平行）/a,b a/b（1）异面直线的判定:（2）直线与直线平行15 / 39公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行a/ b,b/c a/c直线和平面垂直

26、的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.若a,ballb（3）直线与直线垂直 定义法：如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线.（线面垂直线线垂直）两条平行线，若一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线.allb,a l b l（4）直线与平面平行：判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这 个平面平行.（线线平行 线面平行），若 a ,b ,allball面面平行的定义：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.（面面平行 线面平行）ll

27、,a all结论：平面外的两条平行直线，若其中一条平行于一个平面，则另一条必定也平行于这个平面.allb,all bll（5）直线与平面垂直：定义法：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直.判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直 线面垂直）若a,b ,a b O,l a,l b l面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直 线面垂直）， b,a ,a b a直线和平面垂直的性质：两条平行直线，若其中一条垂直于一个平面，则另一条必定也垂直于这个

28、平面.allb,ab结论：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.ll ,aa（6）平面与平面平行：定义法：两个平面没有公共点，称两个平面平行.判定法：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（线面平行 面面平行）a ,b ,a b O,all ,bll ll，借助法：垂直于同一条直线的两个平面平行.a, a ll（7）平面与平面垂直：定义法：若两个平面所成的二面角是直二面角，则称这两个平面垂直.判定法：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直 面面垂直）a5.空间的角与距离(1)异面直线的夹角：定义：对于异面直

29、线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线Bi和bi,我们把a1和b1所成的锐角或者叫做异面直线a和b所成的角.范围：(0，90】,a16 / 39(2)斜线与平面所成的角：定义：把直线I与其在平面a上的射影所成的锐角叫做直线I和平面a所成的角直线和平面所成的角的范围【0 ,90】(3)二面角：定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角范围为【0,180】(4)点到直线距离和点到平面的距离点到直线的距离：直接作直线的垂线.求点P到平面 内的直线a的距离：第一步：过P作PQ交平面 于点Q第二步：在 内过Q作作QR a，垂足为R第三步：连 结P、R，贝U PR即为点P到直线a

30、的距离点到平面的距离：直接作平面的垂线；要作垂线，先作垂面；体积法(等积法)6.空间向量与立体几何(1)空间向量与平行关系直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个.平面的法向量：直线I丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的法向量.空间中平行关系的向量表示线线平行：设直线I,m的方向向量分别为a=(a1,A,C1),b=(a2,b2,C2)，且a2b2C20,贝UI/n?r r r ra/ /b?a b?111(a2b2c20).a?b?C2r r线面平行：设直线I的方向向量为a=(a1,b1,C1)，平面a的法向量为u=(a2,b2,C

31、2)，贝UI/a?a ur r?a u 0?a.ja2+ db2+ C|C2=0.(3)面面平行r r r r设平面a,卩的法向量分别为u=(a1,b1,C1),v=(a2,b2,C2)，贝Ua/3?u / /v?u v?CL (a2b2C20)a?b?C2空间向量与垂直关系空间垂直关系的向量表示17 / 39空间中的垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直设直线l的方向向量为a=(a1,a2,a3)，直线m的方向向量为b=(b1,r rb2,b)，则1丄n?a b_设直线1的方向向量是a=(a1,b1,c，平面a的法向 量t=(a2,b2,C2)，贝9l丄ar r?a/t右平面a的法向量t=(a1,

32、b1,C1)，平面3的法向量为v=(a2,b2,C2)，贝U a丄3r r?t v空间中垂直关系的证明方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量的数 量积为.证明直线的方向向量与平面的法向 量是共线向量.证明两个 平面的法向 量垂直.证明两直线所成角为直角.证明直线与平面内的相交直线垂直.证明二面角的平面角为直角空间向量与空间角空间中的角设两异面直线所成的角为0,它们的方向向量为a,b,二高频考点突破 考点1:空间几何体的二视图、表面积、体积【例1】我国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器-商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位：寸)，若取3,其体积为12.6(立方

33、寸)，则图中的x为_角的分类向量求法范围异面直线所成的角则cos0=cos a,b |直线与平面所成的角.面角设直线l与平面a所成的角为0,1的方向向量为平面a的法向量为n,贝U sin0=cos a,na，设二面角al3的平面角为0,平面a、卩的法ir Un. Htr向量为ni, g 则|cos01=cos ni, n2n，2,n18 / 39匚 4 -_ J1-3占| :t1II C 1啊觇图分析：以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象还原几何体的形状构成，并从三视图发现几何中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解在求几何体的体积时，若给定的几何体是规则柱体，

