向量数与空间解析几何

1、第五章向量代数与空间解析几何本章主要知识点矢量运算平面方程直线方程常见曲面及方程第一节向量代数【主要考点】(1) 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会球单位向量方向余弦、向量在坐标轴上的投影。(2) 掌握向量的线性运算，、向量的数量积与向量积的计算方法。(3) 掌握二向量平行、垂直的条件。【考点精要】、空间直角坐标系从空间某定点O做三条互相垂直的数轴，都以O为原点，有相同的长度单位，分别为x轴，y轴，z轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O为坐标原O1 .两点间的二距离设点M1x1,y1,z1,M2(x2,y2,z2)为空间两点，则这两点间的距离可以表示为MiM2V（X2Xi）

2、向量的模向量的大小称为向量的模，用|a|或AB表示向量的模。（y2yi）2修乙）22 .定比分点公式M(x,y,z)是AB的分点：-AM-点A,B的坐标为A(x1，y，z1)，B(X2,y2,Zz)MB则1当M为中点时,x2,yyy21,zz2yy2z2，z22xx2x丁y二、向量1 .向量的基本概念(1) 向量的定义既有大小，又有方向的概量，称为向量或矢量。(3) 单位向量模为1的向量称为单位向量。(4) 零向量模为0的向量称为零向量，零向量的方向是任意的。(5) 向量的相等大小相等且方向相同的向量称为相等的向量。(6) 自由向量在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。(7) 向径终

3、点为P的向量OP称为点P的向径，记为OP。2 .向量的线性运算(1)向量的加法三角形法则若将向量a的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为点，以b的终点为中点的向量称为向量a与b的和向量，记为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。平行四边形法则将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。向量的加法满足下列运算律交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(2)向量与数的乘法运算实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a,并且规定：Ia|=|a|

4、;当>0时，a与a的方向相同；当<0时，a与a的方向相反；当=0时，a零向量。设，都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律：结合律：(a)=()a=(a)分配律：(+)a=a+a,(a+b)=a+a向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算。a(3)求与a同向的单位向量的方法设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量ea-a(4)负向量当=-1时，记(-1)a=-a,则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向量a的负向量。(5)向量的减法两向量的减法(即向量的差)规定为a-b=a+(-1)b向量的减法也可以按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a-b即是以b的终点

5、为起点，以a的终点为终点的向量。3 .向量的坐标表不(1)基本单位向量i,j,k分别为与x轴，y轴，z轴同向的单位向量。(2)向径的坐标表示点P(a1，a2,a3)的向径OP=aia2ja3k或简记为OPai,a2,a3(3)M1M2的坐标表示设以M1x1,y1,z1为起点，以M2x2,y2,z.2为终点的向M1M2的坐标表达式为M1M2（X2X1）i（y2y1）j（Z2z1）k/222一一一，aa2a34.坐标表示下列向量的线性运算设a=a1ia2ja3k,b=b1ib2jb3k，则有(1) a+b=(a1b)i(a2b2)j(a3b3)k(2) a-b=(a1b1)i(a2b2)j(a3b

6、3)k(3) a=(a1ia2ja3k)=a1ia2ja3k4.向量的数量积(1)定义设向量a,b之间的夹角为(0)，则|a|b|cos为向量数量积，记作a.b,即a.b=|a|b|cos.向量的数量积又称“点积”或“内积”向量的数量积还满足下列运算律：交换律：ab=b-a分配律：(a+b).c=结合律：ac+b-c结合律：(a.b)=(a).b(其中为常数).(2)数量积的坐标表示.设a=a1i+a2_j+a3k,贝Ua-b=a1b（+a2b2+a3b3.(3)向量a与b的夹角余弦设a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k，贝Uabab1a2b2a3b3cosjj=(0)ab.

