概率论与数理统计195 不讲大数定律与中心极限定理

1、1大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理2 第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理 第一节第一节 大数定律大数定律 一一 切比雪夫不等式切比雪夫不等式 设设 , , 则对任意正数则对任意正数 有有 不等式说明不等式说明:X:X落在区间落在区间 的概率大于的概率大于 , , 越小越小, ,这个这个概率越接近于概率越接近于1.1.这与方差的意义类同这与方差的意义类同),( 2)(,)( XDXE0 22221| XPXP或或)/(122 2 3 证明证明: :2222|22|)()(1)(|)(| dxxfxdxxfxdxxfXPXxXxX4 二二 切比雪夫大数定理切比雪夫大

2、数定理 设随机变量设随机变量 相互独立相互独立, ,且具且具有相同的数学期望和方差有相同的数学期望和方差 则对任意正数则对任意正数 , ,有有 nXXX,21, 2 , 1,)(,)(2 kXDXEkk 1|1|lim0|1|lim11 nkknnkknXnPXnP或或5 证明证明: :令令 , , 则则 nkknXnY11),()(1)1()()(1)1()(21212111相相互互独独立立nnkknkknnkknkknXXXnXDnXnDYDXEnXnEYE )(0|1|0221 nnXnPnkk 6 该定理表明该定理表明: :当当n n很大时很大时, , 的算术平均值接近于数学期望的算术

3、平均值接近于数学期望 . .1|1|1 lim|1|lim0|1|lim111 nkknnkknnkknXnPXnPXnPnXXX,21 7 如设如设X X表示成绩表示成绩, , 表示表示n n个人的成绩个人的成绩, , 则当则当n n很大时很大时, ,这这n n个人的平均成绩接近个人的平均成绩接近于全部成绩的平均值于全部成绩的平均值E(X).E(X). 三三 贝努利大数定律贝努利大数定律 设设 是是n n次独立试验中事件次独立试验中事件A A发生的次发生的次数数, ,p p是事件是事件A A在每次试验中发生的概率在每次试验中发生的概率, , 则对任意则对任意 , ,有有nXXX,21A 1|

4、lim pnPAn0 8 证证: :令令 为第为第k k次试验中事件次试验中事件A A发生的次发生的次数数, ,则有则有 kX nkkAnkkkkkXXXXpqXDpXEpqqXPpXPAkAkX121,)(,)(10,101 相互独立相互独立不发生不发生次试验中事件次试验中事件第第发生发生次试验中事件次试验中事件第第9 于是于是 相互独立且具有相同的相互独立且具有相同的期望与方差期望与方差, ,据切比雪夫大数定理据切比雪夫大数定理, ,对于对于任给的任给的 , , 有有 贝努利大数定理说明贝努利大数定理说明: :当当n n很大时很大时, ,事件事件A A的频率的频率 接近于事件接近于事件A

5、A的概率的概率. .nXXX,210 1|1|lim|lim1 pXnPpnPnkknAnnA 10 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 大数定律研究了随机变量和的极限问题大数定律研究了随机变量和的极限问题, ,下面研究随机变量和的分布的极限问题下面研究随机变量和的分布的极限问题. . 一一 独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理 定理定理: :设随机变量序列设随机变量序列 相互独立同分布相互独立同分布, ,期望值期望值 和方差和方差 都存在都存在, ,则对一切则对一切 x x 都有都有)(lim1xxnnXPnkkn ,21nXXX 2 11 定理表明定理表明: :当当n n很大时

6、很大时, ,随机变量随机变量 近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N N(0,1),(0,1), 因而因而 近似服从正态分布近似服从正态分布 例例: : 用机器包装味精用机器包装味精, ,每袋味精净重为随每袋味精净重为随机变量机变量, ,期望值为期望值为8080克克, ,标准差为标准差为1010克克, ,一一箱内装有箱内装有400400袋味精袋味精, ,求一箱味精净重大求一箱味精净重大于于4050040500克的概率克的概率. . nnXnkk 1 nkkX1),(2 nnN12 解设一袋味精净重解设一袋味精净重 克克, ,一箱味精的净一箱味精的净重为重为X X 克克, ,则则 iX)10

7、0400,100400()3(,10)(,100)()2(,) 1 (1240021 NXXDXEXXXniiii近近似似相相互互独独立立 00622. 099378. 01)5 . 2(1)400004000040500(1405004001 kkXP13 例例 对敌人阵地进行集中射击对敌人阵地进行集中射击, ,每次集每次集中射击的命中数的概率分布相同中射击的命中数的概率分布相同, ,数学数学期望为期望为2,2,方差为方差为1,1,求集中射击求集中射击9 9次有次有1616颗到颗到2020颗炮弹命中目标的概率颗炮弹命中目标的概率. . 解解: : 设设 为第为第i i次集中射击时的命中次集中

8、射击时的命中数数, ,X X为为9 9次射击时总的命中数次射击时总的命中数, ,则则 (1) (1) 独立同分布独立同分布 (2)(2) (3) (3) iX)19 ,29(91 NXXki近近似似921,XXX1)(, 2)(2 kkXDXE 144972. 01)67. 0(2)32()32()91816()91820(2016 XP15 二二 德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 设随机变量设随机变量 具有参数为具有参数为n,pn,p的二项分布的二项分布, ,则对于任意区间则对于任意区间( (a,ba,b) )恒有恒有 该定理表明：当该定理表明：当n n较大时，较大时，), 2 , 1(

9、 nn )()(limabbnpqnpaPnn ),()1 , 0(npqnpNNnpqnpnn近似近似近似近似 16 例例 某单位有某单位有240240台电话机台电话机, ,每台电话机约每台电话机约有有5%5%的时间要使用外线通话的时间要使用外线通话, ,设各电话机设各电话机使用外线是相互独立的使用外线是相互独立的, ,问这个单位需要问这个单位需要按装多少条外线才能以按装多少条外线才能以99%99%以上的概率保以上的概率保证每台电话机需要外线时不占线证每台电话机需要外线时不占线 解解 将每台电话机是否使用外线看作一次将每台电话机是否使用外线看作一次独立试验独立试验,240,240台电话机是否

10、使用外线看台电话机是否使用外线看作作240240次贝努利试验次贝努利试验. . 设设 为同时使用外线的电话机台数为同时使用外线的电话机台数, ,240 17 m m为需安装的外线条数为需安装的外线条数, ,则则 m m满足满足)05. 0 ,240(240B 9 . 0)4 .1112()4 .1112()4 .1112(4 .11124 .111295. 005. 024005. 024009 . 00240240 mmmPmP 18 查表可得查表可得: : 故可取故可取9015. 0)29. 1(,8997. 0)28. 1( 17m3 .1629. 14 .1112 取取mm19 例例 设电路供电网中有设电路供电网中有1000010000盏灯盏灯, ,夜晚夜晚每一盏灯开着的概率都是每一盏灯开着的概率都是0.7,0.7,假定各灯假定各灯开、关是相互独立的开、关是相互独立的, ,计算同时开着的计算同时开着的灯数在灯数在680072