34、锥体或台体，可直接利用公式求解若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，常用转换法，分割法，补形法等求解【答案】1.6【解阿 该几何体如團所示.左侧是底面直径为 h高為的圆柱右呱切邻边长为戈 y *.由题意可得7TX（1）:乂艾+2x1x04乂）=126二X-1 6.【例2】一块边长为6cm的正方形铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的分析：（1）解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；（2）解决本类

35、题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.【答案】D4 6cm3C.27.2cm3D.9-2cm3体积为（）A.12.6cm319 / 39【解析】如團，AR却为该四棱锥的正视囱由團 可知，股阳=6 且啲由 Awv 为等腰宜角三角形,可知丄皿朋，股=3 设购中点为。，则 R丄平面肿斗 1皿举, 二心-琳。血）* 9 忑*选 D.【规律方法】1、画三视图的基本原则是：长对正，宽相等，高平齐在做题时也要根据这个原则来画直观 图要根据这个原则来验证所画直观图是否正确2、 三视图问题关键是搞清楚三视图中的每条轮廓线

36、代表的意义，三视图中给出的尺寸在几何体中对应哪些线段的尺寸，三视图中的角度在几何体对应的角度是多少尤其要注意图中的直角， 这是一个很重要的信息必须结合三视图弄清几何体的直观图的构成，根据三视图的信息确定直观图中相关的量，然后才能进行相关计算3、 求几何体体积问题，可以多角度、多方位地考虑问题在求三棱锥体积的过程中，等体积转化法是常用 的方法，转换底面的原则是使其高易求，常把底面放在已知几何体的某一面上.4、 求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体变为规则几何体，易于求解.【举一反三】【2018黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几20

37、/ 3911J?【解析】该几何体屋由两个小三髓 8和一个圆锥组成所以体积为 2輿厶 2观+4宀 4 = 丁 1 + 2拓），33V故选 A.考点2:球与多面体【例3】已知正四棱锥P ABCD的底面边长为,2，体积为4，则此棱锥的内切球与外接球的半径之比3为（）A.1:2B.4:5C.1:3D.2:5分析：本题考查的是正四棱锥的内切球与外接球的半径的计算的综合运用问题，解答时先准确的画出示意图搞清该几何体的内切球与外接球的半径所在的几何图形，再运用所学知识进行求解求解时先借助体积公式、14r 2 r22构建含四棱锥高的方程丄2h -,求出h 2,再依据图形建立方程- -_1和（R 2）21 R2

38、,33竺厂2、215求出r与R,使得冋题获解.24【答案】D【解析】如風设正四極链的高初hs內切球今卜接球的半径分别为珥卫由题设可得殳 2心丄即 k = 2.33因二匸二故尸由于仗一可：+1三炉因此丘二二故尸：尺二2三二2:匚应选D.至市 42 4A88A. 1 2B.-1C33【答案】A42 3D.- 233何体的三视图，则该几何体的体积为（21 / 39【例4】已知三棱锥A BCD的所有顶点都在球0的球面上，AB为球0的直径，若该三棱锥的体积为 上3,BC4, BD .3, CBD90，则球O的表面积为（）3A.11B.20C.23D.3522 / 39【分析】本题主要考查了球与棱锥的组合

39、体问题、棱锥的体积和球的体积表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力和计算能力，属于中档题解答本题的关键是根据棱锥的体积公式求出点A到平面BCD的距离，再由球的截面性质求出球的半径，解答时要注意根据CBD 900判断截面圆的直径，最后根据球的表面积公式得到答案.【答案】A表面积为S 4 r211，故选A.【规律方法】1、涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.2、 求与球有关的“切”或者“接”球半径时，往往用到的方法有构造法或者直接确定球心.3、 球体中常常用到以下结论： 设球的半径为R，球

40、的截面圆的半径为r，则球心到截面的距离为d. R2r24、 求三棱锥的体积要注意如何选取底面和顶点.因为三棱锥的每一个面都可以作为底面，每一个顶点都可 以作为顶点.【举一反三】【2018河北衡水武邑中学三调】在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑M ABC中，MA平面ABC,MA AB BC 2,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 _.【答案】248/2【解析】宙题養 MC为球 O的直径，血巧，二球 O 的半径为前蒔 O的表页积为血叫 1 瓦 內 切球的半径设为, |*（2 + 2J2+22|V = |*2*2 ,得至 2 二血一 1內切操的体

