八年级最短路径问题归纳小结

1、学习必备欢迎下载八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩

2、形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】【问题1作法图形原理A*l连AB,与l交点即为P.AApll两点之间线段最短.bFA+PB最小值为AB.在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.B【问题2】“将军饮马”作法图形原理A.AB一l作B关于l的对称点B，/B两点之间线段最短.连AB"与l交点即为P.lFA+PB最小值为AB"在直线l上求一点P,使PA+PB值最小.,lPB'【问题3作法图形原理li/两点之间线段最短.PM+MN+PN的最小值为/,。1分别作点P关于两

3、直线的对称点P，和P，连P，P,人。l2与两直线交点即为M,N.线段，的长.在直线li、l2上分别求点l2nyM、N,使PMN的周长最小.P''【问题4】作法图形原理li上分别作点Q、P关于直线l1、l2的对称点Q/和P，Q'J1/Vp两点之间线段最短.四边形PQMN周长的最小值为线段P的长.l2连Q'P',与两直线交点即/Vl在直线li、l2上分别求点为M,N.l2N弋!M、N,使四边形PQMNP'旧川人取/,.【问题5】“造桥选址”作法图形原理A*M:B直线m/n,在m、n,上分别求点M、N,使MN，m,且AM+MN+BN的值最小.将点A向下

4、平移MN的长度单位得A"连AB,交n于点N,过N作NM，m于M.AA,A?V-m*两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.【问题6作法图形原理ABMaN-1在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a,并使AM+MN+NB的值最小.将点A向右平移a个长度单位得A，作A/关于1的对称点A，连AB,交直线1于点N,将N点向左平移a个单位得M.AA'bZ1M:N：X1iA''两点之间线段最短.AM+MN+BN的最小值为AB+MN.【问题7】作法图形原理ll12在11上求点A,在12上求点B,使PA+AB值最小.作点P关于11的对称点P/,作PB

5、77;12于B,交12于A.11B12点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段，B的长.【问题8作法图形原理NJ”生12MBA为li上一定点，B为12上/E点，在12上求点M,在11上求点N,使AM+MN+NB的值最小.作点A关于12的对称点A工作点B关于1i的对称点B"连AB交12于M,交11于N.B'ix11jMB12A'两点之间线段最短.AM+MN+NB的最小值为线段AB，的长.【问题9作法图形原理A.,B1在直线1上求一点P,使pAPB|的值最小.连AB,作AB的中垂线与直线1的交点即为P.V>b1P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.PA-PB

6、=0.学习必备欢迎下载【问题10作法图形原理A.Bl在直线l上求一点P,使|PAPB|的值最大.作直线AB,与直线1的交点即为P.A±1P三角形任意两边之差小于第三边.PA_PB|<AB.PA-PB的最大值=AB.【问题11作法图形原理A.1*B在直线1上求一点P,使|PA-PB的值最大.作B关于1的对称点B，作直线AB"与1交点即为P.A三角形任意两边之差小于第三边.PA-PB<AB'PA-PB最大值=ABZ.【问题12“费马点”作法图形原理AABC中每一内角都小于120°,在ABC内求一点P,使FA+PB+PC值最小.所求点为“费马点”，即

7、满足/APB=/BPC=/APC=120°,以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE,连CD、BE相交于P,点P即为所求.D出-”A二,BC两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值=CD.学习必备欢迎下载【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2氏B,2而C.3D,762.如图，在边长为2的菱形ABCD中，/ABC=60°,若将AACD绕点A旋转，当AC'、AD'分别与BC、CD交于点E、F,则ACEF的周长的最小值为（）A.2B,2

8、3C.23D.4学习必备欢迎下载3.四边形ABCD中，/B=/AMN+/ANM的度数为（D=90°,/C=70°,在BC、CD上分别找一点A.120°B.130°)C.110°D.140°M、N,使AAMN的周长最小时,4.如图，在锐角ABC中,AB=4j2,/BAC=45°,/BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是5.且如图，RtAABC中，/C=90°,/B=30°,AB=6,点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），ED=AE,则线段AE的取值范

9、围是6.如图，/AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是.（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方,即RtAABC中，/C=90°,则有AC2+BC2=AB2)7.如图，三角形AABC中，/OAB=/AOB=15°,点B在x轴的正半轴，坐标为B（6*'3,0）.OC平分/AOB,点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA+MN的最小值是学习必备欢迎下载8.已知此时A(2,C、D4)、B(4,2).C在y轴上，D在x轴上，则四边形两点的坐标分别为A

10、BCD的周长最小值为9.已知A(1,1)、B(4,2).(1)P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;y*(2)P为x轴上一动点，求PAPB的值最大时P点的坐标;O'yiBA*oQ(3)CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1,求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10.点C为/AOB内一点.(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若/AOB=30°,OC=10,求CDE周长的最小值和此时/DCE的度数.A学习必备欢迎下载11 .(1)如图，ABD和ACE均为等边三角形，BE、CE交于F,连AF,求证：AF+BF+CF=CD;(2)在ABC中，/ABC=30