九年级弧长和扇形面积计算讲义

1、弧长和扇形面积计算内容基本要求略高要求较高要求弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问 题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有 关的简单问题圆锥的侧面 积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简 单实际问题j自检自查必考点一、弧长公式由于圆周角课看做360。的圆弧，而360。的圆心角所对的弧长就是圆周长 C = 2nR ,所以在半径为K的圆中，。的圆心角所对的弧长/的计算公式：【注意】1 .圆心角的单位若不全是“度”，一定要化为“度”再代入公式；2 .公式中的三个未知量/，*R只要知道两个就可以求出第三个，从而可以推 得圆心角的计算公式为：二、多边形滚动问题解决多边形滚动问题，要明确旋

2、转中心，旋转半径、旋转方向以及旋转角 度.常见的多边形滚动问题有：1 .正三角形沿水平线翻滚；2,正方形沿水平线翻滚；3 .各内角相等的非正多边形沿水平线翻滚；4 .各内角不相等的多边形沿水平线翻滚.三、扇形1 .扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形 叫做扇形.2 .扇形的周长：在半径为A,圆心角的度数为。的扇形中，周长的公式为:3 .扇形面积的计算公式：（/为扇形的弧长）【注意】扇形的面积有两个计算公式，根据题目的不同可以选择不同的公 式进行计算.四、弓形面积的计算方法1 .弓形的定义：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.2 .弓形的面积计算：弓形的面积问题可以转化

3、成扇形面积和三角形面积来 计算.根据弧的情况不同，有以下三种情况： 当弓形所含的弧是劣弧时，S弓形=S瑞形-Sa曲 当弓形所含的弧是优弧时，s弓形=s域形 当弓形所含的弧是半圆时，圣形=；%五、圆锥1.圆锥的概念：圆锥可以看做是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直 线旋转而成的图形.这条直线叫做圆锥的轴.垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，底面是一个圆面.斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高.连接圆锥的顶点和底面周长的任意一点的线段叫做圆锥的母线.2-圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底 面圆的半径为，那么这个扇形的半径就是圆锥的母

4、线/,扇形的弧长就 是圆锥的底面周长2门，因此圆锥的侧面积公式为：3.圆锥的全面积：圆锥的测面积与底面积之和称为圆锥的全面积.公式为: 【注意】圆锥面积计算公式中的，/与扇形面积计算公式中的H，/表示的含 义是不一样的，应用时不要用混淆.%推论：已知扇形的半径为R,圆心角为，扇形围成的圆锥的底面半径 为，则可以三者之间的关系为：/例题精讲一、弧长的计算【例1】在半径为3的圆中，150°的圆心角所对的弧长为（）.A 15n 155c 5A. 丁兀B.C. 工冗D. 5兀nr4【例2】如果中标的轴心到分针针端的长为5,那么经过40分钟，钟表的分针针端 转过的弧长是.【例3】一条弧的长度为

5、12冗，所对的圆心角为108° ,那么这段弧的半径为【例4】（2012年漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离 是（）.A. 27rcmB. 4ncmC. 871cmD. 16ncm【例5】（2013年玉林）如图，实线部分是半径为的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的 圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是m.【例6】（2013年宜宾）如图，乂8。是正三角形，曲线C0EF叫做正三角形的渐开 线，其中弧8、弧。石、弧“'的圆心依次是A、8、C,如果A4 = I,那 么曲线COEf的长是.【例7】（2013年扬州）如图,在扇形OW中，405 =

6、 110°,半径04 = 18,将扇形Q4B 沿过点3的直线折叠，点。恰好落在弧加上的点。处，折痕交久于点 C,则弧也的长为 .二、多边形滚动问题【例8】（2013年遵义）如图，将边长为的等边三角形A3。沿直线/向右翻动（不滑动），点4 从开始到结束，所经过路径的长度为（）.A.B. 2+白花C. ?D. 34JJ【例9】（2011年兰州）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时 为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面， 再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是米.【例10】（2013年贵阳）在矩

7、形A3C0中，AB = 6, 8C = 4,有一个半径为1的硬币与边AB、AD 相切，硬币从如图所示的位置开始，在矩形内沿着边回、BC、CD、ZM滚动到开始的位 置为止，硬币自身滚动的圈数大约是（）A. 1圈B. 2圈C. 3圈D. 4圈【例 11】（2012 年呼伦贝尔）如图，在 RtAABC 中，ZABC = 90°, ZBAC = 30°, A3 = ",将 AABC 绕顶点。按照顺时针旋转至A4B。的位置，且A、。、方三点在同一条直线上，则点A经 过的路线的长度是（）324A. 4B. 2逐C. hD. -7TJJ【例12】（2009年黄冈）已知：矩形A3

8、8的边钻=8, 4） = 6,现将矩形A8CO放在直线/上且 沿着/向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶 点A所经过的路线长是.【例13】（2010年台州）如图，菱形A8CQ中，AB = 2, ZC = 60°,菱形A8CQ在直线 /上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经 过36次这样的操作菱形中心。所经过的路径总长为（结果保留H ）【例14】（2013年内江）如图，正六边形硬纸片A8CQE尸在桌而上由图1的起始位置沿直线1不 滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm,则正六边形的中心。运动的路 程为 cm.【