41、积为眾一 8庞蔵.故结果龙2斗花一哲 JLr,考点3:线面位置关系的命题真假判断【例5】设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：【解析】设棱锥的高为h，因为SBCD-BC BD 2.3,所以VA BCD-SBCDh23心，所以h 2，3因此点0到平面BCD的距离为1，QBCD外接圆的直径为.7，所以OB,所以球0的21723 / 39若m,n/，则m n；若m/n,n/，则m/；若m/n,n,m/，则；若mln A,m /,m/ /,n/,n/，贝U / /.其中真命题的个数是（）分析：本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，属于易错题易错的

42、地方：对于，要注意除了结论外另一种特殊情况：m其余三个都是正确的.本题综合性强，方法灵活，考查了学生的空间想象能力，要注意直线、平面之间的判定定理和性质定理以及课本例题结论的应用【答案】C【解析】对于，假设n,Il，因为nP,所以n Pl,又m,所以m 1,而n Pl,所以mn,正确；对于，若m/n,n P，则m/或m,故错误;对于,若m/n,n, 则m,又m/,所以在平面内定存在一条直线l,使m Pl,而m,所以l,l,则,正确；对于，由面面平行的判定定理，可以判断出是正确的.故真命题有3个.选C.【规律方法】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的

43、各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方 体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中.【举一反三】【2018广东德清中学一模】设a,卩是两个不 同的平面，I是一条直线，给出下列说法:若1丄a,a丄卩，贝Ul/3;若1/a,a/3，贝U l/3；若1丄a,a/卩，则l丄卩;若l/a,a丄3，贝U l丄3其中说法正确的个数为()A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】若丿丄口丄虽 则 J匸 0,或”丿小 故错；若则S 或川航故昔；若 LL *训民则过 J 作两个平面场爼使平面“与釦&分别

44、交于畑叱平面扎:与平面心交于灼a 则由盘“卩得他和门比/丿匸 由/丄內得/丄刚J丄 g 故丿丄陀 丄也 故/丄心故正确$區若曲血心则丄臟故错本题选择 C选换考点4:空间中的线、面位置关系的判定与性质【例6】如图，四棱锥P ABCD的底面为矩形，PA底面ABCD,E，F分别为AB，PC的中点，24 / 39AB 2AD.(1)求证：EF/平面PAD;(2)求证：DE PC.25 / 39分析：（1）欲证EF平面PAD，只要在平面PAD内找到一条直线与EF平行即可，记PD中点为H, 连接AH ,FH，通过构造平行四边形AEFH，证之即可；（2）欲证DE PC，只要证DE平面PAC即 可，由已知可知

45、，PA DE，在平面ABCD内，通过三角形相似证DE AC即可证明DE平面PAC.【解记旳中点为连接AH.FH比 F分另悦 PDPQ的中点，HFAE/! CD?=-CD HF AE ,耐=由此可得四边形 ME田2 2为矩形耳 Fm*又 AH平面且 EF H平面 K1D ,所V）-.EF 平面PAD-（2）f： PA丄底面ASCD , DEu 底面ACD?:.DE丄PA ,设-迪二二2a?由此可知lDA= BC = 42ct. AE = a所以在RtlDAE与中，一 =一 =V2RtSDAER/X1BC ,AE BCAED = ZCA7又 / ZAiC+Z5C4 = 90T, /. ZRXC+=

46、 90;,由此可得DE-AC ,灵:ACHPAA, :.DE丄平面 FAC,二 DE-尸 C【例7】在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGF是直角26 / 39梯形，AB AF，且FA 2FG 4FH.（1）求证：平面BCG平面EHG；（2）若a 4，求四棱锥G BCEF的体积.分析：（1）证明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明往往利用线面垂直判定定理给予证明，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直，往往需要从两方面进行寻找与论证，一是结合平几知识，本题利用勾股定理证得HG GB，二是利用线面垂直性质定理，

