二重积分的概念与性质2ppt课件

1、3.3 3.3 二重积分的应用二重积分的应用3.1 3.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质3.2 3.2 二重积分的计算二重积分的计算3.4 3.4 三重积分的概念及直角坐标系下的计算三重积分的概念及直角坐标系下的计算3.5 3.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分3.6 3.6 重积分的换元法重积分的换元法3.7 3.7 三重积分的应用三重积分的应用三、三、 二重积分的性质二重积分的性质3.1 3.1 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二、二、 二重积分的概念二重积分的概念一、一、 问题的提出问题的提出柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特

2、点：平顶特点：平顶.柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出#(21) 幻灯片幻灯片 21播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：用假设干个小平用假设干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 设设有

3、有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成假设干小块，将薄片分割成假设干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo定定 义义 设设),(yxf是是 有有 界界 闭闭 区区 域域D上上 的的 有有 界界 函函数数 ， 将将 闭闭 区区 域域D任

4、任 意意 分分 成成n个个 小小 闭闭 区区 域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也 表表 示示 它它 的的 面面 积积 ， 在在 每每 个个i 上上 任任 取取 一一 点点),(ii ，作作乘乘积积 ),(iif i ， ),2, 1(ni ，并并作作和和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念二、二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf

5、 ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.(2)当当),(yxf在在闭闭区区域域上上连连续续时时，定定义义中中和和式式的的极极限限必必存存在在，即即二二重重积积分分必必存存在在.对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值 在直角坐标系下用平在直角坐标系下用平行于坐标轴

6、的直线网来划行于坐标轴的直线网来划分区域分区域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为xyo那么面积元素为那么面积元素为性质性质当当 为常数时，为常数时，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 二重积分与定积分有类似的性质二重积分与定积分有类似的性质三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 假设假设 为为D D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 假设在假设在D

7、 D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 那么有那么有 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 D 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续， 为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质二重积分中值定理二重积分中值定理 DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD二重积分估值不等式二重积分估值不等式例例 1 1 不不作作计计算算，估估计计 deIDyx

8、 )(22的的值值， 其其中中D是是椭椭圆圆闭闭区区域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区域区域 D的面积的面积 , ab例例 2 2 估估计计 DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解例例

9、 3 3 判判断断 122)ln(yxrdxdyyx的的符符号号.当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解DdxdyyxfyxyxDyxf),(1lim) 1() 1( | ),(:),(420222上连续，求下列极限在设例) 11 ( ，f二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积和式的极限和式的极限四、小结考虑题考虑题 将二重积分定义与定积分定义进展比较，将二重积分定义与定积分定义进展

10、比较，找出它们的一样之处与不同之处找出它们的一样之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数考虑题解答考虑题解答 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限的方法，如下动画演示取极限的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体