7、a；a2a3.b；b2b3(4)向量的方向余弦设向量a=a1i+a2j+a3k与x轴，y轴，z轴的正向夹角分别为,(0,),称其为向量a的三个方向角，并称cos,cos,cos为的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为aicos,cosaja2a；a2222,aia2a；22a2a；a；222coscoscos15.向量的数量积ab,它的模和方向分别规(1)定义两个向量a与b的向量积是一个向量，记作定如下: ab=|a|b|sin其中是向量a与b的夹角； ab的方向为既垂直a又垂直于b,并且按顺序a,b,ab符合右手法则向量的向量积满足如下运算律.反交换律：ab=-ba;分配律：(a+b)c=

8、ac+bc;结合律：(ab)=(a)b+a(b)(其中为常数).(1)向量积得坐标表示tsia=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k,贝Uaxb=(a2b3a3b2)i-(a1b；a；b1)j-(a1b2a2bl)k可将axb表示成一个三阶行列式的形式，计算时，只需将其按第一行展开即可,即ijkaxb=a1a2a；Bb2b；6.三个重要结论(1) a=ba1b1，a2b2,a；b；(2) a±bab=0,a1bi+a2b2+a3b；=0a1a?a；(；)a/ba=baXb=0其中，“”表示“充分必要条b1b2b；件”。【典型例题】例1设a,b为两个非零向量，为非零常数，

9、若向量a+b垂直于向量b,则等于()abab(A);(B)-丁(C)1(D)ab|bb分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果a+b垂直于向量b,因此应(a+b).b=0即ab+bb=0ab+|b|2=0ab由于b为非零向量，因而应有=-，故应选（B）b例2设向量AB=4i-4j+7k的终点B的坐标为（2,-1,7）。求（1）始点A的坐标;（2）向量AB的模；（3）向量AB的方向余弦；（4）与向量AB方向一致的单位向量。解：(1)设始点A的坐标(x,y,z),则有2-x=4,-1-y=-4,7-z=7,得x=-2,y=3,z=0;(2)ABJ42(4)2729cosAB4,cos9(4

10、)ABABAB1一(4i-4j+7k)9例3已知向量a与向量b=3i+6j+8k及x轴垂直，及且|a|=2,求出向量a.解：因为a，b,a，i（垂直于x轴），故a与向量bxi平行。由两向量平行的充要条件，a可以写成a=（bxi）即ijka=368(8j-6k)300由题设|a|=2，得J(8)2(6)22,2(8262)4,从而彳导a=8j-6k,或a=-8j+6k5555第二节平面与直线【主考要点】(1)会求平面的点法式方程、一般式方程。会判断两平面的垂直、平行。(2)会求点到平面的距离。(3) 了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。(4)会判定直线

11、与平面间的关系(垂直、平行、直线在平面上)。【考点精要】一、平面及其方程1 .法(线)向量，法(线)方向数与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记为no法向量m,n,p的坐标称为法(线)方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2 .点法式方程已知平面过M(x0,y0,)点，其法向量nA,B,C,则平面的方程为A(xXo)B(yy°)C(zz°)0或n(rro)0其中r0X0,y0,z),rx,y,z3 .一般式方程Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C不全为零。X,y,z前的系数表示的法线方向数，nA,B,C是的法向量。特别情形：Ax+B

12、y+Cz=0,表示通过原点的平面。Ax+By+D=Q平彳T于z轴的平面。Ax+D=Q平行于yoz平面的面。x=0表示yoz平面。4 .两平面的关系两平面为1 AxB1yC1zD102 A2xB2yC2zD20i与2间夹角（）AiA2BiB2CiC2cos.2_2_2_2_2_2AAiBiCiA2B2C2垂直条件A1A2BiB2C1c2O平行条件（2）A2b?C"（d-;重合条件ABiCiDia2b2cd2设平面的方程为Ax+By+Cz+D=。而点Mx，y1，乙）为平面外的一点，则M到平面的距离为d:,AxiByiCziDd,4A2B2C2二、直线及其方程1 .方向向量、方向数与直线平

13、行的非零向量S,称为直线L的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2 .直线的标准方程xXoyv。zZolmn其中（xo,m。，n。）为直线上的点，l,m,n为直线的方向数。3 .参数式方程xx0ltJyyomtZZontSl,m,n,t为参变量。4 .两点式设A（xi，yi，z）B（x2，y2，Z2）为不同的两点，则通过A和B的直线方程为xxiyyizzix2xiy2yiz2zi5 .一般式方程（作为两平面的交线）：CBiyCizDiOB2yC2zD2O6 .两直线的关系两直线为LixXiyyizZiliminiL2Xx2yy2m2zZ2Li与L2间夹角coslil2mim2ngJl：m2n：

