北师大七年级上册有理数错题解析

1、有理数的意义错题解析例1小学学过的数的前面添上”号，得到的数都是负数.这句话对吗？若不对，怎样改正？错解这句话是对的.诊断这句话是不对的.因为小学学过的数除自然数、正分数（小数可以化成分数）外,还有0.在0的前面添上”号仍是0,而0既不是正数，也不是负数.正确解答这句话不对.改为：小学学过的数（0除外）的前面添上“”号，得到的数都是负数.例2有理数包括哪些数？错解有理数包括正数、零和负数.诊断零当然是有理数，但正数和负数中，还有不是有理数的数，只不过我们现在还没有学罢了.正确解答有理数包括整数和分数.例3把有理数6.4、-9、25,-100按正整数，负整数，正分数，负分数分成四个集合.错解正整

2、数：+10,1,25,负整数：9,-100,诊断题目是要求把给出的10个数分成四个集合，显然每个集合中的有理数是有限个.上述解答把每个集合中的有限个数全部写出来之后，又写上了省略号，把有限个变成了无限个，这显然是错的.说明省略号是表示还有许多没有写出来的数，或者表示无穷个数.例4最小的正整数是几？最大的负整数是几?错解最小的正整数是零，最大的负整数不存在.诊断零是整数，但它既不是正数也不是负数，因而最小的正整数应该是1.解题者由于受“不存在最大正整数”负迁移作用的影响，导致出不存在最大的负整数的错误结论.事实上，根据两个负数，绝对值小的反而大，可以得到最大的负整数是1.例5a一定是负数吗？错解

3、a一定是负数.诊断之所以出现上面的错误，其原因是解题者对字母表示数的认识肤浅，加上解题者又从形式上看问题.事实上，如果a表小一5,那么一a表小一(5)=5;如a表示0,那么一a也表示0.正确解答-a不一定是负数，可以是正数，也可以是0.说明0经常出现在各种数学问题中，在思考问题时，要注意考虑0这一特殊情况.例6数轴的三要素是什么？错解数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位.诊断上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念.看起来只有词序不同，但实际意义不一样.“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米等.而“单位长度”不是确定的，它的大小可根据实际需要适当选取.当然还可用一个或若干个

4、长度单位来作为一个“单位长度”.正确解答数轴的三要素是原点、正方向和单位长度.例7在数轴上记出下列各数:+5.5,6,4,3.5,1.5.错解如图2-1.诊断只有标明了原点、正方向和单位长度的直线，才是数轴.上面画的数轴错在没有标出原点和单位长度.正确解答如图22.例8任何一个有理数与它的相反数不相等.这话对吗？错解这话是对的.如7的相反数是7,7与7不相等.诊断这句话不对.其原因是把零排除在有理数之外了.因为任何一个有理数包括正有理数、负有理数和零，而零的相反数是零，即零和它的相反数相等.正确解答这话不对.应改为：任何一个不等于零的有理数与它的相反数不相例9写出绝对值不大于5的整数.错解绝对

5、值不大于5的整数是：一4,3,2,1,1,2,3,4.诊断上面解答错误有两处：其一，把符合条件的零排除在整数集合之外；其二，对“不大于”的含义认识模糊.事实上，“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思，不能把“等于”排除在外.正确解答绝对值不大于5的整数有：5,4,3,2,-1,0,1,2,3,4,5.例10什么数的绝对值是它的相反数？错解负数的绝对值是它的相反数.诊断上面解答错在漏掉了零.因为零的绝对值和零的相反数都是零.进入有理数后，零这个角色越来越重要了，我们对它要加倍注意.正确解答零和负数的绝对值是它的相反数.例11比较下列每对数的大小:一|一3|和一(一2);(3)(+3.25)和一

6、|3.245|.因为一|3|的绝对值是3,(2)的绝对值是2,根据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则，所以一|一3|(-2).(3)因为一(+3.25)=3.25,一|3.245|=3.245,而一3.253.245,所以一(+3.25)|3.245|.为绝对值大的负数反而小.(2)的解答最后的结论是根据“两个负数绝对值大的反而小”得到的.但一|3|和(2)不都是负数，因而以“两个负数，绝对值大的反而小”为根据，就错了.事实上，一|3|二3,(2)=2,因为正数大于一切负数，所以一|3|3.245,所以一3.253.245,即一(+3.25)”或连接下列各数：错解诊断这里的错误，一是没有同时

7、考虑这七个数的大小；二是没有理解“或”的含义.这里的“或”是指在“”与中选用其中一个来连接各数，不能同时用两个符号.正确解法如果用“”，应为：如果用“a.诊断这里不加分析就断定a是正数，-a是负数，这是毫无根据的.我们知道，字母a可以表示正数，也可以表示负数，还可以表示0.因此a与一a的大小要依a的取值范围而定.正确解法（1）当a0时，a是正数，一a是负数，所以a-a；当a0时，a是负数，一a是正数，所以a-a；当a=0时，a与一a均为零；所以a=a.例14如果a0,b|b|,试比较a与b的大小.错解ab.诊断上面解答出现错误的原因是：解题者对两个负数大小比较法则的语言叙述与数学符号表达式之间

8、不能互相翻译、转换.事实上，由a0,b|b伏口负数a的绝对值比负数b的绝对值大.再根据两个负数大小比较的法则就不难得出a0,b0,a|b|,试把一a,-b,a,b用连结起来.错解一abb0,b0知表示a,b的点分别在数轴上原点的右边和左边，且由a0知|a|b|,所以表示a的点离原点较近.因一a,b与a,b互为相反数和a|bI,再找出一a,一b两点(如图).显然，b-aa0时，|x|=x;当x=0时，|x|=x;当x0时，|x|=-x.例17x为何值时，|x+1|=-(x+1).错解当x+10,即x1时，上式成立.诊断根据绝对值定义，|a|=a成立的条件是a0,a0,知bai0,即ba.因此，上

9、面得到的a=8,b=2或a=8,b=2是不符合条件的.所以，只有a=8,b=2或a=8,b=-2才为所求.说明学习有理数这一节应注意的几个问题：一、要正确理解“+”“”号的意义.1 .理解为性质符号，如+5,3,分别读作“正5”、“负3”.2 .理解为运算符号，如（+2）+（3）中（+2）与（一3）之间的“+”就表示加，在（一8）（3）中（8）与（一3）之间的“一”就表示减.3,既可理解为性质符号又可以理解为运算符号.如47+6,其中的“十”“”若理解为性质符号，就读作为“4,负7,正6的和，若理解为运算符号，则读作为“4减7加6”.但23中2前面的“”一定要理解为性质符号，不能读成“减2减3

10、”或“减2负3”，应读成“负2,负3的和”或“负2减3”.二、要正确理解绝对值概念1.为什么要引入绝对值概念？引入正、负数的目的是为了区别具有相反意义的量，但有时又不需要考虑量是否意义相反，而只注意其数量的大小，因此，需要引出一个与正负数相关而又能反映其数量大小的概念一一绝对值.此外，引入了正负数后，如何进行它们的加减乘除等运算？为了把带有性质符号的数的运算转化为小学里所学过的数的运算.于是，也需要引出一个新映概念绝对值.2,绝对值的性质.每个有理数都有唯一确定的绝对值，它是一个非负数.在有理数范围内，绝对值最小的数是0.绝对值等于已知正数a的数有两个，分别是+a和一a,它们互为相反数.绝对值等于它本身的数是正数或0.3,绝对值的几何意义.一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点