公平的席位分配问题

1、1公平的席位分配问题公平的席位分配问题数学实验与数学建模数学实验与数学建模2 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席

2、。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103, 63, 34, 问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%） 比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙

3、 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 213“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1= p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150, n1=10, p1/n1=15p2=100, n2=10, p2/n2=10p1=1050, n1=10, p1/n1=105p2=1000, n2=10,

4、p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低! !虽二者的绝对虽二者的绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2 ，对，对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=54公平分配方案应公平分配方案应使使 rA , rB 尽量小尽量小设设A, B已分别有已分别有n1, n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A, 还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2 ，即对，即对A不公平不公平),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝

5、对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2) 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2 ，定义，定义),(/21111122nnrnpnpnpB 51）若）若 p1/(n1+1) p2/n2 ， 则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1, n2)应计算应计算rA(n1, n2+1)若若rB(n1+1, n2) p2/n2 问：问： p1/n1rA(n1, n2+1), 则这席应给则这席应给 B6当当 rB(n1+1, n

6、2) rA(n1, n2+1), 该席给该席给ArA, rB的定义的定义)1()1(11212222nnpnnp该席给该席给A否则否则, 该席给该席给B, 2 , 1,)1(2innpQiiii 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法minnpQiiii,2 , 1,)1(2计算，),(/21222211nnrnpnpnpA ),(/21111122nnrnpnpnpB 美学角度美学角度,可以鉴赏可以鉴赏7221)1( iiiiiiiinpnpnnpQ几何平均数的平方几何平均数的平方8三系用三系用Q

7、值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103, n1=10乙系：乙系：p2= 63, n2= 6丙系：丙系：p3= 34, n3= 3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席3 .964334, 5 .947663, 4 .961110103232221QQQ第第21席席3221, 4 .801211103QQQ同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1

8、最大，第最大，第20席给甲系席给甲系9进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知: m方人数分别为方人数分别为 p1, p2, , pm, 记总人数为记总人数为 P= p1+p2+pm, 待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2, , nm (自然应有自然应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi /P, i=1,2, , m, ni 应是应是 N和和 p1, , pm 的函数，即的函数，即ni = ni (N, p1, ,

9、pm )若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi 10 qi=Npi /P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi =floor(qi) 向向 qi方向取整；方向取整； qi+ =ceil(qi) 向向 qi方向取整方向取整.1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m) 即即ni 必取必取qi , qi+ 之一之一即当总席位增加时，即当总席位增加时， ni不应减少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足 2）, , 但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！11评注：评注： 学习者除了在寻找适当的数学方法解决席位学习者除了在寻找适当的数学方法解决席位的公平分配这一问题本身建模方法外，还应当从的公平分配这一问题本身建模方法外，还应当从“从建立了相对不公平指标、并最终导出从建立了相对不公平指标、并最终导出Q-值值法法”这一过程得到启发这一过程得到启发尽管尽管Q-值法能否被发值法能否被发现并不影响席位分配的最终方案，但用现并不影响席位分配的