47、即先由线线垂直DA AF, DA AB得线面垂直DA平面ABGH，而CB/DA，则CB平面ABGF，因此可得CB HG，最后根据线面垂直判定定理得HG平面BCG，（2）求四棱锥的体积，关键是求高，而 高的寻找依赖于线面垂直：过G作GK FB于K，则易证过G作GK 面 EFBC，即GK为高，最后根 据体积公式得体积【解析（1）证明:连接叽 由一仞十=肿二血可知：旳=J討+，=討;=: +；g；=a i3 = ” +討=芈。可得H 护二 HG + GRi,从而 HG Gfi.T DA 亠应 DQ AR , ：. DA丄平面,又TfBDD二CB丄平面j CR一HG HG平面BCG # HG平面EHG

48、：平面EHG丄平血BCG .（勿过 E作北的平行线交于FG的延长线于点尸,连接胛、刊交于点 6 过 G作GK-FB于心则GK 吕 PO = * = Ji ,可得匹边形BCEF的面积 5=4x472 =162 ,故 *卜CET=5 = *【规律方法】1、证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明； 对相交直线垂直的证明， 一般考虑用平面几何里的方法常见的有以下几种， 若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直；若是矩形，则邻边互相垂直；有时还用到 以下结论：如下图，在矩形ABCD中，若 歴 旦

49、匸，则AF DE；AD AB27 / 39若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理.2线面、线线垂直与平行的位置关系在面面平行与垂直位置关系的证明中起着承上启下的桥梁作用，依据线面、面面位置关系的判定定理与性质定理进行转化是解决这类问题的关键证明面面平行主要依据判定定理，证明面面垂直时，关键是从现有直线中找一条直线与其中一个平面垂直，若图中不存在这样的直线应借助添加中线、高线等方法解决.【举一反三】【2018河南中原名校质检】如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED平面ABCD,FG /平面BED；(2)求证：平面BED平面AED.【解析叭 1证明:取刀 D中点 0,

50、连接OrOG在 A5CD中，因为 G是 EC中点,OGf DC且OG-DC = ?又因为EF 汀岛?DC?所以 OG且EF =OGf即四边形 OGM是平行7匹边形，所UFG8E又尸 GN平面 RED OF匚平面 RED ,所以丿平面 R妙(2)证明;在阿 D中， = 1. = 2.BAD= 60e,由令弦定理可得BD 二苗进而二 90r即占 D_虫？又因为平面_平面 u 平面 朋 QD：平面AEDr平面CD = AD、所以BD一平面AED 又因対BD匚平面BED:所叽 平面BED一平面AEDEF/AB, AB 2,BC EF 1,BAD 60,G为BC的中点(1)求证:6-28 / 39【例8

51、】有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为_.1【答案】丄4【解析】过B作BE平行CD过D作DE平行CB,两直线交于E点，贝U ABE为异面直线AB和CD所成角1，则由面面垂直可得AD AE-10,由余弦定理得cos ABE2 21所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为一4【解析如團,在平面上戌 C内，过川作AH -BCf垂足为兀 连接DH,则価 丄平面DBC , AD在 平DBC內的身景为DH?所以乙 LDH即为直袋血芍平面 SCD 所成的角.由题设知的补角，设等边三角形边长为ABC和三角形DBC所在平面互相垂直,AB BD,考点5:空间距离

52、和角【例9】如图，在三棱锥A BCD中，已知三角形考点6:折叠问题29 / 39AB = RD/ZASff = ZPSff = 60,所以三垃曲,=,即 DH 丄 BE,所以HR = HS-45%艮卩言线AD与平面別?D所成角的大小为亠 故选 E 4考点6:折叠问题30 / 39一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线；二是在空间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线求异面直线所成的角，点的选取很重要.2、直线与平面所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而作出射影；3、作

53、二面角的平面角，有以下两种方法，一是在棱上适当位置取一点，过该点分别在两个面内作棱的垂线；二是通过作棱的垂面来作二面角是理科数学的重点考查内容，必须予以高度重视.4、求点到平面的距离除直接作出面的垂线外，常常用到等体积法.5、求空间的角与距离，总的原则是转化到同一平面内在三角形中进行求解【举一反三】【广东省深圳市2018届11月考】如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为1,E、F分别【答案】D.具体地，有以下两种方法:为GD1与AB的中点，B1到平面AFCE的距离为考点6:折叠问题31 / 39【解析】设点耳到平面4FCE的距离为阳.丁正方体棱长为b /AF = FC=书,EF =