14、、'l；m；2n2直条件垂lil2mim2n1n20行条件平iiminil2m2”12n2、平面与直线相互关系平面的方程为:直线L的方程为:AxByCzD0x%yVozZolmnL与间夹角()AlBmCnsini,=Ja2B2C2Jl2m2n2L与垂直条件lmnABCL与平行条件AlBmCn0L与重合条件AlBmCn0L上什-点在上【典型例题】-、直线方程例i求通过点F0(2,i,3)且与直线二y垂直相交的直线方程.i02解利用向量运算的方法。在已知点的条件下，关键是求出直线的方向向量S.为此先求出过点Po(2,i,3)且垂直于已知直线的平面方程，再求出已知直线与此平面的交线，利用交点

15、与已知点找出所求直线的方向向量S,即可得到所求的直线方程.其步骤如下：(i)过点Po垂直于已知直线的平面方程为(x2)2(z2)0,即x2z40.xiyz2(ii)求上述平面与直线的交点P,为此令't,xit,y0,i02z22t,将上述参数方程代入平面x2z40中，有，得it2(22t)40,得5,412所以x4,y0,z12,即P55125,o,4-5CQ,所以SP0P1-,1,55(iii)写出所求直线方程。由于直线过点Po(2,1,3),故所求直线方程为例2求过点Mo(1,2,1)且与平面1:xy2z1和2：x2yz1平行的直线方程。解设所求直线的方向向量因为所求直线l与1,S

16、m,n,p,n11,1,2,n31,2,1,2平行，所以S±n1,S±n2,取s=n1xn2=1,1,1,2,13i-j+k=3,1,1,故所求直线的方程为二、平面方程例1已知直线l:若平面过点M(2,1,-5)且与l垂直，求平面的方程。解：由题意可得，直线因此可取l的方向向量S=(3,2,-1)必定平行于所求平面的法线向量n,n=s=(3,2,-1)利用平面的点法式方程可知3(x3(x2)2)2(y2(y1)(z1)(z(5)05)0为所求平面方程。或写为一般式方程3x2yz13例2求平行于y轴，且过点A(1,-5,1)与B(3,2,-3)的平面方程。解一利用向量运算的方

17、法。关键是求出平面的法向量n,因为平面平行于y轴，所以n±j,又因为平面过点A与B,所以必有n±AB.于是，取n=jxAB,而AB=(2,7,-4),所以n=01k0=-4i-2k427因此，由平面的点法式方程，得4(x1)0(y5)2(z1)0即，2xz30解二利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为AxByCzD0由于平面平行于y轴，所以B=0,原方程变为AxCzD0,又所求平面过点A(1,-5,1)与B(3,2,-3),将A,B的坐标代入上述方程，得，+C+D=0解之得A=2C3A-3C+D=0ID=-3C,代入所设方程，故所求平面方程为2xz30例3求通过点(3,0

18、,0)和点(0,0,1)且与xoy平面成角的平面的平面方程。3解：设所求平面方程为AxByCzD0平面过点(3,0,0)，有3AD0,即A平面过点(0,0,1)，有CD，即CD,平面与xoy平面成一角，有cos一-3321A2B23C20解得B26D3故所求平面为x二6DyDzD033即x,263z30的平面方程jk211,2,3例4求过点(1,-2,1)且垂直于直线xx2yz30'xyz20i解：已知直线的方向向量为s1,2,11,1,11由于平面与该直线垂直，故可取平面的法向量由点法式得平面方程为x12(y2)3(zn为该方向向量s,即n=s=1,2,31)0,即x2y3z0第三节

19、曲面与空间曲线【主要考点(1) 掌握曲面方程的一般方程和参数方程(2) 掌握空间曲线的一般方程和参数方程(3) 掌握常见的曲面方程和二次曲面【考点精要】一、曲面方程如果曲面上每一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0,而不在曲面上的每一点坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,则称方程F(x,y,z)=0为曲面方程，称曲面为F(x,y,z)=0的图形1 .一般方程F(x,y,z)=0xx(uv)2 .参数方程Iyy(uv),(u,v)D(平面区域)zz(uv)二、空间曲线方程1 .一般方程11(x'y'z)0卡2(x,y,z)0uxx(t)2 .参数方程yyy(t),(t)zz(

