北航2010-2011年研究生数值分析期末模拟试卷3

1、数值分析模拟试卷 1 1一、填空(共 3030 分，每空 3 3 分)fl1)1 设A=，则 A 的谱半径P(a)=,A 的条件数=51J22 设f(x)=3x+5,Xk=kh,k=0,1,2,则fxn,4书，Xn=fXn,Xni,Xn2,332_.X+X,0X13 设S(X)=J32，是以 0,1,2 为节点的三次样条函数，则2Xbxcx-1,1_x_2b=,c=.4 设qk(x)已是区间0,1上权函数为 W*)=*的最高项系数为 1 的正交多项式族，1其中q0(x)=1,贝Uj0 xqk(x)dx=,qz(x)=.一10a5 设A=01a,当a时，必有分解式A=LL,其中L为下三角阵，当:

2、aa1其对角线元素Lii(i=1,2,3)满足条件时，这种分解是唯一的.19、.(1)试求f(x)在,上的三次 Hermite 插值多项式H(x)使满足44H(Xi)=f(Xi),i=0,1,2,H(xJ=f(XI).(2)写出余项R(x)=f(x)H(x)的表达式.2二、(14(14 分)设有解万程123x+2cosx=0的迭代公式为xn书=4+cosxn,3(1)证明Vx0三R均有limxn=x*(x为方程的根)；X一.;二(2)取X0=4,用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过 1一二列出各次迭代值；(3)此迭代的收敛阶是多少？证明你的结论.四、(16(16 分)试确定常数 A,B,C

3、和巴使得数值积分公式冰Af(-a)+(0)+C/(a)有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的?、(14(14 分)设f(x)xix。-9Vn+=a(yn+yn)+h(Pofn+Rfn)的方法，使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项.112、广n六、(15(15 分)已知方程组Ax=b,其中 A=,b=,31J0(1)试讨论用 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法求解此方程组的收敛性(2)若有迭代公式x(k+)=x(k)+a(Ax(k)+b)，试确定一个口的取值范围，在这个范围内任取一个口值均能使该迭彳 t 公式收敛.七、(

4、8 分)方程组=其中 A 是对称的且非奇异.设 A 有误差办，则原方程组变化为+=b,其中盘为解的误差向量，试证明网平网.其中和入2分别为 A 的按模最大和最小的特征值.数值分析模拟试卷 2 2填空题(每空 2 分，共 30 分)1 .近似数x*=0.231关于真值x=0.229有位有效数字；2 .设f(x)可微，求方程x=f(x)根的牛顿迭代格式是；33 .对f(x)=x+x+1,差商f0,1,2,3=；f0,1,2,3,4=；.32、4 .已知x=(2,3),A=,则|Axk=,-21C0ndi(A)=35.用二分法求方程f(x)=x+x1=0在区间0,1内的根，进行一步后根所在区间为,进

5、行二步后根所在区间为五、(15(15 分)设有常微分方程的初值问题V,=f(x,y)，试用 Taylor 展开原理构造形如J(Xo)=Vo6.求解线性方程组广3x1+5x2=1J1Cgx1+4x2=0的高斯一赛德尔迭代格式为;该迭代格式迭代矩阵的谱半径P(G)=；17 .为使两点数值求积公式：Qf(x)dx定80f(X0)+8if(Xi)具有最高的代数精确度，其求积节点应为X0=,X1=,00=81=338 .求积公式ff(x)dx&-f(1)+f(2)是否是插值型的,其代数精度为(2)设A为6M6矩阵，将A进行三角分解：A=LU,L为单位下三角阵,角阵，试写出L中的元素l65和U中的

6、元素u56的计算公式。、(12 分)设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试确定一个次数不超过 3 的多项式H(x),满足H(0)=f(0)=0,H(1)=f(1)=1,H(2)=f(2)=1,H(1)=f(1)=3,并写出插值余项。(12 分)线性方程组X1PX2=2Px1+2X2=b2(1)请写出解此方程组的赛德尔迭代法的迭代格式，并讨论收敛性。(2)设 P=2,给定松弛因子8=1,请写出解此方程组的 SOR 方法的迭代格式，并讨论2收敛性。五、(7分)改写方程2X+x4=0为x=ln(4x)/ln2的形式，问能否用迭代法求所给方程在1,2内的实根？六、(7分)证明解方程(x3-a