54、 -、：S枣尸=xlxl = 又殆-y 二岭丄退二丄丄小 解得心逅护卩点场到平面 4叱的距高为冬选 D 343 23332 / 39【例10】如图1，正方形ABCD的边长为2.2, E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC图 1图 2(1)求证：BD AP;(2)求三棱锥A BDP的高.分析：(1)首先由中位线定理及已知条件推出PH平面ABFED，然后由线面垂直的性质定理BD平面APH，从而可使问题得证；(2)分别把ABD和BDP当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可.【解析 T盛 F分别罡 CD和*C的中乩二 EEBD . AC丄二1PX = 7?OTr7pF=j2l.AP

55、BD的面枳 岛包二斗蚣刖二辺设三A-BDP的高切，贝归榭 M血卩的体积为”+如心半內，由 可知阳杲三檄 t尸-如的高，二三棱雄尸 5D的体积： 2 迥=1= 罕圖=，即 = 半备解得丙二亦，即三棱锥A-BD尸高为忑.【规律方法】 解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决.与EF的交点，N是正方形两EF将CEF折起到PEF的位置，使得PH AH,33 / 39【举一反三】【2018湖北重点高中联考】 如图

56、(1)所示，已知四边形SBCD是由Rt SAB和直角梯形ABCD34 / 39拼接而成的，其中SAB SDC 90.且点A为线段SD的中点，AD 2DC 1,AB 2.现将SAB沿AB进行翻折，使得二面角S AB C的大小为90。，得到图形如图(2)所示，连接SC,点E, F2(n)若三棱锥B AEC的体积为四棱锥S ABCD体积的2，求点E到平面ABCD的距离5【解析】证明:因为二面甬3-血-C的大小为盹，则又 M丄山，故則丄平面血 3,更 EDU 平面卫所在直国梯冊一 458 中，丛 AD 二 ZADC W, AD=2CD = ,AB 二 2 ,所茂如二 2又 4 且 0十厶 E3C二 9

57、0,所以乙佃 D十乙斑 C二 90S即.ACRD、乂 AC c5L4= A)初BD一 T面 C)因为 JAF匚平面SAC1,故ED AF 设点 E到平面価 QD的距离为乩因为&磁 J 1且身沁故考点7:立体几何的探索性问题【例11】在四棱锥中P ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且(1)求证：EF /平面PAD;做点E到平面血 3的距离为$ -PAPDfAD、E、F，分别为PC、BD的中点.(2)在线段AB上是否存在点G,使得二面角CPDG的余弦值为,若存在,3请求出点G的位置;分别在线段SB, SC上.(I)证明：BD AF;，-JEC-X1-=1Y2七故；丿-

58、x 2xlx /r *735 / 39若不存在，请说明理由36 / 392YJ可取比二(広 7-农).所以分析：(1)根据题意可连接AC，与BD相交于点F,易证EF/PA，根据线面平行的判定定理即可证得EF/平面PAD；(2)取AD的中点0，连接OP,OF，可证得PO平面ABCD，以0为原点，分别 以射线OA,OF和0P为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系O xyz，不妨设AD 2，G 1,a,0 , 0 a 2，分别求出平面CPD和平面PDG的法向量，根据二面角的求法得到a的方程，求出其值，若满 足0 a 2，则存在，否则不存在.【解析】证明;连接ACf由正方形性质可知,AC与BD相交于点所

59、 I儿在甘 YC中EF /，PA又PAC平面PAD. EF工平面PAD.所以EFJ -平面PAD .取也的中点 0 ,连接 OFQF 因PA=PD.所以旳丄皿又因为侧面FQ一底面ABCD,交线为皿,所以 F0丄平面血 CD,以 0为原点， 分列以射线 0&0F和 OP 为芫轴,y轴和 m 轴建立 空间晝角坐标系 0-军 s 不妨设扭=2则有尸(0Ol),Di 1QO),C(120),假设在也 上存在 点 G(la.0).0ac2fJiliJPC =(-1.2-l),PD =I-la0-l)rDG=(2t0).因刊侧面尸血一底面ABCD9甕妫扭 b且底面是正方形所以 ED _平面 R辺则

60、仞丄由= 得PD_PA, mPA-PDC,即平面 PDQ的一个法向量対云=厲 61) 谡平面 PDG的法向理対为丄也的中点，使得二面角 C一皿-G 的余弦值艾 I*【规律方法】解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形.37 / 39对于是否存在问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条 件，结合所求，不难作出辅助线.说明理由【解析】（1）在山 C5C中ZC = 90%即丄BC的中点 N,连接文旋于当 F是如辛的中点，而 E是川（?的中点, EF