20、t)三、常见的曲面方程1 .球面方程设P0(x0,y0,z°)是球心，R是半径，P(x,y,z)是球面上任意一点，则P°PR,即(xx。)2(yy。)2(zz。)2R22 .旋转曲面的方程f(x,z)0(1)设L是xoz平面上一条曲线，其方程是J'',1绕z轴旋转得到旋转曲y0面，设P(x,y,z)是旋转面上任一点，由点P0(x0,O,z0)旋转而来(点M(0,0,z)是圆心)由x0|MP0MP，x°y°,z0z得旋转面方程是f(.x2y2,z)0或由参数方程xf(t),yg(t),zh(t),t(,)，得旋转面的参数方程x.f2(t)g

21、2(t)cos-y.f2(t)g2(t)sin,t,02zh(t)F1(x,y,z)0(2)求空间曲线J1')绕z轴旋转一周得到的旋转曲面方程F2(x,y,z)0第一步：从上面联立方程解出xf(z),yg(z)第二步：旋转曲面方程为x2y2f2(z)g2(z)绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理。3 .常见的二次曲面曲囿名称方程曲囿名称方程椭球面222xyz1T221abc旋转抛物面22上工z(q0)2p2q)椭圆抛物面22xy2p2qz(p,q0)双曲抛物面22xy2p2qz(p,q0)单叶双曲面222xyz一_12,221abc双叶双曲面222xyz一_12,221abc

22、二次锥面222、匕巳02.22uabc椭圆柱面22上21a2b2双曲柱面22士匕1a2b2抛物柱面2xy(p0)2p四、空间曲线在坐标平面上投影F(x,y,z)01.曲线C的方程J','G(x,y,z)0曲面C在xy平面上的投影先从曲线C的方程中消去z得到H(x,y)=0,它表示曲线C为准线,的柱面方程，那么母线平行于z轴fH(x,y)0z0就是C在xy平面上的投影曲线方程。曲线C在zx平面上投影或在yz平面上投影类似地处理-xf(t)2.曲线C的方程Jyg(t),(t)zh(t)则曲线C在xy平面上的投影曲线方程为xf(t)<yg(t),(t)z0曲线C在zx平面上的投

23、影曲线方程为仇f(t)Jy0,(t)zh(t)则曲线C在yz平面上的投影曲线方程为x0yg(t),(t)zh(t)【典型例题】例1指出下列曲面那些是旋转曲面？如果是旋转曲面，说明他是如何产生的?(1) x22y23z202(2) x2匕z214222(3)上匕二191825(4)x22y2z21解：若x2,y2,z2中有两个系数相同时，则为旋转曲面在(2)中x2,z2系数相同故选xOy上双曲线x221绕y轴旋转4(x2z2)22y411即旋转双曲面例2指出下列各方程在平面解析几何和空间解析几何分别表示什么图形?(1)(2)(3)(x2x4y1)22y9x1解：(1)在平面解析几何表示：圆；在空

24、间解析几何表示：圆柱面(2)在平面解析几何表示：双曲线；在空间解析几何表示：双曲柱面(3)在平面解析几何表示：一条直线例3求以点A(0,0,1)为顶点，以椭圆;在空间解析几何表示：平面252x1,为准线的锥面方程。解：过椭圆上任一点P(x0,y0,z0)的母线方程为、rxyyztz_J2x°ty0t1(41)t因为点(12t2xx0,y0,z0)在椭圆上，所以225t22"yr1,而9t2将其带入椭圆方程,得锥面的方程为止亡(z1)20259例4求直线l：y3tM在三个坐标面上的投影z23t解：在三个坐标面上的白影分别为x在xy平面上：yzx0y3tz23t12t3t;在xz平面上012t0;在yz平面上23t投影直线L。的方程为xy2z10(1)x3y2z10(2)0上的投影直线L0的方程并求*一_._的万程为x3y2z10例5求直线L:-1-1在平面:xy2z111L0绕y轴一周所成曲面的方程。解：过L做垂直于德平面，的法向量»*.ijk_*.nnl112i3j2k故111从(1)+(2)得2x4y0从(1)-(2)得2y4z20x2y这样得到L0的另一个方程为11z-(y1)I.y与平面yz1的交