9、例15】（2013年六盘水）把边长为1的正方形纸片OA8C放在直线，上，3边 在直线川上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90。， 此时，点。运动到了点。处（即点4处），点。运动到了点G处，点4运 动到了点与处，又将正方形纸片固绕及点，按顺时针方向旋转 90。，按上述方法经过4次旋转后，顶点。经过的总路程为 ,经过61次旋转后，顶点0经过的总路程为【例16如图，边长为2的等边AW尸置于边长为4的正方形AA”内，使点4在边 AX上.将三角形先绕点4作顺时针旋转，然后再绕夕作顺时针旋转， 如此进行，使三角形沿着正方形的边向前转动，直到户回到原来位置.这 时顶点户所行路程长度为三、扇形、弓

10、形面积的计算【例（2013年资阳）钟面上的分针的长为1,从9点到9点30分,分针在 钟面上扫过的面积是（）A.B."nC.；兀D. 71【答案】A【例18】（2013?裂阳）如图，以AQ为直径的半圆O经过Rt&WC斜边4?的两个端点，交直角边 2AC于点、E, B、七是半圆弧的三等分点，弧座的长为，兀，则图中阴影部分的而积为【例19】（2013年东营）如图，正方形A5CD中,分别以从。为圆心，以正方形的边长。为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）【例20】（2013年昭通）如图所示是某公园为迎接“中国-南亚博览会”设置的一休闲 区.ZAO4 = 90

11、。，弧的半径OA长是6米，。是。4的中点，点。在弧川上，08 , 则图中休闲区（阴影部分）的面积是【例21】【例22】（2012?宁夏）如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角 的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊 A在草地上的最大活动区域面积是【例23】（2013年遵义）如图，在RLMBC中，ZACB = 90°, AC = BC = f E为BC边上 的一点，以A为圆心，他为半径的圆弧交加于点。，交AC的延长于 点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则"的长为（结果保留根号）.【例24】（2013 年盐城）如图，在&WC 中，

12、C = 9O0, AB = 5cm, AC = 2cm ,将 AABC 绕顶点。按顺时针方向旋转45°至M4C的位置，则线段他扫过区域 （图中的阴影部分）的面积为四、圆锥【例25】（2013年贵港）如图，已知圆锥的母线长为6,圆锥的高与母线所夹的角为8,且由治=；, 则该圆锥的侧而积是（）A. 24拒兀B. 24花C. 16冗D. 12冗【例26】（2013?黔西南州）如图，一扇形纸片，圆心角ZAO3为120° ,弦钻的 长为2疯叱用它围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底 面圆的半径为.【例27】（2013年盘锦）如图，张老师在上课前用硬纸做了一个无底的圆锥形教具

13、，那么这个教具 的用纸面积是_cm2.（不考虑接缝等因素，计算结果用兀表示）.【例28】（2013年佛山）如图，圆锥的侧面展开图是一个半圆，求母线即与高AO 的夹角.（参考公式：圆锥的侧面积s=“，其中，为底面半径，,为母 线长）【例29】（2009年永州）问题探究：（1）如图所示是一个半径为:，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，4?是圆柱的 2兀一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达3点，求蚂蚁爬行的最短路 程.（探究思路:将圆柱的侧面沿母线加剪开，它的侧而展开图如图中的矩形A84W, 则蚂蚁爬行的最短路程即为线段A股的长）：（2）如图所示是一个底面半径为:，母线长为4的圆锥和它

14、的侧面展开图，Q4是 它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧而爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的 最短路程：<3）如图所示，在的条件下，一只蚂蚁从4点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母 线%上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程.【例30】（2008年南通）铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的 正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底 而.他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆 的半径，设出了如图所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧 均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边

15、相切）请你帮助他算一算可以吗？【例31】（1）请说明方案一不可行的理由：（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底而圆半径；若不可行，请 说明理由.【例32如图：有一个半径为R的半圆，要用这个半圆做一个圆锥的侧面和底而，小芳想这样做： 在圆弧上取点C，使= 用扇形08c作圆锥的侧面，在扇形内剪一个最 大的。”作圆锥的底面，你认为小芳这样做办得到吗？请你通过计算说明理由.【例33己知圆锥的底面半径是4cm,母线长为12cm, C为母线心的中点，求从A 到。在圆锥的侧面上的最短距离./课后作业【题1】（2012年北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点都在格点上, 将A4

16、8c绕点。顺时针旋转60° ,则顶点A所经过的路径长为（）A. l（hrB业C.史D.兀33【题2】（2013年山西）如图，四边形A8CQ是菱形，Z4 = 60°, AB = 2,扇形比户的半径为2, 圆心角为60。，则图中阴影部分的面积是（）A.丝一 B.4-/C.兀-更3232D.冗-V5【题3】（2013年泰安）如图，他，CO是o。的两条互相垂直的直径，点Q, O,分别是04 08、OC、OO的中点，若OO的半径为2,则阴影 部分的面积为（）A. 8B. 4D.4兀一 4【题4】（2013年遂宁）如图，A/WC的三个顶点都在5X5的网格（每个小正方 形的边长均为1个单

17、位长度）的格点上，将A48C绕点4逆时针旋转到 乂招。的位置，且点小。仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是 （兀冬3.14 ,结果精确到0.1）【题5】（2013年黄冈）如图，矩形A8CO中，AB = 4, BC = 3,边CD在直线/上，将矩形A3C0 沿直线/作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A位置时，则点A经过的路线长为【题6】（2012年遵义）如图，将边长为加的正方形A3CO沿直线/向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是cm.（结果保留瓦）【题7】（2013年广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去:圆周的一个扇形，将留下 的扇形闹成一个圆锥（接健处不重叠），那么这个圆锥的高