7、)2=0求3V的牛顿迭代法仅为线性收敛。，113七、(12 分)已知X0=,X1=,x2=.424(1)推导以这 3 个点作为求积节点在0,1上的插值型求积公式；(2)指明求积公式具有的代数精度；二、(12 分)(1)设A=LU,其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。已知2-1-1A=02-100、-10，求L,U。2-1-12,U为上三1(3)用所求公式计算(x2dx。八、(8分)若f(x)=(xX0)(XXi)(xXn),Xi互异，求fX0,Xi，Xp的值，这里数值分析模拟试卷 3 3一、填空题(每空 3 分，共 30 分)1 .设f(x)=4x8+3x4+2X2+1差商f20,21，,28

8、=；2 .在用松弛法(SOR)解线性方程组Ax=b时，若松弛因子与满足I0-1户1,则迭代法；一一一*_、3.设f(x)=0,f(x)#0,要使求x的 Newton 迭代法至少三阶收敛，f(x)需要酒足;3一24.设f(x)=(x+2)(x3-3x2+3x-1)，用 Newton 迭代法求X1=-2具有二阶收敛的迭代格式为；求X2=1具有二阶收敛的迭代格式为；7-2、5 .已知A=,则P(A)=,CondXA)=1-31J6.若x1,改变计算式lgx-lgVx2-1=,使计算结果更为精确；7 .过节点(为，为3(i=0,1,2,3)的插值多项式为；228.利用抛物(Simpson)公式求jXd

9、x=。,22r二、(14 分)已知方阵A=111,02b(1)证明：A 不能被分解成一个单位下三角阵 L 和一个上三角阵 U 的乘积；(2)给出 A 的选主元的 Doolittle 分解，并求出排列阵；(3)用上述分解求解方程组Ax=b，其中b=(3.5,2,4)T。三、(12 分)设函数f(x)在区间0,3上具有四阶连续导数，试确定一个次数不超过 3 的多项式H(x),满足H(0)=0)=0,H(1)=f(1)=-1,H(1)=f(1)=10,H(1)=f(1)=40,并写出插值余项。四、(10 分)证明对任意的初值XQ,迭代格式xn41=cosxn均收敛于方程 x=cosx的根，且具有线性

10、收敛速度。五、(12 分)在区间卜 1,1上给定函数f(x)=4x3+1,求其在巾=Span1,x,x2中关于权函数P(x)=1的最佳平方逼近多项式。(可用数据：,、321Po(x)=1,P1(x)=x,P2(x)=-x)22六、(12 分)(1)试导出切比雪夫(Chebyshev)正交多项式Tn(x)=cos(narccosx)(n=0,1,2,，xw-1,1)的三项递推关系式：TQ(X)=1,T1(x)=x.Tn1(x)-2xTn(x)-Tni(x)(n-1,2,)2x21(2)用高斯一切比雪夫求积公式计算积分I=xf1dx,问当节点数n取何值时,0Jx(2-x)能得到积分的精确值？并计算

11、它。yn+=yn+3(K1+K3)2七、(10 分)验证对Vt,K=f(Xn,yn)为 2 阶格式.K2=f(Xn+th,yn+thK1)卜3=f(Xn+(1t)h,yn十(1t)hK1)参考答案 1 1P(a)=6,cond1(A)=6.fxn,xn1,xn2=3,fxn,Xn1,Xn，2,Xn3=0.3.b=2,c=3.4.21k=00,k=0,、26;q2(x)=x-x5a102.2.f(x)(n=0,1,)3. 1,04. 7,7,255.6.6.7.7.(k1)8.8.是，1 15.a(一；，；)；lii0(i=1,2,3)一，.、一2一二、(1)L=-;(2)x生3.347;(3)

12、线性收敛3五、a=LF0=7,4=1；截断误差主项为3h3y，xn).2448六、(1)P(BJ)=J06,P(BGS)=0.6a0时，该迭代公式收敛10.6参考答案 2 2(2)H(x)=R(x)143x225竺3x2450空x45012512-54!1612919(x-4)(x-1)(x-4)，(?；).四、AnCB16-3,一;求积公式具有 5 次代数精度,Gauss 型的.20%=一v(kI)12x1f()2(x);x2x(x1)(x2),R(x)=x(x1)(x2)4!=b1-x2k)b2仃(k书)，1时收敛:一x12X1(k1)五、七、(2)收敛(2)13b24二、(1)(2)-2-1-1-1541,U=.注5165=-(16155162U25163U35164U45)；U55U56-a55-(151U16l52U26153U356l54U46)四、(k1)x1211-f(-)-3432八、pWn时为0,p参考答案 3 3一、1.42.发散* *3.f(x)=01x2k)-X1(k1)2123f(1)2f(-)2345.